浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学B卷试卷（Word版附解析）

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本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. 不存在C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】函数图像的斜率不存在，这倾斜角为.
【详解】因为函数的斜率不存在，所以倾斜角为.
故选：C.
2. 2024年，中国大陆居民的幸福感指数高达，持续领跑全球，幸福感指数常用区间[0，100]内的一个数来表示，数字越接近100表示满意度越高．现随机抽取10位学生，他们的幸福感指数为73，74，75，75，76，76，77，78，79，80．则这组数据的分位数是（ ）
A. 77.5B. 77C. 78D. 76.5
【答案】A
【解析】
【分析】根据百分位数的定义即可求出.
【详解】将这组数据从小到大进行排序，排序后依然为73，74，75，75，76，76，77，78，79，80．
数据个数，，则，是整数.
因为是整数，所以70%分位数是第个数和第个数的平均值，
第个数是77，第个数是78，则分位数为.
故选：A.
3. 高二6班和高二7班进行班级篮球赛，采用3场2胜制，已知6班实力强劲，其每场获胜的概率为，则最终7班能够逆袭成功的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】列出7班赢得比赛的情况，再根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案.
【详解】由题意得7班每场获胜概率为，每场输掉比赛的概率为，
则7班赢得比赛的情况有胜胜，胜败胜，败胜胜，
则其赢得比赛的概率为.
故选：D.
4. 直线方程的一个方向向量可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量.
【详解】解：依题意，为直线的一个法向量，∴方向向量为，
故选：D.
5. 如图，在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长至点，使得，根据四边形为平行四边形可知所求角为（或补角） ，利用余弦定理可求得所求角的余弦值，即可求得正弦值.
【详解】延长至点，使得，连接，
，
四边形为平行四边形，
异面直线与所成角即为与所成角，即（或补角） ，
设正方体的棱长为，
，，
，
，
，
异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解，解题关键是能够利用平行关系将异面直线所成角的问题转化为相交直线所成角的问题来进行求解.
6. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆方程的特征分析求解.
【详解】由题意可得：，解得，
所以的取值范围为.
故选：A.
7. 若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆上点到直线距离为1的点的个数可知圆心到直线的距离为1，计算可得结果.
【详解】易知圆的圆心为，半径为2，
若圆上恰有三个点到直线的距离等于1可知圆心到直线的距离为1，
即，解得.
故选：B
8. 已知实数满足，，则的最大值为（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】依题可得点在圆上，且，原问题等价为求解点和点到直线距离之和的倍的最大值，据此数形结合确定的最大值即可.
【详解】
由题意，可知在圆上，
由,可得,则,
因，
而和可理解为点到直线的距离和.
如图，取中点，连接,分别作于点，于点，于点，
则，且.
又,即点的轨迹方程为，
要使最大值，需使取最大值，
由图知，显然当线段经过圆心时，的值最大.
由点到直线的距离为，
故，此时，
故.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查距离公式的应用，等价转化、数形结合的思想，属于难题.
解题关键在于根据条件数形结合，将两个方程理解为单位圆上的两点，由条件得，将所求式理解为点到直线距离之和的倍，根据圆的性质和梯形中位线性质即可求得其最大值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 给出下列命题，其中正确的是 （ ）
A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是
C. 点P为平面ABC上一点，O为平面ABC外一点，且，则
D. 非零向量，，若，则为锐角
【答案】AC
【解析】
【分析】利用空间向量的基本性质即可判断选项AC，选项B利用空间坐标系的点对称做出判断，选项D利用向量的数量积做出判断即可.
【详解】对A，若是空间的一个基底，则，，不共面，假设共面，
则存在实数，，使，，
，，不共面，，，无解，故不共面，
也是空间的一个基底，故A正确.
选项B：点关于坐标平面的对称点是，选项B错误.
选项C：由空间向量共面的推论可知成立，，则，选项C正确.
选项D：，则，
∴可能为零角或直角，选项D错误.
故选：AC
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 经过点，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为
C. 直线过点，且与以为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是
D. 已知直线过点，直线过点，若，则．
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，整理成关于的方程即可；对B，举出过原点的反例即可；对C，作出图象并找到临界位置即可；对D，举出反例即可.
【详解】对于A，由直线方程，整理可得，
令，解得，所以直线过定点，故A正确；
对于B，过点，且在，轴上截距互为相反数的直线还有过原点的，其方程为，B错误；
对C，根据题意作出图象，如图所示：
当直线过时，设直线的斜率为，则；
当直线过时，设直线的斜率为，则，
所以要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是.，故C错误；
对D，当时，此时；，此时两直线垂直，故D错误.
故选：BCD.
11. 已知椭圆的两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是圆上任意一点．若的最小值为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的最小值为5B. 的最大值为5
C. 存在点使得D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】设，首先由圆得到圆心的坐标与半径，即可判断点在椭圆外部，再由，求出，得到，得到椭圆的方程；根据椭圆的定义及椭圆的有界性可判断A；由极化恒等式得可判断B；由知以为圆心为半径的圆在椭圆内，可判断C；将转化成求其最小值可判断D.
【详解】椭圆，则，所以，圆的圆心为，半径，
因为，所以，所以点在椭圆外部.
，当且仅当、、三点共线（在、之间）时等号成立，

设，则所以，解得，
所以，∴椭圆
对于A：∵， 设则，，所以，当1或5时，取得最小值5，所以A正确；
对于B：
又，∴，当且仅当在左、右顶点时取最大值5，故B正确；
对于C：∵，∴以为圆心为半径的圆在椭圆内，所以不存在点使得，故C不正确；
对于D：因为
，当且仅当、、、四点共线（且、在、之间）时取等号，故D正确.

故选：ABD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答．
【详解】依题意，，而为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离,
故答案为：
13. 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是________．

【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆性质写出焦点以及顶点坐标，再由轴，即可得，可求得离心率.
【详解】根据题意设椭圆的标准方程为，
如图所示则有，
直线方程为，代入方程可得，所以，
又，所以，
即，整理可得；
所以，即，
即可得椭圆的离心率为.
故答案为：
14. 已知集合，集合，若有两个元素，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】转化为直线与半圆有两个交点求解即可.
【详解】集合表示直线，
集合表示圆心为（0，1），半径为2的圆的下半部分．
如图所示．

∵有两个元素，
∴直线与半圆有两个交点．
当直线与圆相切时，即图中直线，
则有，解得或（舍去）．
当直线过点（2，1）时，即图中直线，
则有，解得．
结合图形可得．
∴实数 的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在正六棱柱中，为的中点．设，，.
（1）用，，表示向量，；
（2）若求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量；
（2）利用转化法可得向量数量积.
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】
由题意易知，
则，，
则
．
16. 某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案：方案（1）每日底薪100元，每销售一单提成2元；方案（2）每日底薪200元，销售的前50单没有提成，从第51单开始，每完成一单提成4元．该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，将样本数据分为七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值；
（2）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；
（3）假设该销售员选择了你在（2）中所选的方案，已知公司现有销售员400人，他希望自己的收入在公司中处于前40名，求他每日的平均业务量至少应达多少单？
【答案】（1）0.002
（2）选择方案（2） （3）每日的平均业务量至少应达82单
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图的矩形面积和为1求出的值；
（2）由每日人均业务量的平均值分别求出方案（1）和（2）的人均日收入；比较大小后再做选择；
（3）用40除以400得到，该员工收入需要进入公司群体人员收入的前10%，即超过90%，分析90%是否在前5组频率和以及前6组频率和之间，设对应销为，由频率分布直方图的百分位数的公式得到对应的值.
【小问1详解】
∵，
∴
【小问2详解】
每日人均业务量的平均值为：，
方案（1）人均日收入为：元，
方案（2）人均日收入为： 元，
∵248元>224元，
所以选择方案（2）
【小问3详解】
∵，即设该销售员收入超过了90%的公司销售人员.
由频率分布直方表可知：
前5组的频率和为
前6组的频率和为
∵，设该销售的每日的平均业务量为，
则，
∴，又∵
∴最小取82，
故他每日的平均业务量至少应达82单.
17. 已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）设Px,y，由，得动点的轨迹方程；
（2）利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程.
【小问1详解】
设Px,y，则，，
由，得，
所以曲线的标准方程为.
【小问2详解】
曲线是以为圆心，1为半径的圆，
过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；
过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，
有圆心到直线距离，解得，
则方程为.
过点且与曲线相切直线的方程为或.
18. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知，．
（1）求证：；
（2）求平面BDF与平面CDE夹角的余弦值；
（3）线段上EC上是否存在点，使平面平面BDF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，且
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，从而可证得结论；
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．
（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出线段上是存在点，使得平面平面，进而可求得的值．
【小问1详解】
证明：正方形与梯形所在的平面互相垂直，交线为，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以；
【小问2详解】
由（1）可得，，又，
如图，以原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．
设，则,0,，,1,，,0,，,2,，,0,，
取平面的一个法向量，
设平面的一个法向量,,，
因为，
则，
令，则，所以,,．
设平面与平面所成角的大小为，
则．
所以平面与平面所角的余弦值是．
【小问3详解】
若与重合，则平面的一个法向量,
由（2）知平面的一个法向量,,，则，
则此时平面与平面不垂直．
若与不重合，
如图设，则,,，
设平面的一个法向量,,，则，
即，令，则，，
所以，
平面平面等价于，
即，所以．
所以，线段上存在点使平面平面，且．
19. 已知是椭圆上的两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的上顶点和右焦点的直线与椭圆交于另一个点B，P为直线上的动点，直线分别与椭圆交于（异于点），（异于点）两点，证明：直线经过点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程，求得 ,即得答案；
（2）确定，求出直线方程，联立椭圆方程求得，表示出直线的方程，进而求得坐标，结合直线斜率关系，可证明结论.
【小问1详解】
由题意可得 ,解得 ，
故椭圆E的方程为．
【小问2详解】
证明：由（1）可知，，则直线的方程为
联立方程组,整理得，解得或，则，
设，直线的方程为，直线的方程为，
设，
联立方程组 ，整理得，
可得，
联立方程组 ，整理得，
则，得从而．
因为，
，
即，所以三点共线，
所以直线经过点F．