福建省厦门集美中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份福建省厦门集美中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）已知y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2B．a≠2C．a≥2D．a≠﹣2
3．（4分）一元二次方程2x2﹣x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法判断
4．（4分）如图，点A、B、P在⊙O上，若∠AOB＝80°，则∠APB的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
5．（4分）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转45°后得到△DOE，若AOB＝15°，则∠AOE的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
6．（4分）关于y＝2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．其图象开口向下
B．其最小值为2
C．当x＞3时y随x增大而减小
D．其图象的对称轴为直线x＝﹣3
7．（4分）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（ ）
A．8B．10C．12D．14
8．（4分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
9．（4分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（ ）
A．π（x+3）2﹣x2＝72B．
C．π（x+3）2﹣x2＝36D．
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a＜0）的图象经过A（n﹣6，m），B（4﹣n，m），M（﹣3，t2+10），N（d，6t）四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2024，5）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣3m＝0没有实数根，则m的取值范围为 ．
13．（4分）平面直角坐标系上的三个点O（0，0），A（﹣1，1），B（﹣1，0），将△ABO绕点O按顺时针旋转135°，则点A、B的对应点A1、B1的坐标分别是A1 ，B1 ．
14．（4分）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为 ．
15．（4分）已知y＝﹣x（x+3﹣a）+1是关于x的二次函数，x的取值范围是1≤x≤5．
（1）若y在x＝1时取得最大值，则a的取值范围是 ；
（2）若y在x＝1时取得最小值，则a的取值范围是 ．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9题，共86分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）解不等式组：．
18．（8分）先化简，再求值：，其中x满足x2+3x﹣4＝0．
19．（8分）如图，抛物线的顶点为A（﹣3，﹣3），此抛物线交x轴于O、B两点．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求△AOB的面积．
20．（8分）如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，求证：△ABC是等边三角形．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．
（1）尺规作图：将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，并使点C′落在边AB上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
（2）连接B'B，求B'B的长．
22．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝ ；
（2）若（x﹣2）（x﹣n）＝0是“倍根方程”，求代数式6﹣7n+n2的值；
（3）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（5﹣t，s），都在抛物线y＝ax2+bx+c＝0上，求一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根．
23．（10分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝50°，点P为弧AB上一点，连接CP．
（1）如图1，当CP⊥AB时，垂足为E，连接AO并延长分别交CP，BC于点F，G．
①∠BCP＝ °；
②求证：EF＝PE．
（2）如图，若CP与AB不垂直，过点A作AE⊥CP，垂足为E，连接PB，如果PB＝3，PE＝1，求线段CE的长．
24．（12分）
25．（14分）已知抛物线G1：y＝﹣x2+2mx+m和G2：y＝﹣x2+2nx+n（n＞m）相交于点A，过点A的直线l：y＝kx+b与抛物线G1交于另一点B，与抛物线G2交于另一点C，抛物线G1的顶点为点M，抛物线G2的顶点为点N．
（1）直接写出顶点M的坐标；（用含m的式子表示）
（2）当m＝﹣3，n＝2，且直线l∥x轴时，求证：MB＝NA；
（3）当k≠0时，若AB＝AC，求直线l的表达式．（用含m，n的式子表示）
2024-2025学年福建省厦门市集美中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【解答】解：A选项不是轴对称图象，也不是中心对称图形，不合题意；
B选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；
C选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；
D选项是轴对称图象，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形；如果一个图形绕某一个点旋转180度后能与它自身重合，这个图形叫做中心对称图形．
2．（4分）已知y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2B．a≠2C．a≥2D．a≠﹣2
【分析】根据二次函数的定义进行解答．
【解答】解：根据题意可知，y＝（a+2）x2﹣5x是关于x的二次函数，
所以a+2≠0，
即a≠﹣2．
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是关键．
3．（4分）一元二次方程2x2﹣x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法判断
【分析】求出根的判别式的值，再进行判断即可．
【解答】解：∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0，
∴方程无实数根．
故选C．
【点评】本题考查根的判别式，关键是掌握根的判别式Δ的取值与方程的根之间的关系．
4．（4分）如图，点A、B、P在⊙O上，若∠AOB＝80°，则∠APB的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：∠APB＝∠AOB＝×80°＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．（4分）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转45°后得到△DOE，若AOB＝15°，则∠AOE的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【分析】先根据旋转的性质得到∠BOE＝45°，然后利用∠AOE＝∠BOE﹣∠AOB进行计算即可．
【解答】解：∵△AOB绕点O逆时针旋转45°后得到△DOE，
∴∠BOE＝45°，
∵∠AOB＝15°，
∴∠AOE＝45°﹣15°＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
6．（4分）关于y＝2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．其图象开口向下
B．其最小值为2
C．当x＞3时y随x增大而减小
D．其图象的对称轴为直线x＝﹣3
【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣3）2+2中，a＝2，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，2），
∴函数有最小值2，当x＞3时，y随x的增大而增大，
故选项A、C、D错误；选项B正确；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性．
7．（4分）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（ ）
A．8B．10C．12D．14
【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他（x﹣1）人握手，共握手次数为x（x﹣1），根据一共握了66次手列出方程求解．
【解答】解：设参加会议有x人，依题意得，
x（x﹣1）＝66，
整理，得x2﹣x﹣132＝0
解得x1＝12，x2＝﹣11，（舍去）
则参加这次会议的有12人．
故选：C．
【点评】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为x（x﹣1）．
8．（4分）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，再根据三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BDC的度数为：180°﹣40°＝140°
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角是直角等基本知识．
9．（4分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（ ）
A．π（x+3）2﹣x2＝72B．
C．π（x+3）2﹣x2＝36D．
【分析】直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案．
【解答】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是：π（+3）2﹣x2＝72．
故选：B．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用、正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a＜0）的图象经过A（n﹣6，m），B（4﹣n，m），M（﹣3，t2+10），N（d，6t）四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
【分析】求得抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，得到点M（﹣3，t2+10）关于直线x＝﹣1的对称点为（1，t2+10），求得t2+10＞6t，根据抛物线开口向下，即可求解d的取值范围，据此即可判断．
【解答】解：由条件可知：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点M（﹣3，t2+10）关于直线x＝﹣1的对称点为（1，t2+10），
∵t2+10﹣6t＝（t﹣3）2+1＞0，
∴t2+10＞6t，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴d＜﹣3或d＞1，
观察四个选项，d的值可能为﹣4，2，4，不可能是﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2024，5）关于原点对称的点的坐标是 （2024，﹣5） ．
【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键；因此此题可根据“一个点的坐标关于原点对称，那么这个点的横纵坐标都与原来的互为相反数”进行求解即可．
【解答】解：根据题意可知，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2024，5）关于原点对称的点的坐标是（2024，﹣5）．
故答案为（2024，﹣5）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数是关键．
12．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣3m＝0没有实数根，则m的取值范围为 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3m）＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣3m＝0没有实数根．
∴Δ＜0，即（﹣3）2﹣4×1×（﹣3m）＜0，
解得，，
故答案为．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13．（4分）平面直角坐标系上的三个点O（0，0），A（﹣1，1），B（﹣1，0），将△ABO绕点O按顺时针旋转135°，则点A、B的对应点A1、B1的坐标分别是A1 （，0） ，B1 （，） ．
【分析】把△ABO绕点O按顺时针方向旋转135°，就是把它上面的各个点按顺时针方向旋转135度，点A在第二象限的角平分线上，且OA＝，正好旋转到x轴正半轴．则A1点的坐标是（，0）；点B在x轴的负半轴上，旋转到第一象限的角平分线上，且OB1＝1，则根据三角函数得到B1的坐标．
【解答】解：∵A的坐标是（﹣1，1），
∴OA＝，且A1在x轴正半轴上，
∴A1点的坐标是，
∵B的坐标是（﹣1，0），
∴OB＝1，且B1在第一象限的角平分线上，
∴得到B1的坐标是．
故答案为：，．
【点评】本题考查坐标与图形变换﹣旋转，掌握旋转的性质是解题的关键．
14．（4分）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为 25cm ．
【分析】连接OA，设圆的半径为r，在Rt△OAD中，利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：连接OA，设圆的半径为r，
则：OA＝OC＝r m，OD＝OC﹣CD＝（r﹣10）m，（m），
∵AO2＝AD2+DO2，
∴r2＝202+（r﹣10）2，
∴r＝25cm；
∴圆形工件的半径为25cm．
故答案为：25cm．
【点评】本题考查垂径定理，正确利用垂径定理进行计算是解题关键．
15．（4分）已知y＝﹣x（x+3﹣a）+1是关于x的二次函数，x的取值范围是1≤x≤5．
（1）若y在x＝1时取得最大值，则a的取值范围是 a≤5 ；
（2）若y在x＝1时取得最小值，则a的取值范围是 a≥9 ．
【分析】（1）若y在x＝1时取得最大值，则，解不等式即可；
（2）若y在x＝1时取得最小值，则1到对称轴的距离比5到对称轴的距离远，据此列式求解．
【解答】解：由条件可知：抛物线的开口向下，对称轴为．
（1）∵y在x＝1时取得最大值，
∴，
解得：a≤5；
故答案为：a≤5；
（2）∵y在x＝1时取得最小值，
∴，
解得：a≥9．
故答案为：a≥9．
【点评】本题考查了二次函数的性质，由已知二次函数解析式可得：y＝﹣x2﹣（3﹣a）x+1，根据对称轴方程可得：对称轴是是关键．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为 ﹣2 ．
【分析】如图1，连接AG，证明AF＝FG＝EF，则∠AGE＝∠AGD＝90°，根据圆周角定理可知：点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，当O，G，C三点共线时，CG的值最小，由此可解答．
【解答】解：如图1，连接AG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，DC＝AB＝3，
∵F是AE的中点，
∴BF＝AE＝AF＝EF，
∵BF＝FG，
∴AF＝FG＝EF，
∴∠AGE＝∠AGD＝90°，
∴点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，连接OG，
当O，G，C三点共线时，CG的值最小，如图2所示，
∴OD＝OG＝2，
∴OC＝＝，
∴CG的最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质，圆周角定理，线段的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造动点G的轨迹来解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共9题，共86分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．
（2）根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可．
【解答】解：（1）x2+2x﹣3＝0，
（x﹣1）（x+3）＝0，
则x﹣1＝0或x+3＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣3；
（2），
解不等式①得，x≥﹣1，
解不等式②得，x＜3，
所以不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
18．（8分）先化简，再求值：，其中x满足x2+3x﹣4＝0．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝﹣，
由x2+3x﹣4＝0，得到（x﹣1）（x+4）＝0，
解得：x＝1（舍去）或x＝﹣4，
当x＝﹣4时，原式＝﹣．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（8分）如图，抛物线的顶点为A（﹣3，﹣3），此抛物线交x轴于O、B两点．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标求得抛物线与x轴的交点坐标，根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）根据点A和点B的坐标，结合三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）由题意可知：
对称轴为直线x＝﹣3，
故点B（﹣6，0），O（0，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣0）（x+6），
将A（﹣3，﹣3）代入y＝a（x﹣0）（x+6），得：﹣3＝a×（﹣3）×3，
，
∴；
（2）∵A（﹣3，﹣3），B（﹣6，0），
∴．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求抛物线的解析式，三角形的面积公式，熟练掌握二次函数的图象和性质推得点B的坐标是解题的关键．
20．（8分）如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，求证：△ABC是等边三角形．
【分析】根据圆周角定理得到∠ABC＝∠CPB＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明．
【解答】证明：由圆周角定理得，∠ABC＝∠CPB＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．
（1）尺规作图：将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，并使点C′落在边AB上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
（2）连接B'B，求B'B的长．
【分析】（1）以点A为圆心，AC长为半径画弧交AB于点C'，再以点C'为圆心，BC长为半径画弧与以点A为圆心，AB长为半径画弧交于点B'，连接AB'，B'C'，则，△AB'C'即为所求；
（2）根据勾股定理求出AB的长，再根据旋转的性质得出AC′＝AC＝4，B′C'＝BC＝3，∠AC'B'＝∠ACB＝90°，求出BC'的长即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，△AB'C'即为所求；
（2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3
∴，
∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，
∴AC′＝AC＝4，B′C'＝BC＝3，∠AC'B'＝∠ACB＝90°，
∴∠BC'B'＝180°﹣∠AC'B'＝90°，BC'＝AB﹣AC'＝5﹣4＝1，
在Rt△BC'B'中，由勾股定理得，
BB'＝＝＝．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．
22．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝ 2 ；
（2）若（x﹣2）（x﹣n）＝0是“倍根方程”，求代数式6﹣7n+n2的值；
（3）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（5﹣t，s），都在抛物线y＝ax2+bx+c＝0上，求一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根．
【分析】（1）由一元二次方程根的判别式判断c的取值范围．设一元二次方程x2﹣3x+c＝0的两个根分别为p和q，由根与系数的关系和“倍根方程”的定义即可得出关于p，q的二元一次方程组，解出p，q，再代入x2﹣3x+c＝0中，解出c即可；
（2）解出该方程得：x1＝2，x2＝n．根据“倍根方程”的定义可分类讨论①当x1＝2x2时和②当2x1＝x2时，求出n的值，然后代入求值即可；
（3）设方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别为x1和x2，不妨设x1＝2x2．由题意可求出该抛物线的对称轴为直线x＝3，再结合二次函数和一元二次方程的关系可得出x1+x2＝6．最后解出x1和x2即可．
【解答】解：（1）根据题意可知Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4c＞0，
∴．
设一元二次方程x2﹣3x+c＝0的两个根分别为p和q，
则．
∵一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，
∴可设p＝2q，
即，
解得：．
将p＝2代入x2﹣3x+c＝0，得22﹣3×2+c＝0，
解得：，符合题意．
故答案为：2；
（2）解（x﹣2）（x﹣n）＝0，得x1＝2，x2＝n，
∵（x﹣2）（x﹣n）＝0是“倍根方程”，
∴2＝2n或2×2＝n，
∴n＝1或n＝4，
当n＝1时，6﹣7n+n2＝6﹣7×（﹣1）+（﹣1）2＝0，
当n＝4时，6﹣7n+n2＝6﹣7×4+42＝﹣6，
∴6﹣7n+n2＝0或﹣6；
（3）∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，不妨设x1＝2x2，
∵相异两点M（1+t，s），N（5﹣t，s），都在抛物线y＝ax2+bx+c上，
∴由抛物线的对称轴为，
∴x1+x2＝6，
又∵x1＝2x2，
∴2x2+x2＝6，
∴x2＝2，
∴x1＝4，
即ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1＝4，x2＝2．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解和解一元二次方程，抛物线与x轴的交点与其相关一元二次方程的解的关系等知识．掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，和是解题关键．
23．（10分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝50°，点P为弧AB上一点，连接CP．
（1）如图1，当CP⊥AB时，垂足为E，连接AO并延长分别交CP，BC于点F，G．
①∠BCP＝ 25 °；
②求证：EF＝PE．
（2）如图，若CP与AB不垂直，过点A作AE⊥CP，垂足为E，连接PB，如果PB＝3，PE＝1，求线段CE的长．
【分析】（1）①由垂径定理可得AG⊥BC，由等腰三角形的性质可得∠BAG＝25°，再由8字模型求解即可；
②连接PA，根据圆周角定理及等腰三角形的判定和性质证明即可；
（2）连接PA，延长BP，过A作AD⊥BP于D，根据圆周角定理可得PA平分∠DPE，再根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质求解即可．
【解答】（1）解：①∵AB＝AC，
∴，
∴AG⊥BC，
∵AB＝AC，
∴，
∵CP⊥AB，
∴∠AEC＝∠AGB＝90°，
∵∠AFE＝∠CFG，
∴∠BCP＝∠BAG＝25°，
故答案为：25°；
②证明：连接PA，
∵∠BCP＝25°，
∴∠AFP＝∠CFG＝90°﹣25°＝65°，
∵∠P＝∠ABG＝90°﹣∠BCP＝65°，
∴∠P＝∠AFP，
∴AP＝AF，
∵CP⊥AB，
∴EF＝PE．
（2）解：连接PA，延长BP，过A作AD⊥BP于D，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠DPA+∠BPA＝180°，∠BPA+∠ACB＝180°，
∴∠DPA＝∠ACB，
∴∠DPA＝∠ABC，
∵∠APE＝∠ABC，
∴∠DPA＝∠APE，
∴PA平分∠DPE，
∵AD⊥BP，AE⊥CP，
∴AD＝AE，∠ADP＝∠AEP＝∠AEC＝90°，
∵AP＝AP，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），
∴DP＝PE＝1，
∴DB＝DP+PB＝4，
∵∠ADP＝∠AEC，∠DBA＝∠ACE，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴CE＝BD＝4．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
24．（12分）
【分析】任务一：由题意可知：抛物线的顶点坐标为：（1，0.45），再运用待定系数法求得抛物线的解析式为y＝﹣0.2（x﹣1）2+0.45，再令y＝0进行求解即可；
任务二：先运用待定系数法求得球弹起的抛物线轨迹为y＝﹣0.8（x﹣3）2+0.2，OF的解析式为y＝0.1x，然后联立得到一元二次方程，再根据根的判别式判断方程是否有根即可解答；
任务三，先求出反弹抛物线的解析式为；再求出当时的自变量的取值，即击球点的横坐标的取值范围为：；再结合图形即可解答．
【解答】解：任务一：由题意可知：抛物线的顶点坐标为：（1，0.45），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+0.45，将P（0，0.25）代入得：
0.25＝a（0﹣1）2+0.45，
解得：a＝﹣0.2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣0.2（x﹣1）2+0.45，
当y＝0时，0＝﹣0.2（x﹣1）2+0.45，
解得：x1＝2.5，x2＝﹣0.5＜0（舍弃负值），
∴M（2.5，0），
∴点M与O的水平距离为2.5m；
任务二：不能实现，理由如下：
设球弹起的抛物线轨迹为y＝b（x﹣3）2+0.2，将M（2.5，0）代入得：
0＝b（2.5﹣3）2+0.2，
解得：a＝﹣0.8，
∴y＝﹣0.8（x﹣3）2+0.2，
由题意可得：球网上方点F的坐标为（1.4，0.14），
设OF的解析式为y＝kx，将点F的坐标代入得：
0.14＝1.4k，
解得：k＝0.1，
∴OF的解析式为y＝0.1x，
由﹣0.8（x﹣3）2+0.2＝0.1x，整理得：8x2﹣47x+70＝0，
∴Δ＝472﹣4×8×70＝﹣31＜0，即方程无解，
∴不能实现；
任务三：如图：依题意可得P（0，0.25），Q（1，0.45），M（2.5，0），A（3.8，0.2），第二个抛物线的顶点坐标为D（3，0.5），
设反弹的抛物线的解析式为：，将M（2.5，0）代入得：
，
解得：a＝﹣2，
∴，
令，
解得：或；
故击球点的横坐标的取值范围为：，
∴，，
∴．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质以及运用待定系数法求得函数解析式成为解题的关键．
25．（14分）已知抛物线G1：y＝﹣x2+2mx+m和G2：y＝﹣x2+2nx+n（n＞m）相交于点A，过点A的直线l：y＝kx+b与抛物线G1交于另一点B，与抛物线G2交于另一点C，抛物线G1的顶点为点M，抛物线G2的顶点为点N．
（1）直接写出顶点M的坐标；（用含m的式子表示）
（2）当m＝﹣3，n＝2，且直线l∥x轴时，求证：MB＝NA；
（3）当k≠0时，若AB＝AC，求直线l的表达式．（用含m，n的式子表示）
【分析】（1）先将二次函数的解析式化为顶点式，然后得到点M的坐标；
（2）先将m＝﹣3，n＝2代入函数解析式得到抛物线G1和G2的解析式，然后得到点M和点N的坐标，再求得点A的坐标，进而得到直线l的解析式，然后求得点B的坐标，最后求MB和NA的长度，即可得证；
（3）先求得点A的坐标，然后代入直线l的解析式得到k和b的关系，然后分别求得点B和点C的横坐标，再结合AB＝AC得到A、B、C三点间的横坐标之间的关系，即可得到m与k、m与b之间的关系，最后得到直线l的表达式．
【解答】（1）解：∵y＝﹣x2+2mx+m＝﹣（x﹣m）2+m2+m，
∴点M的坐标为（m，m2+m）．
（2）证明：∵m＝﹣3，n＝2，
∴G1：y＝﹣x2﹣6x﹣3，G2：y＝﹣x2+4x+2，
∴M（﹣3，6），N（2，6），
由，得，
∴点A的坐标为（﹣，﹣），
∵直线l∥x轴，
∴l：y＝﹣，
令y＝﹣，则﹣x2﹣6x﹣3＝﹣，
解得：x＝﹣或x＝﹣，
∴B（﹣，﹣），
∴BM＝＝，AN＝＝，
∴BM＝AN．
（3）解：由，得，
∴点A的坐标为（﹣，﹣），
∵点A在直线y＝kx+b上，
∴﹣k+b＝﹣，
∴b＝k﹣，
∴直线l的表达式为y＝kx+k﹣，
由，得，
解得：x＝﹣或x＝﹣k+2m+，
∴点B的横坐标为﹣k+2m+，
同理可得，点C的横坐标为﹣k+2n+，
∵AB＝AC，
∴点A是BC的中点，
∴﹣k+2m++（﹣k+2n+）＝2×（﹣），
∴k＝m+n+1，
∴b＝（m+n+1）﹣＝+，
∴直线l的表达式为y＝（m+n+1）x++．
【点评】本题考查了二次函数的顶点坐标、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数和二次函数的交点，解题的关键是熟知二次函数图象上点的坐标特征．
乒乓球发球机的运动路线
素材一
如图1所示，乒乓球台规格是矩形，长为2.8米，宽为1.5米，球网高度为0.14米某品牌．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O处的正上方0.25米处P．

素材二
如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中线上，且球的运动路线是一条抛物线，且形状固定不变，在与P水平距离为1m的Q点正上方达到最高点，此时与桌面的高度为0.45m．并且乒乓球落在桌面的点M处，以O为原点，桌面中线所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．

素材三
如图3所示，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与O点的水平距离为3米的位置达到最高点，设球达到最高时距离桌面的高度为h米．

问题解决
任务一
研究乒乓球飞行轨迹及落点
（1）求出发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动的抛物线关系式，并求出点M与O的水平距离．
任务二
击球点的确定
（2）当h＝0.2时，运动员小亮想把球沿直线擦网击打到O点，他能不能实现，若能实现，请求出击球点位置的高度，若不能实现，请说明理由．
任务三
运动员移动的距离
（3）当时，运动员小亮的球拍A离点O的水平距离为3.8m，位于桌面上方，离桌面0.2m，且运动员挥拍的过程中，球拍的击打路线AB近似于一条直线，球拍与桌面的夹角为45°，如图3所示．当球飞行的高度在至时，小亮可以获得最佳击球效果．小亮想要成功击中乒乓球，球拍需要先向前平移，设球拍向前平移的距离为n，求n的取值范围；
乒乓球发球机的运动路线
素材一
如图1所示，乒乓球台规格是矩形，长为2.8米，宽为1.5米，球网高度为0.14米某品牌．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O处的正上方0.25米处P．

素材二
如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中线上，且球的运动路线是一条抛物线，且形状固定不变，在与P水平距离为1m的Q点正上方达到最高点，此时与桌面的高度为0.45m．并且乒乓球落在桌面的点M处，以O为原点，桌面中线所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．

素材三
如图3所示，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与O点的水平距离为3米的位置达到最高点，设球达到最高时距离桌面的高度为h米．

问题解决
任务一
研究乒乓球飞行轨迹及落点
（1）求出发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动的抛物线关系式，并求出点M与O的水平距离．
任务二
击球点的确定
（2）当h＝0.2时，运动员小亮想把球沿直线擦网击打到O点，他能不能实现，若能实现，请求出击球点位置的高度，若不能实现，请说明理由．
任务三
运动员移动的距离
（3）当时，运动员小亮的球拍A离点O的水平距离为3.8m，位于桌面上方，离桌面0.2m，且运动员挥拍的过程中，球拍的击打路线AB近似于一条直线，球拍与桌面的夹角为45°，如图3所示．当球飞行的高度在至时，小亮可以获得最佳击球效果．小亮想要成功击中乒乓球，球拍需要先向前平移，设球拍向前平移的距离为n，求n的取值范围；