平面向量专项训练-2025届高三数学一轮专题复习

这是一份平面向量专项训练-2025届高三数学一轮专题复习，文件包含平面向量专项训练-2025届高三数学一轮专题复习docx、平面向量练习卷-2025届高三数学一轮复习docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
1．已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
2．在中，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．设向量，是夹角为的单位向量，若，，则向量在方向上的投影为
A．B．C．D．
4．若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D
5．若在中，，，且，，则的形状是（ ）
A．正三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
6．已知正方形的内切圆的半径为1，点M是圆上的一动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知向量，若与的夹角为锐角，则x的取值范围（ ）
A．B．C．D．
8．中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最大值为1
C．的最小值为4D．的最大值为16
二、多选题
9．下列能化简为的是（ ）
A．B．
C．D．
10．设是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则不与垂直D．不与垂直
11．已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则（ ）
A．B．
C．的面积的最大值为D．的最小值为
三、填空题
12．在△ABC中，点D是线段BC的中点，点E在线段AD上，且满足AE＝2ED，若，则λ＋μ＝ ．
13．已知单位向量，满足，则的最小值为 .
14．正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点．点为平面上一点，满足，则的最小值为 ．
四、解答题
15．如图，在平行四边形中，，令，.
(1)用表示，，；
(2)若，且，求.
16．已知两个非零向量与不共线.
(1)若与平行，求实数的值；
(2)若，，且，求.
17．已知点和向量
(1)若向量与向量同向，且，求点的坐标；
(2)若向量且向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
18．如图，在 中，已知 ， ， ， ，点 为 边的中点， ， 相交于点 ．
(1)求；
(2)求 ．
19．如图，在扇形中，，半径，P为弧上一点.
（1）若，求PA⋅PB的值；
（2）求PA⋅PB的最小值.
参考答案：
12．
13．
14．
15．（1）因为，，且是平行四边形，
所以，
所以，
所以，
所以.
（2）由（1）知，
又，
所以，
即，
解得，
所以.
又，
所以.
16．（1）因为与平行，且与不共线
所以
所以，解得
（2）因为
所以，解得或.
经检验，均满足与不共线，故或
17．（1）设，则，
因为向量与向量同向，且，
所以且，
或，所以或，
当时，，此时向量与向量反向，不符合；
当时，，此时向量与向量同向，符合，
故，所以.
（2）若向量，则，
因为向量与的夹角是锐角，
所以，
又即，
所以实数的取值范围为.
18．（1）因为，且为中点，
所以.
由余弦定理得：，
即，
所以，
即．
（2）如图，以为原点，直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，，
设点Mx,y，
由可得：，
即
解得：，
所以，，
则，
所以．
19．（1）当时，如图所示，
∵，∴，，∴，
在中，由余弦定理，得
，
∴，
又，
∴
（2）以O为原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，
∵，，∴，
设，其中，
则
.
∵，∴，，
∴当，即时，PA⋅PB取得最小值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
A
D
B
A
C
ABC
AB
题号
11









答案
ABC