专题1.2 集合与常用逻辑用语（练习）（举一反三）（新高考专用）-2025年高考数学二轮复习专练

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题型一
集合中元素个数问题
1．（2024·河南郑州·模拟预测）已知集合P=nn=2k−1,k∈N∗,k≤10，Q=2,3,5，则集合T=xyx∈P,y∈Q中元素的个数为（）
A．30B．28C．26D．24
2．（24-25高一上·北京·期中）已知集合A=xmx2−2x+3=0,m∈R，若A中恰有2个元素，则m的取值范围是（）
A．(−∞,0)∪(0,13)B．0
C．(−∞,0)∪(0,13]D．(−∞,13)
3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设集合A=x,yx2+y2≤2,x∈N,y∈N，则A中元素的个数为 .
4．（2024高三·河北·学业考试）设集合A=1,2,3，B=4,5，M=xx=a+b,a∈A,b∈B，则M中的元素个数为．
题型二
集合间的关系
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知集合A={x|x2≤1,x∈N}，B=x|x>a，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）
A．−∞,0B．−∞,0C．1,+∞D．1,+∞
6．（2024·黑龙江·三模）已知集合A={2,3}， B={x|0A．2B．3C．4D．5
7．（2024·重庆·三模）已知集合A=xx2−5x+6=0，B=x−18．（2024·广西·二模）已知集合A=m+2,1,4，B=m2,1，若B⊆A，则实数m= ．
题型三
集合的交、并、补集运算
9．（2024·广东广州·模拟预测）已知集合A=xy=2−x,y∈R，B=xx>−2,x∈Z，则A∩B=（）
A．−1,0,1,2B．−1,0,1C．N∗D．N
10．（2024·四川·模拟预测）已知全集U=0,1,2,3,4，集合A=0,1,2,B=1,2，则集合0=（）
A．∁UA∩∁UBB．∁UA∩B
C．∁UA∩BD．∁UB∩A
11．（2024·天津和平·二模）设集合U=x∈Nx≤7，S=0,2,4,5，T=3,5,7，则S∩∁UT= ．
12．（2024·江西吉安·模拟预测）设集合A=1,2,3,4,B=x54≤x<4，则集合A∩B的子集个数为 .
题型四
集合中的含参问题
13．（2024·贵州遵义·二模）已知集合A={x∣21}，若A∪B=R，则整数a的值为（）
A．4B．5C．6D．7
14．（2024·云南·模拟预测）设集合U={x,y|x∈R,y∈R}，A={x,y|2x−y+m≥0}，B=x,y|x+y−n>0，若点P2,3∈A∩∁UB，则m+n的最小值为（）
A．−6B．1C．4D．5
15．（2024·江苏常州·三模）集合A=x−1≤x+1≤6，B=xm−116．（2024·安徽·模拟预测）已知A=xlgx<1，P=xx−1≤m，若∁RA⊆∁RB，则m的取值范围为．
题型五
集合的新定义问题
17．（2024·湖南·模拟预测）定义集合A÷B=zz=xy,x∈A,y∈B．已知集合A=4,8，B=1,2,4，则A÷B的元素的个数为（）
A．3B．4C．5D．6
18．（2024·四川成都·模拟预测）对于非空实数集A，记A∗={y∀x∈A,y≥x}.设非空实数集合M⊆P，若m>1时，则m∉P.现给出以下命题：
①对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有P∗⊆M∗；
②对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有M∗∩P≠∅；
③对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有M∩P∗=∅；
④对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必存在常数a，使得对任意的b∈M∗，恒有a+b∈P∗，
其中正确的命题是（）
A．①③B．①④C．②③D．②④
19．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）对于集合M,N，定义M−N={xx∈M，且x∉N}，M⊕N=(M−N)∪(N−M)，设A={t|t=x2−3x,x∈R},B={x|x<0}，则A⊕B= .
20．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知集合A=x,y|x≤1,y≤1,x,y∈Z,B=x,y|x≤3,y≤2,x,y∈Z，定义集合A⊕B=x1+x2,y1+y2|x1,y1∈A,x2,y2∈B，则A⊕B中有个元素．
题型六
充分条件与必要条件
21．（2024·四川绵阳·一模）“ac2>bc2”，是“a>b”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
22．（2024·海南海口·二模）已知a>0,b>0，设甲：a−b>1，乙：a−b>1，则（）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
23．（2024·陕西西安·模拟预测）若“x>2”是“x2−a>2”的充分不必要条件，则a的取值范围是．
24．（2024·江苏无锡·模拟预测）设A，B，C，D是四个命题，A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必要条件，那么D是C的条件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要四选一）
题型七
全称量词与存在量词命题
25．（2024·湖北·一模）命题“∃a>0,a2+1<2”的否定为（）
A．∃a>0,a2+1≥2B．∃a≤0,a2+1≥2
C．∀a>0,a2+1≥2D．∀a≤0,a2+1≥2
26．（2024·湖北武汉·模拟预测）若命题“∃a∈1,3,ax2+a−2x−2>0”是假命题，则x不能等于（）
A．−1B．0C．1D．23
27．（2024·四川成都·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，2x>1，则¬p是 .
28．（2024·吉林·二模）若命题：“∃x∈R，ax2+x+1<0”为假命题，则实数a的取值范围为 .
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合A=x|x2−ax=0,B={2a,0,1}，若A⊆B，则a的值可以为（）
A．1B．0C．0或1D．1或2
2．（2024·云南昆明·模拟预测）命题“∀x∈R，x2−3x+4<0”的否定是（）
A．∃x0∉R，x02−3x0+4≥0B．∃x0∈R，x02−3x0+4>0
C．∃x0∈R，x02−3x0+4≥0D．∀x∉R，x2−3x+4≥0
3．（2024·陕西汉中·二模）已知全集U={x∈Z∣−3≤x<3}，集合A={−2,0,2},B={−1,0}，则∁U(A∪B)=（）
A．{−3,1}B．{−3,3}
C．{−3,1,3}D．∅
4．（2024·天津北辰·三模）对于实数x，“x≠5”是“x−3≠2”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合P=xx=2k,k∈Z,Q=xx=2k+1,k∈Z,M=xx=4k+1,k∈Z，且a∈P,b∈Q，则（）
A．a+b∈MB．a+b∈QC．a−b∈PD．a⋅b∈Q
6．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知集合A=0,1,2，B=1,2,3，若集合C={z∈N*z=xy,x∈A且y∈B}，则C的子集的个数为（）
A．8B．16C．32D．64
7．（2024·河北保定·二模）已知集合A=x∈Zx+1>0，B=xx≤a，若A∩B中有2个元素，则a的取值范围是（）
A．2,4B．1,2C．2,4D．1,2
8．（2024·全国·二模）已知集合A=−2,−1,0,1,2，集合B=xx2−x−a<0，则满足A∩B=0,1的实数a的取值范围是（）
A．0,2B．2,6C．0,2D．0,6
二、多选题
9．（2024·重庆·三模）命题“存在x>0，使得mx2+2x−1>0”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A．m>−2B．m>−1C．m>0D．m>1
10．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知集合U={2,3,5,7,11,13,17},A={2,5,7,13},B={3,7,13,17},C={7,13}，则下列关系正确的是（）
A．∁UA∩∁UB=∁UA∪BB．∁U∁UA=∁U∁UB
C．A∩C=B∩CD．∁U(A∩B)=∁UC
11．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意A,B⊆R，记A⊕B=x|x∈A∪B,x∉A∩B，并称A⊕B为集合A，B的对称差．例如：若A=1,2,3，B=2,3,4，则A⊕B=1,4．下列命题中，为真命题的是（）
A．若A,B⊆R且A⊕B=B，则A=∅B．若A,B⊆R且A⊕B=∅，则A=B
C．若A,B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD．存在A,B⊆R，使得A⊕B≠∁UA⊕∁UB
三、填空题
12．（2024·山东菏泽·二模）已知A=3,5,B=12,18，集合C=xx=ab,a∈A,b∈B．则集合C中所有元素之和为．
13．（2024·全国·模拟预测）设集合A=1,n,5,B=xx2−4x+m=0.若1⊆A∩B且B⊆A，则m+n=
.
14．（2024·全国·模拟预测）已知x表示不超过x的最大整数.例如[2.1]=2，[−1.3]=−2，[0]=0，若A={y∣y=x−[x]}，B={y∣0≤y≤m}，y∈A是y∈B的充分不必要条件，则m的取值范围是 .
四、解答题
15．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合A=xax2+bx+1=0,a∈R,b∈R.
(1)当a=2时，A中只有一个元素，求b的值；
(2)当b=2时，A中至多有一个元素，求a的取值范围.
16．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知命题p:关于x的方程mx2+2x−1=0有实数根.命题q:∀x∈1，4，不等式−x2+4x−3≥m2−4m恒成立.
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围;
(2)若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围.
17．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合P=x∈Rx2−3x+b=0,Q=x∈Rx+1x2+3x−4=0.
(1)若b=4，存在集合M使得P为M 的真子集且M为Q的真子集，求这样的集合M；
(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围.
18．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知集合U为实数集，A=xx≤−5或x≥8，B=xa−1≤x≤2a+1.
(1)若a=5，求∁UA∩B；
(2)设命题p：x∈A；命题q：x∈B，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
19．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a,b∈R，有a⊕b=ab，a⊗b=ab+1.设全集U=xx=a⊕b+a⊗b,0(1)求集合U；
(2)求集合A；
(3)集合A,B是否能满足∁UA∩B=∅？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由.