专题1.1 集合与常用逻辑用语【七大题型】（讲义）（举一反三）（新高考专用）-2025年高考数学二轮复习专练

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1、集合
集合是高考数学中的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以基础题为主。
2、常用逻辑用语
常用逻辑用语是高考数学中的重要内容，常见于考查真、假命题的判断；全称量词命题、存在量词命题以及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度。但一般很少单独考查，常常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等知识交汇，热点是“充要条件”,考生复习时需多注意加强这方面练习。
【知识点1 集合】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
【常用结论】
(1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
(2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(3)．
(4),．
【知识点2 常用逻辑用语】
1．充分条件与必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
3．全称量词与全称量词命题
4.存在量词与存在量词命题
5．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
【方法技巧与总结】
1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件
设.
(1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
(2)若，则是的必要条件，是的充分条件；
(3)若，则与互为充要条件.
2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.
【题型1 集合中元素个数问题】
【例1】（2024·四川乐山·三模）已知集合A=−1,0,1,B=1,2,C=x∣x=a+b,a∈A,b∈B，则集合C的元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式1-1】（2024·山东济南·二模）已知集合A=1,2，B=2,4，C=zz=xy,x∈A,y∈B ，则C中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-2】（2024·陕西宝鸡·一模）若集合A=x∈Rax2−2x+1=0中只有一个元素，则实数a=（ ）
A．1B．0C．2D．0或1
【变式1-3】（2024高一上·全国·专题练习）若集合A=x|mx2+2x+2=0中有两个元素，则实数m的取值范围为（ ）
A．m|m≠0B．mm<12
C．mm<12且m≠0D．m0【题型2 集合间的关系】
【例2】（2024·河南·模拟预测）已知集合A={x∣1A．2,+∞B．1,2C．−∞,2D．2,+∞
【变式2-1】（24-25高一·全国·课后作业）已知集合M=xx=m+16,m∈Z，N=xx=n2−13,n∈Z，P=xx=p2+16,p∈Z，则M、N、P的关系满足（ ）
A．M=N⊆PB．M⊆N=PC．M⊆N⊆PD．N⊆P⊆M
【变式2-2】（2024·陕西铜川·三模）已知集合A={x∣xA．−∞,−2B．−∞,−2
C．3,+∞D．3,+∞
【变式2-3】（2024·广东佛山·模拟预测）已知集合A={x∣x−a≥0},B={x∣y=4x−8}，若A⊆B，则a的值可以是（ ）
A．−4B．−1C．1D．4
【题型3 集合的交、并、补集运算】
【例3】（2024·四川雅安·一模）已知集合M=−2,−1,0,1,2,3，N=x2x−1>0，则M∩N=（ ）
A．2,3B．1,2,3C．0,1,2,3D．−2,−1,0,1,2,3
【变式3-1】（2024·广东广州·模拟预测）若全集U=R，集合A={x|0≤x<3},B={x|x>1}，则A∪∁UB= （ ）
A．{x|x<3}B．{x|0≤x<1}
C．{x|0≤x≤1}D．{x|x≥0}
【变式3-2】（2024·江西新余·模拟预测）已知集合A、B、C为全集U的子集，A∩B=∁UC≠∅，则A∪B∩C=（ ）
A．A∪B∩CB．∁UA∩∁UB
C．∁UA∩B∩A∪BD．∁UA∪B∪A∩B
【变式3-3】（2024·江西·一模）已知集合A={nn3∈Z}，B=nn4∈Z，C=nn6∈Z，则（ ）
A．A∩BCB．B∪C=AC．CA∩BD．B∩CA∩B
【题型4 集合中的含参问题】
【例4】（2024·湖北荆州·三模）已知集合A=xx2<1,B={xx>a}a∈R，若A∩B=∅，则a的取值范围为（ ）
A．(−∞,1]B．(1,+∞)C．(−∞,1)D．[1,+∞)
【变式4-1】（2024·贵州贵阳·二模）设全集U=2,x2+2x+2，集合A=2满足∁UA=1，则x的值为（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【变式4-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知集合A={x|x2≤1,x∈N}，B=x|x>a，若A⊆B，则实数a的取值范围是（ ）
A．−∞,0B．−∞,0C．1,+∞D．1,+∞
【变式4-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集U=R,A=x∣x2+4x+3=0,B=x∣x2+m+1x+m=0，若∁UA∩B=∅，则实数m的值为（ ）
A．1B．3C．-1或-3D．1或3
【题型5 集合的新定义问题】
【例5】（2024·湖南怀化·二模）给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集T=a−ba,b∈S,a≠b，如果minT=1，则称集合S为一个n元规范数集．（注：minX表示数集X中的最小数）．对于集合M=−0.1,−1.1,2,2.5、N=−1.5,−0.5,0.5,1.5，则（ ）
A．M是规范数集，N不是规范数集B．M是规范数集，N是规范数集
C．M不是规范数集，N是规范数集D．M不是规范数集，N不是规范数集
【变式5-1】（2024·安徽蚌埠·二模）对于数集A，B，定义A+B=x|x=a+b,a∈A,b∈B，A÷B={x|x= ab，a∈A,b∈B，若集合A= 1,2，则集合(A+A)÷A中所有元素之和为（ ）
A．102B．152C．212D．232
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合A和B，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作A与B的笛卡儿积，又称直积，记为A×B．即A×B=x,yx∈A且y∈B．关于任意非空集合M，N，T，下列说法一定正确的是（ ）
A．M×N=N×MB．M×N×T=M×N×T
C．M×N∪TM×N∪M×TD．M×N∩T=M×N∩M×T
【变式5-3】（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B={x|x∈A且x∉B}，则对于集合A={x|x=6n+5，n∈N}，B={y|y=3m+7，m∈N}，C=x|x∈A B且x<1000}，以下说法正确的是（ ）
A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个.
B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250.
C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个.
D．若在横线上填入”∪∁N”，则∁NC中元素个数为13.
【题型6 充分条件与必要条件】
【例6】（2024·四川雅安·一模）已知a,b∈R，则“a>b”是“a>b+1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式6-1】（2024·四川·一模）已知集合A=x−1≤x≤2，B=x−a≤x≤a+1，则“a=1”是“A⊆B”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【变式6-2】（2024·天津和平·二模）若x∈R，下列选项中，使“x2<1”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A．−2【变式6-3】（2023·江西萍乡·二模）集合A={x∣−1A．−1,2B．2,+∞C．−2,2D．2,+∞
【题型7 全称量词与存在量词命题】
【例7】（2024·河北·模拟预测）若命题“∃x∈R,x2+2x+a≤0”为真命题，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,1]B．(−∞,1)C．(−∞,0]D．(−∞,0)
【变式7-1】（2024·四川雅安·一模）命题“∀x∈R，x4≥x2−2x−2”的否定是（ ）
A．∀x∉R，x4C．∃x∈R，x4【变式7-2】（2024·四川遂宁·一模）已知命题p:∃x∈R,2x≥2x+1，则¬p为（ ）
A．∃x∉R,2x<2x+1B．∃x∈R,2x<2x+1
C．∀x∉R,2x<2x+1D．∀x∈R,2x<2x+1
【变式7-3】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题p:∃x∈0,3,a=−x2+2x：命题q:∀x∈−1,2,x2+ax−8≤0.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．−3,1B．−∞,2
C．−7,−3∪1,2D．−∞,−3∪1,2
1．（2023·北京·高考真题）若xy≠0，则“x+y=0”是“yx+xy=−2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023·北京·高考真题）已知集合M={x∣x+2≥0},N={x∣x−1<0}，则M∩N=（ ）
A．{x∣−2≤x<1}B．{x∣−2C．{x∣x≥−2}D．{x∣x<1}
3．（2023·全国·高考真题）设全集U=0,1,2,4,6,8，集合M=0,4,6,N=0,1,6，则M∪∁UN=（ ）
A．0,2,4,6,8B．0,1,4,6,8C．1,2,4,6,8D．U
4．（2023·全国·高考真题）设全集U=1,2,3,4,5，集合M=1,4,N=2,5，则N∪∁UM=（ ）
A．2,3,5B．1,3,4C．1,2,4,5D．2,3,4,5
5．（2023·全国·高考真题）设全集U=Z,集合M={x∣x=3k+1,k∈Z},N={x∣x=3k+2,k∈Z}，∁U(M∪N)=（ ）
A．{x|x=3k,k∈Z}B．{x∣x=3k−1,k∈Z}
C．{x∣x=3k−2,k∈Z}D．∅
6．（2023·全国·高考真题）设集合U=R，集合M=xx<1，N=x−1A．∁UM∪NB．N∪∁UM
C．∁UM∩ND．M∪∁UN
7．（2023·天津·高考真题）已知a,b∈R，“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
8．（2023·天津·高考真题）已知集合U=1,2,3,4,5,A=1,3,B=1,2,4，则∁UB∪A=（ ）
A．1,3,5B．1,3C．1,2,4D．1,2,4,5
9．（2023·全国·高考真题）设集合A=0,−a，B=1,a−2,2a−2，若A⊆B，则a=（ ）．
A．2B．1C．23D．−1
10．（2024·北京·高考真题）已知集合M={x|−3A．x−1≤x<1B．xx>−3
C．x|−311．（2024·全国·高考真题）若集合A=1,2,3,4,5,9，B=xx+1∈A，则A∩B=（ ）
A．1,3,4B．2,3,4C．1,2,3,4D．0,1,2,3,4,9
12．（2024·全国·高考真题）已知集合A=1,2,3,4,5,9,B=xx∈A，则∁AA∩B=（ ）
A．1,4,9B．3,4,9C．1,2,3D．2,3,5
13．（2024·天津·高考真题）集合A=1,2,3,4，B=2,3,4,5，则A∩B=（ ）
A．1,2,3,4B．2,3,4C．2,4D．1
14．（2024·全国·高考真题）已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则（ ）
A．p和q都是真命题B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题D．¬p和¬q都是真命题
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
交集
属于A且属于B的所有元素组成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于A或属于B的元素组成的集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集
{x|x∈U，x∉A}
∁UA
命题真假
“若p,则q”是真命题
"若p,则q"是假命题
推出关系及符号表示
由p通过推理可得出q，记作：p⇒q
由条件p不能推出结论q，记作：
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
全称量词
所有的、任意一个、 一切、每一个、任给
符号
∀
全称量词命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”