高二数学期中模拟卷（全解全析）（沪教版2020）

这是一份高二数学期中模拟卷（全解全析）（沪教版2020），共17页。试卷主要包含了测试范围，难度系数等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。
5．难度系数：0.72。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．不重合的两个平面最多有 条公共直线
【答案】1
【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，
当相交时，有且只有一条公共直线.
故答案为：1
2．已知球的表面积是，则该球的体积为 .
【答案】
【解析】设球的半径为r，则表面积，
解得，
所以体积，
故答案为：
3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B= ;
【答案】
【解析】如图，

若角∠A的两边和角∠B的两边分别平行，且方向相同，则∠A与∠B相等
此时；
②当角∠A的两边和角∠B的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A与∠B互补，此时.
故答案为70或110.
4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线与底面所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.
【答案】
【解析】如图,因为平面,平面,
所以,所以为直线与底面所成的角，
所以,
所以，
故答案为：.
5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为 ．（填序号）
①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直；
②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则；
③若直线与平面内的任意一条直线垂直，则；
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．
【答案】③
【解析】①过平面外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面时，有无数个平面垂直于平面，故①错误；
②若三点在平面同侧，则；若三点在平面两侧，则与相交，故②错误；
③直线与平面内的任意一条直线垂直，则垂直于平面内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得，故③正确；
④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；
故答案为：③
6．正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值为 .
【答案】
【解析】如下图：
连接AC交BD于O点，连接OE，则OEPA，所以就是异面直线BE与PA所成的角，连接，因为面ABCD，所以，又因为，，所以面，所以，所以直在角三角形EOB中，设，则，.
故答案为：.
7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 .
【答案】
【解析】解：由题意得：
圆锥的底面周长是，则，解得：
可知圆锥侧面展开图的圆心角是，如图所示：
则圆锥的侧面展开图中：，，
所以在圆锥侧面展开图中：
故答案为：
8．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为 ．
【答案】
【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且，，
所以，而上下底面周长分别为、，
故该圆台的侧面积为.
故答案为：
9．如图，已知三棱柱的体积为3，P，Q，R分别为侧棱，，上的点，且，则 .
【答案】1
【解析】在三棱柱中，易知侧面为平行四边形，设其面积为，上的高为，
在平行四边形中，易知四边形为梯形或平行四边形，设其面积为，且其高为，
则，
在三棱柱中，易知平面，点到平面的距离与点到平面的距离，设该距离为，
连接，作图如下：
则，
设三棱柱的体积，由图可知，，即，
故答案为：.
10．已知大小为的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 ．
【答案】3
【解析】如图，设二面角为，点，且，
过点A作平面，垂足为，连接，
∵平面，，
∴，
又∵，平面ABC，
∴平面ABC，
平面ABC，则，
故二面角的平面角为，
在Rt△ABC中，，
故点A到平面的距离为3.
故答案为：3.
11．正方形中，，分别为线段，的中点，连接，，，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥外接球半径与内切球半径的比值为 ．

【答案】
【解析】在正方形中，，
折起后两两互相垂直，
故该三棱锥的外接球，即以为棱的长方体外接球，
不妨设正方形边长为2，则，
故，则，
因为，
而该三棱锥的表面积与正方形的面积相同，即，
则，即，故，
所以.
故答案为：.
12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个
【答案】32
【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；
然后分3分个点到平面的距离相等，有以下两种可能性：
（1）全同侧，这样的平面有2个；
（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，
1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，
考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，
故共有6个，
所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有个，
故答案为：32
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)
13．下列几何体中，多面体是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；
C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体.
故选B.
14．已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（ ）．
A．、都垂直于一个平面γ
B．平面内有无数条直线与平面平行
C．l、m是内两条直线，且∥，∥
D．l、m是两条异面直线，且∥，∥ ，∥，∥
【答案】D
【解析】对于A，如在正方体中，平面和平面都与平面ABCD垂直，但这两个平面不平行，所以A错误，
对于B，如在正方体中，平面和平面，平面中所有平行于交线的直线都与平面平行，但这两个平面不平行，所以B错误，
对于C，如在正方体中，平面和平面，分别为的中点，则在平面内，且都与平面平行，但这两个平面不平行，所以C错误.
对于D，因为l、m是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面时，一定在内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．
故选：D
15．将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（ ）

A．B．864C．576D．
【答案】B
【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，
所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为，
故

故选：
16．如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面．设与平面所成的角为与所成的角为，那么下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为的最小值为
B．的最小值为的最大值为
C．的最小值大于的最小值大于
D．的最大值小于的最大值小于
【答案】A
【解析】如图，取的中点，连接；
设正方体的棱长为，
因为，且平面，平面，
平面；
同理平面，且；
∴平面平面，∴;
∵面，所以与平面所成的角为；
又，
所以与所成的角为（或其补角）；
；
当为中点时，此时最小，则最大，最大值为，此时的最大值为；
当与或重合时，此时最大，则最小，最小值为2，此时的最小值为；
，；
对于，当为中点时，；
当与或重合时，最小，又，
，
，
，，故A正确，BC错误，
又，，所以D选项错误.
故选：A.
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．如图，长方体中，，，点为的中点.
(1)求证：直线平面PAC；
(2)求异面直线与AP所成角的大小.
【解析】（1）设和交于点，则为的中点，连接， （1分)
∵是的中点，
∴， (3分)
又∵平面，平面，
∴直线平面； (6分)
（2）由(1)知，，
∴即为异面直线与所成的角， (8分)
∵，，且，
∴．
又，
∴
故异面直线与所成角的大小为． (14分)
18．如图，在圆柱中，底面直径等于母线，点在底面的圆周上，且，是垂足．
(1)求证：；
(2)若圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成角的大小．
【解析】（1）证明：根据圆柱性质，平面，
因为平面，所以，
又因为是圆柱底面的直径，点在圆周上，所以，
因为且平面，所以平面， (2分)
又因为平面，所以，
因为，且，且平面，所以平面，
又因为平面，所以． (6分)
（2）解：过点作，是垂足，连接，
根据圆柱性质，平面平面，且平面平面,
且平面，所以平面，
因为平面，所以是在平面上的射影，
从而是与平面所成的角， (8分)
设圆柱的底面半径为，则，
所以圆柱的体积为，且，
由，可得，可知是圆柱底面的圆心，且，
且，
在直角中，可得，所以． (14分)
19．如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.

(1)求证：直线EC与平面ABD没有公共点；
(2)求点C到平面BED的距离.
【解析】（1）取的中点，连接、，如图，

依题意，在中，，则，
而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，且，
因为平面，且，则有，且，
从而得四边形为平行四边形，， (4分)
又平面，平面，
则平面，所以直线EC与平面ABD没有公共点； (6分)
（2）因为平面，平面，所以，
因为，，平面所以平面
因为，于是得平面，
因为平面，平面，所以， (8分)
因为，所以，
则等腰底边上的高，，
而，设点C到平面BED的距离为d，
由得，
即，解得，
所以点C到平面BED的距离为1 (14分)
20．如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，底面是边长为2的等边三角形，PB=PD=，AP=4AF
（1）求证：PO⊥底面ABCD
（2）求直线与OF所成角的大小.
（3）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为底面是菱形，且，所以O为AC，BD中点，
在中，PB=PD，可得PO⊥BD，
因为在中，PA=PC，O为AC，BD中点，所以PO⊥AC， (3分)
又因为ACBD=O，所以PO⊥底面ABCD. (4分)
（2）连接OF，取AP中点为E，连接OE，
因为底面ABCD是菱形，ACBD=O，
由O为AC中点，且E为AP中点，AP=4AF，所以F为AE中点，所以CPOE. ，
故∠EOF为直线与OF所成的角， (8分)
又由为等边三角形，且E为中点，所以∠EOF=. (10分)
（3）存在，，
连接CE，ME，
因为AP=4AF，E为AP中点，所以，
又因为，所以在中，，即EMBF， (12分)
因为EM平面BDF，BF平面BDF，所以EM平面BDF，
由（2）知ECOF，因为EC平面BDF，OF平面BDF，所以EC平面BDF，
因为ECEM=E，所以平面EMC平面BDF，
因为CM平面EMC，所以CM平面BDF. (18分)
21．在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G．

(1)若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值；
(3)设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围．
【解析】（1）在平面内延长，相交于点P，则平面，又平面，
则有平面平面，，即A，G，P三点共线． (2分)
因为E为的中点，F为的中点，所以，所以，又因为，所以，
所以，即点G为棱上靠近点的三等分点． (4分)
（2）在平面内延长，相交于点Q，连接，则平面平面，
在平面内作于点M，则平面ABC，
又平面，所以，
在平面内作于点N，连接，
又平面，，所以平面，
平面，所以，
所以为截面与底面所成锐二面角的平面角． (6分)
在中，作于点H，，，，，
，，
由余弦定理，则，
，可得，所以，
又，所以，
故截面与底面所成锐二面角的正切值为. (10分)
（3）设，则，．
设的面积为S，所以，
又因为，所以，且，
故，令，则， (11分)
设，
当时，，
，，，则，即，
所以在上单调递减，
所以，，所以，
所以． (18分)