椭圆及其标准方程-2025届高三数学一轮复习专练

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1.椭圆的定义
在平面内与两定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫________．
这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．
集合，，其中是常数，且：
⑴若 ，则集合表示椭圆；
⑵若 ，则集合表示线段；
⑶若 ，则集合为空集．
2．椭圆的标准方程
3．点和椭圆的关系
(1)点在椭圆内.
(2)点在椭圆上.
(3)点在椭圆外.
1．“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
2．已知，是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于，两点，在中，若有两边之和是，则第三边的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上,则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
考点一 椭圆的定义
【例1】已知为椭圆上的点，点为圆
上的动点，点为圆上 的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】椭圆定义的应用主要有
(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆.
(2)解决与焦点有关的距离问题.
椭圆上的任意一点到焦点的所有距离中，最大距离为，最小
距离为.
【变式】椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上任一点，
则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点二 求椭圆的标准方程
【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于；
（2）椭圆的长轴长等于短轴长的倍，并且经过点．
【方法技巧】用待定系数法求椭圆方程的步骤
(1)定位：确定焦点的位置，若不能确定，要分类讨论；
(2)定量：由条件求、、．
【变式】已知中心在坐标原点的椭圆的右焦点为，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的方程为 ．
考点三 椭圆方程的综合运用
【例3】已知椭圆过点和点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程．
【方法技巧】两种情况的解法策略
（1）若，通常设的中点，利用去解决；
（2）若，通常利用去解决．
1．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的左焦点为，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则（ ）
A． B． C． D．
3．一个椭圆中心在原点，焦点在x轴上，是椭圆上一点，且成等差数列，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆上有一点，，是椭圆的左、右焦点，若为直角三角形，则这样的点有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
5．已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为，则______.
6．已知动点在椭圆上，若，，且，则的最小值是_____．
7．已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点到的距离等于焦距.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，是否存在直线，使得与的面积比值为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
8．已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为．
（1）求曲线的方程；
（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程．
焦点位置
焦点在上
焦点在上
图 形
标准方程
焦点
、
、
焦距
的关系