高二数学期中模拟卷（全解全析）

这是一份高二数学期中模拟卷（全解全析），共17页。试卷主要包含了测试范围，难度系数等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线的倾斜角为，则（ ）
A．0B．C．D．不存在
【答案】C
【解析】因为，
为一常数，故直线的倾斜角为，故选：C
2．在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，点A关于y轴对称的点为，
，点B关于平面对称的点为.
则.故选：B.
3．已知圆，圆，则两圆的位置关系（ ）
A．内切B．外切C．相交D．相离
【答案】B
【解析】易知圆的圆心为，半径为；
圆可化为，圆心，半径为；
圆心距，所以两圆外切.故选：B
4．已知点在焦点为的抛物线上，若，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】A
【解析】抛物线，准线，,
由抛物线的定义可知，解得.
故选：A.
5．如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】平行六面体中，，
因为，，，，
所以
，
所以，即的长为，
故选：A.
6．点P在直线上运动，，则的最大值是（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【解析】设关于的对称点为，
则，解得，即
故,
,
当且仅当，三点共线时，等号成立.
故选：A
7．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
【答案】C
【解析】椭圆的方程为，则，，，
连接，，
则由椭圆的中心对称性可知，
可知为平行四边形，则，
可得的周长为，
当AB位于短轴的端点时，AB取最小值，最小值为，
所以周长为．
故选：C.
8．如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论：
①存在点满足；
②存在点满足与平面所成角的大小为；
③存在点满足；
其中正确的个数是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】如图建立平面直角坐标系，则，，，，
设，，则，
若，则，解得，
所以存在点满足，故①正确；
因为，，设平面的法向量为n=a,b,c，
则，取，
设与平面所成角为，，
则，
令，，则，所以，
令，，则，所以，
所以存在点满足与平面所成角的大小为，故②正确；
因为，，
所以，所以，
所以存在点满足，故③正确.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．与垂直B．与共线
C．与所成角为锐角D．，，，可作为空间向量的一组基底
【答案】BC
【解析】对A：，故与不垂直，故A错误；
对B：由、，有，故与共线，故B正确；
对C：，且与不共线，
故与所成角为锐角，故C正确；
对D：由与共线，故，，不可作为空间向量的一组基底，故D错误.
故选：BC.
10．已知圆，直线.则以下命题正确的有（ ）
A．直线l恒过定点
B．y轴被圆C截得的弦长为
C．直线l与圆C恒相交
D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为
【答案】CD
【解析】对于A，直线，即，
由，解得，故直线过定点，故A错误；
对于B, 圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误；
对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确；
对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得，
故直线方程为：，即，故D正确.
故选：CD
11．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，下列说法正确的是（ ）
A．若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于4，则抛物线的方程为
B．若，则直线的倾斜角为
C．
D．若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为
【答案】AC
【解析】设，直线的方程为，
由，得，
则，
所以，，
对于A：若抛物线上存在一点，到焦点的距离等于4，
即，则，解得，
所以抛物线的方程为，故A正确；
对于B：，
即，代入，
可得，解得，
所以直线的斜率，即直线的倾斜角为或，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：若点到抛物线准线的距离为2，则，
所以抛物线方程为，，
连接，过点作轴于点，
则，
，
所以，
因为，所以，
所以，
综上，最小值为，故D错误．
故选：AC．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是 ．
【答案】
【解析】设的外接圆方程为，则
，解得，
所以三角形外接圆的方程为.
故答案为：
13．已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则 ．
【答案】
【解析】由题意可知：，且，
因为M为BC中点，N为AD中点，

则，
所以
.
故答案为：
14．设双曲线的左､右焦点分别为为左顶点，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点（点在第一象限）.若，则双曲线的离心率 ， .
【答案】2
【解析】如图，
由题意，知，设双曲线的焦距为，则.
由，得，且，
所以，所以，即，
所以双曲线的离心率.
连接，设，
则.
在和中，由余弦定理的推论，
得，
化简整理，得，
所以在中，由余弦定理的推论，
得.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知两直线和的交点为．
(1)直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；
(2)圆过点且与相切于点，求圆的一般方程．
【解析】（1）直线与直线平行，故设直线为，（1分）
联立方程组，解得．（3分）
直线和的交点．
又直线过点，则，解得，（4分）
即直线的方程为．（5分）
（2）设所求圆的标准方程为，（6分）
的斜率为，故直线的斜率为1，（7分）
由题意可得解得（10分）
故所求圆的方程为．（11分）
化为一般式：．（13分）
16．（15分）
在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.

(1)求点到直线的距离；
(2)求证：面.
【解析】（1）

如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，（1分，建系正确即可）
正四棱柱,为中点,
（2分）
则点到直线的距离为：.（8分）
（2）由（1）可得，
则，（9分）
由可得，（11分）
又由可得，（13分）
又，（14分）
故面.（15分）
17．（15分）
已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程：
(2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率.
【解析】（1）由椭圆的离心率为，得，（1分）
解得，（2分）
由椭圆过点，得，（3分）
联立解得，（4分）
所以椭圆的方程为.（5分）
（2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，（6分）
，则，
由消去得，显然，（7分）
则，（8分）
的面积（10分）
，（13分）
解得，（14分）
所以直线的斜率.（15分）

18．（17分）
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点.

(1)证明：∥平面；
(2)若，，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）如图，取中点，连接，，（1分，辅助线表述正确即可）
因为是中点，所以，，（2分）
又，，
，，
所以四边形是平行四边形，（3分）
，（4分）
又平面，平面，
平面.（5分）

（2），，又，，
，则，（6分）
又平面平面，平面平面，
平面，（7分）
，又，
所以，，两两互相垂直，
如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，（8分）
（i）设平面的一个法向量为，则
，即，令，可得，，
，（10分）
又平面的一个法向量为，（11分）
，
所以二面角的余弦值为.（12分）
（ii）假设线段上存在点，使得点到平面的距离为，
设，，，
，（13分）
由（i）知平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为，（15分）
则，解得或，（16分）
又，所以，
即存在点到平面的距离为，且.（17分）
19．（17分）
已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.
【解析】（1）由题意可知，因为，所以.（1分）
设，则，所以，（2分）
又，（3分）
所以.（4分）
所以双曲线C的方程为.（5分）
（2）（i）由题意知直线l的方程为.（6分）
联立，化简得，（7分）
因为直线l与双曲线左右两支相交，所以，
即满足：，（10分）
所以或；（11分）
（ii），（12分）
直线AD的方程为
直线BE的方程为.（13分）
联立直线AD与BE的方程，得，（14分）
所以，
所以，
所以
.
所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上.（17分）