高二数学期中模拟卷（全解全析）

这是一份高二数学期中模拟卷（全解全析），共17页。试卷主要包含了测试范围，难度系数等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。
5．难度系数：0.75。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为.
故选:D.
2．若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可得故，
解得，
故选：A
3．已知空间向量，空间向量满足且，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】∵，且空间向量满足，
∴可设，
又，∴，得．
∴，故A正确.
故选：A.
4．已知直线，若，则（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】B
【详解】因为，，
所以，所以，解得或，
当时，，，直线重合，不满足要求，
当时，，，直线平行，满足要求，
故选：B.
5．直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【详解】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象，
当直线与曲线相切时，
则圆心到直线的距离为，
可得（正根舍去），
当直线过时，，
如图，直线与曲线恰有1个交点，则或.
故选：D.
6．若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】圆，即，
所以圆心为，半径为，
圆，即，
所以圆心为，半径为，
所以两圆圆心距为，
所以两圆相交，两圆方程作差得到，即公共弦方程为，
又圆的圆心到的距离为，
所以公共弦的长为.
故选：B
7．一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故，
且，故，
所以椭圆的标准方程为.
故选：B
8．在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则，
所以
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：A.
9．已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为，
由题知，圆的圆心为2,3，半径为，圆的圆心为，半径为，
则，
由图可知，
当且仅当共线时取等号，
因为，所以的最小值为.
故选：B

10．如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】连接，
由题意知：；
令，则，，
四点共面，（当且仅当时取等号），
；
设点到平面的距离为，则点到平面的距离为，
又，，
，即的最小值为.
故选：C.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．方程表示的图形是 .
【答案】直线或单位圆
【详解】由方程即可求解.
由方程可得：或，
所以方程表示的曲线是直线或单位圆，
故答案为：直线或单位圆.
12．已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则椭圆离心率为 ，的周长为 .
【答案】；
【详解】由已知可得，
的周长为.
故答案为：；.
13．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，，动点在线段MN上运动，若，则 .

【答案】
【解析】如图，取的中点，连接AE交于点．

因为M，N分别是的中点，所以．
因为平面，所以平面．
因为平面EMN，所以平面平面，
点在平面EMN内，所以由等和面定理可知，．
故答案为：.
14．已知点，点在圆上，则的取值范围是 ；若与圆相切，则 .
【答案】
【详解】圆标准化为，圆心，半径，，
则，所以的取值范围是，
当与圆相切时，可知.
故答案为：；
15．已知曲线，给出下列四个命题：
①曲线关于轴、轴和原点对称；
②当时，曲线共有四个交点；
③当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是；
④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积．
其中所有真命题的序号是 ．
【答案】①②③
【详解】
①设点在上，
对于点，代入方程，也在上；
对于点，代入方程，也在上；
对于点，代入方程，也在上；
所以曲线关于x轴、y轴和原点对称，正确；
②联立可得，即或，
当时，都有，即存在交点；
当时，都有，即存在交点；
综上，共有四个交点，正确；
③当时，则，
故，可得，
曲线上任意一点到原点距离
，
当时，
结合对称性知：曲线对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离
的最大值是3，正确.
④当时，对于曲线是圆心为原点，半径为的圆，
设曲线围成的区域为，曲线围成的区域为，
设，则，故，
故，故，故Px,y在的内部，
故的面积不大于的面积，故④错误.
故答案为：①②③
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（13分）求满足下列条件的曲线方程：
(1)求过点且与圆相切的直线方程；
(2)求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程.
【详解】（1）据点可设直线方程为.
圆的方程可化为，故点到所求直线的距离为，
从而.（4分）
所以，
得.
这就说明或，所以所求直线的方程为或.（7分）
（2）设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，故该圆的半径为，
所以该圆的方程是，即.（11分）
而该圆被直线截得的弦长为，故该圆圆心到直线的距离为.
所以，解得.
故所求的圆的方程为或.（13分）
17．（14分）已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线与圆相交于两点．
(1)求圆的标准方程；
(2)当时，求直线的方程．
【详解】（1）设圆A的半径为r，由题意知，
圆心到直线l的距离为，即，
所以圆A的方程为；（5分）
（2）当直线与x轴垂直时，直线方程为，即，
点A到直线的距离为1，此时，符合题意；
当直线与x轴不垂直时，设，即，
取的中点Q，连接，则，（9分）
因为，所以，（10分）
又点A到直线的距离为，（12分）
所以，解得，所以直线方程为．
综上，直线的方程为或．（14分）
18．（13分）
如图，在三棱柱中，平面，，，.
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求点到平面的距离.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，A0,0,0,,,,,,（5分）
设平面的法向量为
得，取，（9分）
设直线与平面所成角为，所以.（11分）

（2）因为,，
设点到平面的距离为，所以 .（13分）
19．（15分）
已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围.
【详解】（1）由题意得，且，即，
解得，
所以椭圆的离心率.（5分）
（2）由题意，得.
设，则.（8分）
所以，（12分）
因为，
所以当时，；当时，.
所以的取值范围为.（15分）
20．（15分）
如图，三棱柱中，平面平面，，过的平面交于点E，交BC于点F.

(1)求证：平面；
(2)求证：四边形为平行四边形；
(3)若，求二面角的大小.
【详解】（1）平面平面，
平面平面，平面ABC，
所以平面，所以，
因为三棱柱中，，
所以四边形为菱形，所以,
平面，平面,，
所以平面；（4分）
（2）因为平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，
所以，
因为平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，
所以四边形为平行四边形；（8分）
（3）在平面内，过A作.
因为平面，
如图建立空间直角坐标系，

由题意得，，.
因为，所以，所以.（10分）
由（1）得平面的法向量为.
设平面的法向量为n=x,y,z，
则，即，
令，则，所以，（14分）
所以，
由图知二面角的平面角是锐角，
所以二面角的大小为45°.（15分）
21．（15分）
规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A的位置为（R），目标球B的位置为，球的位置为，解决下列问题：
(1)如图①，若，沿向量的方向击打母球A，能否使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由；
(2)如图②，若，要使目标球B向球的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程；
(3)如图③，若，能否让母球A击打目标球B后，使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由．
【详解】（1）若时，沿向量的方向击打母球A，则，而，
所以，即两向量同向共线，
所以沿向量的方向击打母球A，能使目标球B向球的球心方向运动；（3分）
（2）若，过点B4,0与点的直线方程为．
依题意，知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限，

设A，B两球碰撞时球A的球心坐标为，此，
则有，解得，（7分）
即A，B两球碰撞时球A的球心坐标为，
∴母球A的球心运动的直线方程为；（9分）
（3）若，由（2）知．又，
∴，
∴，
故为锐角．（13分）
∴点B4,0到线段的距离小于2，故球A的球心未到直线上的点之前就会与球B碰撞．
故不可能让母球A击打目标球B后，使目标球B向处运动．（15分）