浙江省丽水市五校高中发展共同体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份浙江省丽水市五校高中发展共同体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（Word版附解析），文件包含浙江省丽水市五校高中发展共同体2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题Word版含解析docx、浙江省丽水市五校高中发展共同体2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
考生须知：
1．本卷共4 页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求得直线的斜率，然后确定直线的倾斜角即可.
【详解】直线方程的斜截式为：，所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为：，所以，因为，
所以.
故选：D
2. 已知空间向量，，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量垂直得，即可求出的值.
【详解】.
故选：B.
3. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 内含B. 内切C. 外离D. 相交
【答案】D
【解析】
【分析】由圆心距与半径的和差比较可得．
【详解】，
，，因此两圆相交，
故选：D．
4. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根据题意求，即可得渐近线方程.
【详解】由题意可知：，且焦点在轴上，
即，可得，
所以该双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
5. 在正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作出异面直线和所成的角，然后解三角形求出两条异面直线所成角的余弦值.
【详解】设分别是的中点，由于分别是的中点，结合正方体的性质可知，
所以是异面直线和所成的角或其补角，
设异面直线和所成的角为，设正方体的棱长为，
，，
则.
故选：A.
【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
6. 如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4m，深度为0.5m，则该抛物线顶点到焦点的距离为（ ）

A. 0.25mB. 0.5mC. 1mD. 2m
【答案】D
【解析】
【分析】建立坐标系，求出抛物线方程即可求解.
【详解】以该抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：

设此抛物线方程为，依题意点在此抛物线上，
所以，解得，则该抛物线顶点到焦点的距离为.
故选：D
7. 已知椭圆分别为左右焦点，为椭圆上一点，满足，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理可得，再利用向量求的长.
【详解】由椭圆方程可知：，
可得，
在中，由余弦定理可得
，
即，解得，
因为为线段的中点，则，
可得
，
所以的长为.
故选：A.
8. 已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空间向量的数量积运算计算可得，即可得的轨迹，即可根据数量积的几何意义求解即可．
【详解】取的中点,,
则，
所以．
所以在以为球心，为半径的球面上，如图
可知在上的投影数量最小值为，
所以的最小值为，
所以的最小值为．
故选：B．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断.
【详解】对于选项：因为，
所以三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于选项：因为，
所以三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故D错误；
因为是空间中不共面的三个向量，
对于选项B：设，显然不存在实数使得该式成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故B正确；
对于选项C：设，
则，方程无解，即不存在实数使得该式成立，
所以不共面，可以作基底向量，故C正确；
故选：BC.
10. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ）
A. B.
C. 以为直径的圆与相切D.
【答案】CD
【解析】
【分析】求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系计算弦长和三角形面积判断选项的正误即可
【详解】直线过抛物线的焦点，
可得，则，所以A选项错误；
抛物线方程为，准线的方程为，
直线与抛物线交于两点，设Ax1,y1,Bx2,y2，
直线方程代入抛物线方程消去可得，
则，得，所以B选项错误；
的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为，
则以为直径的圆与相切，所以C选项正确；
点到直线的距离，，所以D选项正确．
故选：CD．
11. 已知线段是圆的一条动弦，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线与圆恒相交
C. 直线，的交点在定圆上
D. 若为中点，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由直线过定点即可判断A，由直线过定点以及点与圆的位置关系即可判断B，联立直线方程，然后消去即可得到点的轨迹方程，即可判断C，先求得点的轨迹方程，再由点的轨迹方程，即可得到的最小值，即可判断D.
【详解】对于选项A，因为直线，即，
令，解得，则直线恒过定点，故A正确；
对于选项B，因为直线，即，
令，解得，所以直线恒过定点，
将点代入圆可得，
即点在圆外，所以直线与圆不一定相交，故B错误；
对于选项C，联立两直线方程可得，解得，
消去可得，即，故C正确；
对于选项D，设，因为，且为中点，所以，
而圆的圆心，半径为，
则圆心到弦的距离为，即，
即点的轨迹方程为，圆心，半径为，
由选项C可知，点的轨迹方程为，圆心，半径为，
两圆圆心距为，
所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD
非选择题部分
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 抛物线的准线方程为______.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是
考点：抛物线方程
13. 已知空间中三点，则点到直线的距离为__．
【答案】
【解析】
【分析】空间直角坐标系中在的平分线上，在的平分线上，若面，连接，根据已知坐标及线面垂直的性质求点面距.
【详解】由题设，在的平分线上，在的平分线上，如下图所示，
若面，连接，显然，，
由都在面内，则面，
由面，则，故为等腰直角三角形，
由面，则，即的长度是点到直线的距离，
由题设有，故，则.
故答案为：
14. 已知分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与轴相切，则的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用过三点的圆恰与轴相切，求出圆的标准方程，再利用点在圆上，坐标适合方程即可求解．
【详解】由已知可得：，
线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与轴相切，
所以圆心坐标为，圆的半径为，
所以经过过三点的圆的圆的方程为，
在圆上，所以，
整理得：，所以，所以，
化为：，由，解得.
故答案为：．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 直线经过两直线和的交点．
（1）若直线与直线平行，求直线的方程；
（2）若点到直线的距离为2，求直线的方程．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出交点坐标，由平行设的方程为，代入交点坐标求解可得．
（2）分类讨论，判断斜率不存在的直线是否满足题意，斜率存在时设出直线方程，由点到直线距离公式求解．
【小问1详解】
由，求得，
可得两直线和的交点为,
当直线与直线平行，设的方程为，
把点代入求得，
可得的方程为．
【小问2详解】
当的斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为2．
当的斜率存在时，设直限的方程为，即，
则点到直线的距离为，求得，
故的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
16. 如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，．
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量的线性运算代入计算，即可得到结果；
（2）由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
点为的中点，，
，
．
【小问2详解】
，由（1）得
．
17. 已知圆圆心在直线上，且经过点和2,3.
（1）求圆标准方程；
（2）自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法设圆的一般方程，即可求解；
（2）因为反射光线所在的直线与圆相切，故对称圆与入射光线相切， 利用圆心到直线的距离等于半径列方程即可求.
【小问1详解】
设圆的方程为，
可得 解得
所以圆的方程为，即圆的标准方程为；
【小问2详解】
圆关于轴对称方程是，
设的方程为，即，
因为反射光线所在的直线与圆相切，故对称圆与入射光线相切，
所以对称圆心到的距离为圆的半径1，
则，
从而可得，
故光线所在直线的方程是或．
18. 如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）若是线段上一动点，直线与平面所成角正弦值为，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）设中点为，连接,．证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）取中点记为，连结,，由线面垂直的判定定理证明平面即可；
（3）建立空间直角坐标系，求平面法向量，再由线面角公式计算即可.
【小问1详解】
设中点为，连接，．如图①所示，
，分别为，中点，
且，
且，
即四边形为平行四边形，
又平面,平面，
平面.
【小问2详解】
取中点记为，连结,，如图②所示，
由等腰三角形得：,
,且平面,
平面,
平面,
【小问3详解】
由（2）得，为平面与平面所成二面角的平面角，
设则，则，
即平面与平面所成二面角的平面角为
如图建立空间直角坐标系，
,
设,设平面的法向量为，
由 取，则，
且
令与平面所成线面角为，
由,
得：
解得：（舍去）,
所以.

图① 图②
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点和，点是椭圆上不在轴上的任意一点，射线，分别与椭圆交于点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求内切圆面积的最大值；
（3）设，，的面积分别为，，．求证：为定值．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将两点坐标代入椭圆方程，求得方程组的解即可；
（2）先将面积表示成，又，设所在直线方程为，直曲联立结合韦达定理，即可求出的最大值，由此可求出的最大值，即可求解.
（3）设，，，通过直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理，先把三角形的面积都用、、表示，再利用、，把变量都用表示，即可求解.
【小问1详解】
将点和代入椭圆方程得解得
则椭圆的标准方程为；
【小问2详解】
周长为， 设内切圆半径为，内切圆面积为，
则，又，
设所在直线方程为，与椭圆方程联立得：
，所以

令，（时取最大值），
所以，，所以，
即内切圆面积的最大值为.
【小问3详解】
设，，，
因为点在椭圆上，所以，即．
由（1）得，，
设直线的方程为，，
联立，消去并整理得，
此时，由韦达定理得，
同理得：，
所以

.
故为定值．
【点睛】方法点睛：
解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)，
建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，
建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，
不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形，
强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，
重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．