函数与方程-2025届高三数学一轮复习专练

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⑴函数的零点定义
对应函数，把使的实数 叫做函数的零点．
⑵几个等价关系
方程有实数根
函数的图象与 有交点
函数有 ．
⑶函数零点存在的判定方法
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点．
注意：
①上述判定方法中在区间内的零点不一定唯一；
②对于，我们无法判定函数在区间)内是否有零点
2．二次函数)的图象与零点的关系
3．二分法
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
1．已知函数则函数的零点为（ ）
A．， B．， C． D．
2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
3．设函数，则函数有零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若函数在上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点一 函数的零点所在区间的判定
【例1】设，则函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】判断函数零点所在区间的方法
（1）当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；
（2）当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；
（3）当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断.
【变式】已知实数，则函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
考点二 函数零点个数的判断
【例2】函数在定义域内的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【方法技巧】判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：令，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．
【变式】若定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是( )
A． B． C． D．
命题点1 已知函数的零点求参数
【例3】若函数在区间上有且只有一个零点，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【方法技巧】已知函数零点求参数的步骤
（1）判断函数的单调性；
（2）利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
（3）解不等式，即得参数的取值范围．
考点三 函数零点的应用
【变式】已知函数且在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_______．
命题点2 利用函数零点的大小
【例4】已知函数，，的零点依次为，，，则（ ）
A． B． C． D．
图象
与轴的交点
，
无交点
零点个数