二项分布与超几何分布 专项训练-2025届高三数学一轮复习

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1．（2024·山东济南·二模）已知随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量，其中，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·山西吕梁·三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·湖北·开学考试）小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．与6的大小无法确定
6．（2024·青海海西·模拟预测）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．随着n的增大而增大
7．（2023·山东泰安·模拟预测）某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则（ ）
A．若，，则取最大值时
B．当时，取得最小值
C．当时，随着的增大而增大
D．当时，随着的增大而减小
8．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、多选题
9．（2024·福建泉州·模拟预测）某人在次射击中击中目标的次数为，其中，设击中偶数次为事件，则（ ）
A．当时，取得最大值B．当时，取得最小值
C．当随的增大而减小D．当随的增大而减小
10．（2024·江苏徐州·模拟预测）投掷一枚骰子，向上点数共有1-6六种可能，每一种情况的发生是等可能的，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A“点数为1或2”和事件B“点数为偶数”是相互独立事件；
B．每一局投两次，记较大点数为该局得分，则每局得分的数学期望为4；
C．事件C“点数为1或2或3”和事件B“点数为偶数”是相互独立事件；
D．连续投掷40次，记出现6点的次数，则随机变量的分布列中，时概率最大．
11．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）芯片时常制造在半导体晶元表面上.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ）（参考数据：，）
A．
B．
C．
D．取得最大值时，M的估计值为54
三、填空题
12．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知每门大炮击中目标的概率都是0.6，现有14门大炮同时对某一目标各射击一次，则最有可能击中目标 次.
13．（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是 .

14．（2024·河北·模拟预测）在一次抽奖活动中，抽奖箱里有编号为到的个相同小球.每次抽奖从箱中随机抽取一个球，记录编号后放回. 连续抽奖次，设抽到编号为的小球的次数为，已知服从二项分布. 若展开式中的系数是的概率的倍，则的值为 （结果用含的式子表示）
四、解答题
15．（2024·陕西商洛·一模）甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．假设每局比赛结果互不影响．
(1)求比赛进行四局且甲获胜的概率：
(2)比赛结束时、甲、乙共进行了局比赛，求的分布列和期望．
16．（2024·海南·模拟预测）甲、乙两位跑步爱好者坚持每天晨跑，上周的7天中，他们各有5天晨跑路程超过.
(1)从上周任选3天，设这3天中甲晨跑路程超过的天数为，求的分布列和数学期望.
(2)用上周7天甲、乙晨跑路程的频率分布估计他们各自每天晨跑路程的概率分布，且他们每天晨跑的路程互不影响.设“下个月的某3天中，甲晨跑路程超过的天数比乙晨跑路程超过的天数恰好多2”为事件，求.
参考数据：.
17．（2024·甘肃白银·一模）某导弹试验基地对新研制的两种导弹进行试验，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为.
(1)若一枚导弹击中一个空中目标，且一枚导弹击中一个地面目标的概率为，一枚导弹击中一个地面目标，且一枚导弹击中一个空中目标的概率为，比较的大小；
(2)现有两枚A导弹，一枚导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期望.
18．（2024·广东广州·模拟预测）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.
(1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；
(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.
19．（24-25高三上·上海·期中）2024年某瓷器公司计划向市场推出两种高档中国红瓷杯A和，已知A和烧制成功率分别为和，烧制成功一个A，盈利30元，否则亏损10元；烧制成功一个，盈利80元，否则亏损20元.
(1)设为烧制一个A和一个所得的利润之和，求随机变量的分布和数学期望；
(2)求烧制4个A所得的利润不少于80元的概率；
(3)公司将用户对中国红瓷器的喜欢程度分为“非常满意”（得分不低于85分）和“满意”（得分低于85分）两类，通过调查完成下表.
根据调查数据完成下列列联表，并依据显著性水平的独立性检验，判断居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联？
附：，，，与的若干对应数值见下表：
参考答案：
1．B
【分析】根据二项分布直接求解即可.
【详解】因为随机变量，
所以.
故选：B
2．D
【分析】由二项分布的概率公式可得，可求，进而可求.
【详解】由二项分布的知识得，
得，又，所以，
所以．
故选：D．
3．D
【分析】利用二项分布的概率即可得解．
【详解】由已知命中的概率为，不命中的概率为，射击4次，命中两次，
故概率.
故选：D.
4．C
【分析】根据题意，由条件可得的可能取值为，且，结合二项分布的概率计算公式代入计算，即可求解.
【详解】由题意可知，当时，的可能取值为，且，
所以
.
故选：C
5．B
【分析】先求得的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案.
【详解】X服从二项分布，则，
最大即为满足，
解得，
又，故为整数时，结合题设要求，；
不为整数时N为小于，，故，
故选：B
【点睛】要解决本题，首先要根据已知条件，判断出满足二项分布，从而可利用二项分布的知识来求概率和期望.求解含有组合数的最值计算问题，可以考虑利用商比较法来进行.
6．B
【分析】小王至少赢局，小王赢得比赛的概率为，进而逐项判断即可.
【详解】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢局，
因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布，
由二项分布的概率公式可得赢局的概率为，
赢局的概率为，
，
赢局的概率为，
小王赢的概率为
有
，
有，，，，可知选项A，C正确，选项B错误；
由，
又由，
可得，可知D选项正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：由题设得到，利用二项式各项系数和的性质判断可得结论.
7．C
【分析】对于A，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于B，根据，直接写出即可判断；对于CD，由题意把表示出来，然后利用单调性分析即可.
【详解】对于A，在次射击中击中目标的次数，
当时对应的概率，
因为取最大值，所以，
即，
即，解得，
因为且，所以，即时概率最大，故A不正确；
对于B，，当时，取得最大值，故B不正确；
对于C、D，
，
，
，
当时，，为正项且单调递增的数列，
所以随着的增大而增大，故C正确；
当时，，为正负交替的摆动数列，
所以不会随着的增大而减小，故D不正确；
故选：C.
8．B
【分析】由题意，服从二项分布，，代入公式可得结果．
【详解】每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为，
每一层均要乘以，共做10次选择，
故服从二项分布，，
又，
令最大，
则，
即,
解得，又因为，所以,
所以，
，且．
故选：B．
9．AD
【分析】对于AB，直接由二项分布的方差公式即可求解；对于CD，可以根据二项式定理得出，进一步通过的范围即可判断的单调性.
【详解】对于AB：，
当时，取得最大值，故A正确，B错误；
对于CD：，
，
，
，
当时，为正负交替的摆动数列，
所以不会随着的增大而减小，故C错误；
当时，为正项且单调递减的数列，
所以随着的增大而减小，故D正确.
故选：AD．
10．AD
【分析】根据独立事件的概念判断AC的真假；列出得分的分布列，求期望，判断B的真假；列出的分布列，借助数列的单调性分析概率的最大值.
【详解】对A：因为，，，由，所以事件相互独立，故A正确；
对B：设每局的得分为，则的值可能为：1，2，3，4，5，6
且，，，
，，
，
所以，故B错误；
对C：因为，，，由，所以事件不独立，故C错误；
对D：由题意，所以.
由；由.
所以时，最大，即时概率最大．故D正确.
故选：AD
11．BC
【分析】A选项，由条件概率的定义进行判断；B选项，在A选项基础上，推出，结合，得到，简单变形即可得到B正确；C选项，利用正态分布的对称性和原则得到答案；D选项，，，令，作商法得到其单调性，求出，，得到答案.
【详解】A选项，由条件概率的定义可知，，A错误；
对于B，因为，所以，
其中，故，
又，
于是，
即，
即，而，
所以，即，故，B正确；
C选项，指标服从正态分布，故，
则，
因为，，
所以，C正确；
D选项，，，
设，
令，
解得，故，
令，
解得，即，
所以取得最大值时，M的估计值为53，D错误.
故选：BC
【点睛】结论点睛：条件概率的性质：设，
（1）；
（2）如果是两个互斥事件，则；
（3）设和为对立事件，则；
12．8或9
【分析】根据题意，击中目标的次数，设最大，列式运算得解.
【详解】设击中目标的次数为，由题可知，击中目标的次数，
则，
令，即，
化简得，解得，又，
所以最有可能击中目标8或9次.
故答案为：8或9.
13．
【分析】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，由二项分布的性质计算概率即可.
【详解】因为向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，
则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，
此时概率为：.
故答案为：.
14．
【分析】分别使用二项分布的性质和二项式定理得到和展开式中的系数是，然后利用条件即可得到结果.
【详解】由于，故.
再根据二项式定理，展开式中的系数是.
所以根据条件有，得，即、.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对不同类型知识的混合运用.
15．(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据比赛规则可知前三局中，甲获胜两局，乙获胜一局，第四局甲获胜满足题意，计算可得结果；
（2）求得的所有可能取值分别是3，4，5对应的概率，可得分布列及期望值.
【详解】（1）由题意可知前三局中，甲获胜两局，乙获胜一局，第四局甲获胜，
则所求概率
（2）由题意可知的所有可能取值分别是3，4，5．
则的分布列为
故．
16．(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）确定的可能取值，再由即可求解；
（2）由题意确定，均服从二项分布.即可求解.
【详解】（1）(1)由题意知的所有可能取值为1，2，3，
且，.
所以的分布列为
.
（2）设下个月的某3天中，甲晨跑路程超过的天数为，乙晨跑路程超过的天数为，
则，均服从二项分布.
则
.
17．(1)
(2)安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标，分布列见解析，
【分析】（1）根据条件，利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解；
（2）设导弹击中目标的个数为，根据题意，利用相互独立重复事件公式，即可求出分步列，再利用期望公式，即可求解.
【详解】（1）由题意得，，所以.
（2）因为，所以安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标.
设导弹击中目标的个数为，则，
，
，
，
，
的分布列为
所以.
18．(1)，平均时间为小时
(2)分布列见解析，期望
(3)
【分析】（1）根据频率和为，可得，再根据平均数公式直接计算平均数即可；
（2）分别计算时间在，的频数，结合分层抽样可得两组分别抽取人，根据超几何分布的概率公式分别计算概率，可得分布列与期望；
（3）根据频率分布直方图可知运动时间在内的频率，根据二项分布的概率公式可得，根据最值可列不等式，解不等式即可.
【详解】（1）由已知，解得，
所以平均数为
.
（2）这名高中学生户外运动的时间分配，
在，两组内的学生分别有人，和人；
所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，
所以随机变量的可能取值有，，
所以，，
则分布列为
期望；
（3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，
则，
若为最大值，则，
即，
即，解得，
又，且，则.
19．(1)分布列见详解；元
(2)0.8192
(3)列联表见解析，居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联
【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值为，结合独立事件概率求法求分布列，进而可得期望；
（2）设相应随机变量，分析可知，根据题意可得，结合二项分布运算求解即可；
（3）完善列联表，求，并与临界值对比分析即可.
【详解】（1）由题意可知：A和烧制成功率分别为0.8和0.9，
随机变量的可能取值为，则有：
，
，
所以随机变量的分布列为
随机变量的期望（元）.
（2）设烧制4个A成功的件数为，则，
设烧制4个A所得的利润为，则，
令，解得，
所以.
（3）根据题意完善列联表可得：
零假设：居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄没有关联，
则，
依据显著性水平的独立性检验，可知零假设不成立，
所以居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联.年龄低于45岁
6
14
42
31
7
年龄不低于45岁
4
6
47
35
8
非常满意
满意
合计
年龄低于45岁
年龄不低于45岁
合计
0.25
0.05
0.005
1.323
3.841
7.879
3
4
5
1
2
3
0
1
2
3
10
70
110
0.02
0.08
0.18
0.72
非常满意
满意
合计
年龄低于45岁
80
20
100
年龄不低于45岁
90
10
100
合计
30
170
200