吉林省四平市2023_2024学年高二数学上学期期中试题含解析

这是一份吉林省四平市2023_2024学年高二数学上学期期中试题含解析，共24页。试卷主要包含了本卷主要考查内容， 已知圆C， 已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第二章~第三章.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（）
AB. C. D.
2. 已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（）
A. 30°B. 45°C. 135°D. 150°
3. 已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（）
A. B.
C. D.
4. 已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数（）
A. B. 2C. D. 4
6. 已知圆C：上任意一点关于直线对称点也在圆上.则实数（）
A. 4B. 6C. D.
7. 已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且M是的中点，则直线AB的方程为（）
AB. C. D.
8. 如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线l过点，点，到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是（）
A. B.
C. D.
10. 已知双曲线，则下列说法正确的是（）
A. 双曲线的实轴长为B. 双曲线的焦距为
C. 双曲线的离心率为D. 双曲线的渐近线方程为
11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（）
A. 的周长为B. 的面积的最大值为2
C. 若，则最小值为D. 的最小值为
12. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过轴上异于坐标原点的任意一点作抛物线的一条切线，切点为，且直线的斜率存在，为坐标原点.则（）
A. B. 当线段的中点在抛物线上时，点的坐标为
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______.
14. 已知圆和圆，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为______.
15. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的一点，则的最大值为______.
16. 已知双曲线的右焦点为F，离心率为，点A是双曲线C右支上的一点，O为坐标原点，延长AO交双曲线C于另一点B，且，延长AF交双曲线C于另一点Q，则___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点和点.
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行，且m与l间的距离为，求直线m的方程.
18. 已知点、，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围.
19. 已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求．
20. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.
21. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22. 如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线，斜率分别为，，求的值；
（3）证明：直线过定点.四平市普通高中2023-2024学年度第一学期期中教学质量检测
高二数学B试题
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第二章~第三章.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的方程即得.
【详解】因为圆的圆心为，
则圆圆心坐标是.
故选：C．
2. 已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（）
A. 30°B. 45°C. 135°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】利用两点间的斜率公式可求出其斜率为，再由倾斜角与斜率的关即可得出结果.
【详解】易知两点间的斜率，
设直线倾斜角为，由斜率与倾斜角之间的关系可得，
故该直线的倾斜角为135°.
故选：C.
3. 已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线与两坐标轴的焦点为，.根据，可设椭圆的方程为，求出即可.
【详解】令，可得；令，可得.
则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，.
因为，所以椭圆的焦点在轴上.
设椭圆的方程为，则，，
所以椭圆的方程为.
故选：C.
4. 已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】设，由抛物线定义，，解出，代入抛物线方程，可求，再由两点间距离公式可求.
【详解】由抛物线C：，得焦点，设，
所以，由，
解得，所以，
所以.
故选：D.
5. 已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数（）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由，得为直角三角形，根据双曲线定义，再利用以及勾股定理建立等量关系即可求解.
【详解】因为的面积为4，所以的面积为8.
又，所以，
所以为直角三角形，且.
设，，
所以，，
所以，
所以，
又，所以.
故选：C.
6. 已知圆C：上任意一点关于直线的对称点也在圆上.则实数（）
A. 4B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的对称性可知直线要经过圆心.
【详解】圆C：的标准方程为，
要使得圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上，
则直线经过圆心，即，解得，
故选：B
7. 已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且M是的中点，则直线AB的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出抛物线方程，再用点差法求出直线斜率，最后写出直线方程.
【详解】因为抛物线焦点为，所以，
设，，则，，
所以，易知，所以，
又，所以，
所以直线的方程为，即，
故选：B
8. 如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆与圆的性质计算即可.
【详解】设，易知，
则，，
又，
所以.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线l过点，点，到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是（）
A. B.
CD.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，分别讨论直线l与直线AB平行或直线l过线段AB的中点，即可求直线l的方程.
【详解】当直线l与直线AB平行时，因为，所以直线l的方程为，即.
当直线l过线段AB的中点时，AB的中点为，所以直线l的方程为，即.
综上所述，直线l的方程为或.
故选：AC.
10. 已知双曲线，则下列说法正确的是（）
A. 双曲线的实轴长为B. 双曲线的焦距为
C. 双曲线的离心率为D. 双曲线的渐近线方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据双曲线方程求解出a，b，c，由双曲线的性质逐一判断．
【详解】双曲线，则，
双曲线的实轴长为，故A错误；
双曲线的焦距为，故B正确；
双曲线的离心率，故C正确；
双曲线的渐近线方程为，故D错误．
故选：BC．
11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（）
A. 的周长为B. 的面积的最大值为2
C. 若，则的最小值为D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A，由定义可得；选项B，，数形结合当点到的距离最大，即高最大时面积最大；选项C，设点表达，利用椭圆方程消元求函数最值即可；选项D，利用的斜率意义，转化为直线与椭圆有公共点求斜率范围，从而求得最小值.
【详解】选项A，由椭圆方程可知，，
所以周长，故A正确；
选项B，因为点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，
所以，
所以的面积，
当，即时，
即点位于短轴端点时，的面积最大，最大为2，故B正确；
选项C，由，点，且，
因为，
当时，取最小值，且最小值为，故C错误；
选项D，的几何意义为与点两点连线的斜率，设为，
由得，
，
解得，
如图，当直线与椭圆C相切时，，
所以的最小值为.故D正确.
故选：ABD.
12. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过轴上异于坐标原点的任意一点作抛物线的一条切线，切点为，且直线的斜率存在，为坐标原点.则（）
A. B. 当线段的中点在抛物线上时，点的坐标为
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A选项：由焦点到准线的距离为2即可验证；
对于B选项：设点的坐标为，根据中点坐标公式以及线段的中点在抛物线上即可验证；
对于C选项：可转换为相应的斜率的乘积是否为即可验证；
对于D选项：表示出相应的线段长度即可验证.
【详解】如下图所示：
对于A选项：由题意焦点的坐标以及准线方程分别为，
所以焦点到准线的距离为，因此A选项符合题意；
对于B选项：由题意设点的坐标为，又由A选项分析可知，抛物线方程为，
所以线段的中点坐标为，将其代入抛物线方程得，
解得，此时点的坐标为，因此B选项不符合题意；
对于C选项：由题意设点的坐标为，切线的方程为，
将其代入抛物线方程得，整理得，
所以，
因为，所以解得，所以切线的斜率为，
又因为点的坐标为，，所以直线的斜率为，
所以，所以，因此C选项符合题意；
对于D选项：由C选项分析可知，又，
所以有，解得，
将其代入切线的方程，解得，
所以切点的坐标为，又因为，，，
所以，，，，
所以，即，因此D选项符合题意.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题AB两选项常规验证即可，对于C选项关键是要将所验证的转换为相应的斜率的乘积是否为，对于D选项关键是要想办法表示所有线段的长度，然后作差验证是否恒为0即可.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆的标准方程和几何性质、一元二次不等式的解法运算即可得解.
【详解】解：∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，
∴由，解得：或，
∴实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知圆和圆，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用两圆的方程相减，即可求得两圆公共弦所在的直线方程.
【详解】由圆和圆，
两圆的方程相减，可得，
即圆与圆的公共弦所在的直线方程为.
故答案为：.
15. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的一点，则的最大值为______.
【答案】25
【解析】
【分析】先根据定义得到和的关系，再利用均值不等式求最大值.
【详解】因为点P是椭圆C上的一点，所以，
又由均值不等式可得，
当且仅当，即，时等号成立，
故答案为：25
16. 已知双曲线的右焦点为F，离心率为，点A是双曲线C右支上的一点，O为坐标原点，延长AO交双曲线C于另一点B，且，延长AF交双曲线C于另一点Q，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】在中，由勾股定理可求得、用含有a的代数式表示，在中，由勾股定理可求得用含有a的代数式表示，在中，由勾股定理可求得可用含有a的代数式表示，进而求得结果.
【详解】如图所示，
∵，则，，
由双曲线的对称性知：，，
又∵，
∴四边形为矩形，
设，则由双曲线的定义知：，
在中，，即：，
整理得：，即：，
∵，∴，
∴
设，则由双曲线的定义知：，
在中，，即：，
解得：，即：，
又∵，
∴在中，
∴
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点和点.
（1）求直线l方程；
（2）若直线m与l平行，且m与l间的距离为，求直线m的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）法一，已知两点求斜率，再由点斜式方程可得，法二，由两点式方程可得；
（2）设出直线方程，由直线平行得斜率，再由两平行直线间的距离公式可求.
【小问1详解】
法一：由题意得直线l的斜率，
故直线l的方程为，即；
法二：由两点式方程可得，，
化简得.
【小问2详解】
可设直线m的方程为，
由题意得，解得或，
故直线m的方程为或.
18. 已知点、，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面内两点间的距离公式化简可得出轨迹的方程；
（2）求出圆的方程，分析可知，圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于的不等式，结合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：由得，
即，整理得，
故动点的轨迹的方程为.
【小问2详解】
解：∵点的坐标为且圆与轴相切，∴圆的半径为，
∴圆的方程为，
∴圆与圆两圆心的距离为，
∵圆与圆有公共点，∴，
即，且，解得，
所以实数的取值范围是.
19. 已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对称的性质进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合抛物线的定义进行求解即可.
【小问1详解】
该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为关于抛物线的准线的对称点为，
所以有；
【小问2详解】
直线的方程为，与抛物线方程联立，得
，设，
因此有，
则有
【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义，结合一元二次方程的根与系数关系是解题的关键
20. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据，，以及，求解即可；
（2）设直线的方程为与椭圆联立，利用弦长公式表示，根据点到直线的距离公式求解高，即可根据三角形面积公式进行求解.
【小问1详解】
由题意得：，，，
解得：，，，
双曲线的标准方程为．
【小问2详解】
由题意可知，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，，，，
联立方程组，消去整理得，
则，
原点到直线的距离为，
所以，
解得或，故或，
故直线方程为或
21. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在定点，定值为
【解析】
【分析】（1）根据题意得，将点代入方程即可解决；
（2），结合韦达定理得，即可解决
【小问1详解】
由题知，，
所以椭圆为，由点在椭圆上得解得，故椭圆方程为
【小问2详解】
设，
由，得
所以，
所以
，
所以，解得，
所以存在定点，使得为定值.
22. 如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，求的值；
（3）证明：直线过定点.
【答案】（1）
（2）
（3）直线过定点,证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据双曲线上的点求标准方程；
（2）利用韦达定理运算求解即可；
（3）利用联立方程组，结合韦达定理求得的坐标，猜想过定点，并用三点共线与斜率的关系证明求解.
【小问1详解】
因为点和点在双曲线上，
所以，解得，所以双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为，
设，
联立，整理得，
若，即，直线的斜率为，与渐近线平行，
此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以，
所以
，
，
因为,所以
，所以.
【小问3详解】
（i）当轴时，且，
所以，则，
联立，整理得，
即，解得或，
当时，，所以，
由于对称性，，此时直线过定点；
（ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为，
因为，所以联立，
即，所以，
解得或，
当时，，
所以,
同理，将上述过程中替换为可得，
所以，，
因为，所以，
所以，
所以三点共线，即此时直线恒过定点，
综上直线过定点.