三角恒等变换专项训练-2025届高三数学一轮专题复习

这是一份三角恒等变换专项训练-2025届高三数学一轮专题复习，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，则（ ）
A．B．C．1D．3
2．在（非直角三角形）中，和是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知足球比赛的球门宽度AB大约为7米，D在场地的底线上，与点B距离5米，CD与底线垂直，CD长为15米，若在训练中，球员亚马尔从点C开始带球沿直线向点 D 奔跑并选择一点 P 处射门，要想获得最大的射门角度(∠APB)，则他需要带球的距离CP 大约是(参考数据： （ ）
A．3.6米B．3.9米C．7.2米D．7.8米
6．若点关于直线对称的点为，则（ ）
A．B．2C．D．
二、多选题
7．已知函数，则（ ）
A．是偶函数B．的最小正周期为π
C．的最大值为D．在上单调递增
8．已知函数，则（ ）
A．为的周期
B．函数的值域为
C．函数有且仅有两个零点
D．满足的的取值范围是
三、填空题
9．若钝角满足，则 .
10．已知和是方程的两个根，计算 .
11．已知，，满足，且，，则 .
12．已知是第二象限角，且，则 ， .
四、解答题
13．已知向量，，．
(1)求的最小正周期；
(2)求的最小值，并求出取得最小值时的集合.
14．已知函数的表达式为.
(1)求函数的单调增区间；
(2)求方程在上的解.
15．已知向量，函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.
16．已知，，
(1)若，求函数，的值域；
(2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】由三角恒等变换可得，进一步由同角三角函数关系以及商数关系、二倍角公式化简求值即可.
【详解】由，解得，
故
.
故选：B.
2．A
【分析】利用韦达定理求出，，再由诱导公式及两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为和是方程的两个根，
所以，，
所以.
故选：A
3．C
【分析】根据三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得正确答案.
【详解】，
，
由于，
所以，
，
所以.
故选：C
4．A
【分析】根据题设条件可求的值，求出.
【详解】由已知可得
可知
解得，
所以
故选：A.
5．C
【分析】设，得出，，由正切函数单调性，两角差的正切公式及基本不等式即可求解．
【详解】设，，，
同理可得，
则，
当且仅当，即时等号成立，此时．
故选：C．
6．D
【分析】由题意得，从而得，，然后再利用两角和的正切公式可求得结果.
【详解】由题意得，
则，得.
故.
故选：D
7．AC
【分析】由偶函数的定义可得选项A正确；根据可得选项B错误；根据，结合倍角公式可得选项C正确；当时，函数可化为，根据正弦型函数的性质可得选项D错误.
【详解】因为定义域为，，所以，为偶函数，选项A正确．
因为，
的最小正周期不为π选项，B错误．
，选项C正确．
，，，
时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，选项D错误．
故选：AC.
8．ACD
【分析】计算可得，可判断A；只需考虑，分类讨论可求得值域判断B；分类讨论可判断零点个数判断C；分类讨论解不等式判断D.
【详解】选项正确；
所以只需考虑，当时，，
当时，，所以的值域为，B选项错误；
当时，单调递减，在有且仅有一个零点，
当时，，无零点，
当时，，无零点，
因为为偶函数，所以有且仅有两个零点，C选项正确；
当时，，解得，
当时，，
所以满足的的取值范围是，D选项正确.
故选：ACD.
9．5
【分析】根据为钝角易得，进而结合正切的二倍角公式求解即可.
【详解】由题意，，则，所以，
由，解得.
故答案为：5.
10．
【分析】解法1和解法2利用韦达定理结合三角恒等变换化简可得，解法3取特殊值求解.
【详解】解法1：，
，
所以，即.
解法2：
.
解法3：令，则和0是方程的两个根，
则.
故答案为：.
11．
【分析】运用诱导公式，结合和角公式化简，再弦化切，后运用和角的正切和诱导公式计算即可.
【详解】，
则，
∴，即
.
故答案为：.
12．
【分析】首先利用辅助角公式，化简求的值，再利用角的变换，，即可求解.
【详解】，得，
因为，则，
则，
故
故答案为：；
13．(1)
(2)最小值为，
【分析】（1）利用向量数量积运算法则和三角恒等变换得到，根据求出最小正周期；
（2）在（1）的基础上，得到时取得最小值1，并得到此时的集合.
【详解】（1）
,
故的最小正周期为；
（2）当时，即，时，
取到最小值，最小值为，
此时的集合为.
14．(1)
(2)或.
【分析】（1）利用二倍角公式及差角公式、辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可；
（2）利用（1）求出的解析式结合三角函数的性质直接解方程即可.
【详解】（1）由
，
令，解之得，
即该函数的单调增区间为；
（2）由（1）知：，
所以若，即，
因为，所以，
则满足题意的或，即或.
15．(1)
(2)
【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求单调区间；
（2）由题意转化为与函数在区间上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解.
【详解】（1），
令，得，
的单调递增区间为；
（2）由题知在区间上恰有两个不同的实数根，
即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点，
令，
作出的图象与直线，如图.
由图知，当时，的图象与直线有两个交点，
实数的取值范围为.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）利用辅助角公式化简函数解析式得，根据整体角范围结合正弦函数性质求值域可得；
（2）由周期得的值，进而得函数，结合整体角范围将复合函数零点个数转化为正弦函数的零点个数，再结合函数图象得不等式求解参数范围.
【详解】（1）若，则，
因为，所以，
所以当，即时，
函数，取最大值；
当，即时，
函数，取最小值，
所以，函数，的值域为；
（2）由，
因为最小正周期为，所以，
即，则.
令，，则.
于是函数在上恰有3个零点，
等价于函数在上恰有3个零点，
作出函数的图像可得，
解得.
所以，的取值范围为.

题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
B
A
C
A
C
D
AC
ACD