正态分布专项练习-2025届高三数学一轮复习

这是一份正态分布专项练习-2025届高三数学一轮复习，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2024·江西新余·模拟预测）已知连续型随机变量与离散型随机变量满足，，若与的方差相同且，则（ ）.
A．B．C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量，若且，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成缆近似服从正态分布，已知数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（ ）
A．85B．90C．95D．100
4．（2024高三·全国·专题练习）已知某校高三学生在一次考试中的数学成绩，在该校高三学生中任选1人，该学生的数学成绩不低于120分的概率为0.21，则该学生的数学成绩在内的概率为（ ）
A．0.21B．0.29C．0.58D．0.79
5．（24-25高三上·甘肃白银·期中）某餐饮店在网络平台推出一些团购活动后，每天团购券的核销量（单位：张），则200天中团购券的核销量在84到132张的天数大约是（ ）
（若随机变量，则，，）
A．191B．137C．159D．164
6．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中
B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好
C．在一元线性回归模型中，如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强
D．对于一组数据，，…，，若所有数据均变成原来的2倍，则变为原来的2倍
7．（24-25高三上·云南保山·期中）某市共20000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（ ）（若，则）
A．6828B．5436C．4773D．2718
8．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知，随机变量，其正态密度曲线如图所示，若，则的值为（ ）
A．5B．8C．9D．14
二、多选题
9．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知随机变量，记，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2024高三·全国·专题练习）在调查某大型企业员工的通勤时间（通勤时间是指家与工作地点往返过程中所花费的时间）时，发现员工的通勤时间（单位：分）服从正态分布，若54分钟为可接受的最长通勤时间，则（附：若，则）（ ）
A．该企业员工通勤时间的均值为50分钟B．该企业员工通勤时间的标准差为2
C．该企业员工通勤时间的标准差为4D．该企业员工通勤时间可接受率不超过
11．（2024高三·全国·专题练习）为了监测某车床的生产状态，对其一段时间内所生产零件的尺寸进行检测，发现其尺寸（单位：厘米）服从正态分布，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）如果随机变量，且，那么 .
13．（24-25高三上·广东清远·阶段练习）㷊市高三年级1万名男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，则身高超过180cm的男生约有 人.（参考数据：，，）
14．（24-25高三上·江苏南通·期中）某工厂生产的产品的长度l（单位：cm）服从正态分布，按长度l分为5级：为一级，为二级，为三级，为四级，为废品．将一级与二级产品称为优品．对该工厂生产的产品进行随机抽查，每次抽取1个，则抽到优品的概率 （精确到0.1）．若抽出的是优品，则抽查终止，否则继续抽查直到抽到优品，则抽查次数不超过两次的概率为 ．
附：，
四、解答题
15．（24-25高三上·浙江·阶段练习）在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布.
(1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少；
(2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点；
参考数据：若，则，，.
16．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体.
(1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少?
(2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望.
(3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据：若，则：；；.
17．（24-25高三上·重庆·期中）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表：
(1)求该项性能指标的样本平均数的值．若这批零件的该项指标近似服从正态分布其中近似为样本平均数的值，，试求的值．
(2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．
①求这件零件是次品的概率：
②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；
③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）．
参考数据：若随机变量服从正态分布则，
18．（24-25高三上·江苏·阶段练习）比亚迪汽车集团监控汽车零件企业的生产过程，从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
(1)求样本质量差的平均数假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；
(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线与第2条生产线生产的零件件数之比为若第1，2条生产线的废品率分别为和，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.
①求抽取的零件为废品的概率；
②若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.
参考数据：若随机变量，则，，
19．（2024·四川·模拟预测）在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：
(1)由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X，求X的数学期望；
(2)A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、第60格共61个方格棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k到），若挪出反面，则将棋子向前移动两格（从k到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.
①设棋子移到第n格的概率为，求证：当时，是等比数列；
②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
参考答案：
1．A
【分析】由正态分布和二项分布的性质可得结果.
【详解】，，，
，由对称性：，
故.
故选：A.
2．C
【分析】利用正态分布的对称性得出，再由基本不等式计算即可.
【详解】因为随机变量，且，所以，
所以，
当且仅当，即时，取得最小值4.
故选：C.
3．B
【分析】根据正态分布的对称性即可得结论.
【详解】由正态密度函数的对称性，数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，
所以.
故选；B.
4．B
【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析求解.
【详解】因为，即，且，
所以.
故选：B．
5．D
【分析】根据正态分布，求在指定区间概率即可得解.
【详解】由题可知，，
.
故200天内团购券的核销量在84到132张的天数大约是.
故选：D
6．D
【分析】根据正态分布曲线的性质，可得判定A正确；根据决定系数和相关系数的性质，可得判定B正确，C正确；根据方差的性质，可判定D错误.
【详解】对于A中，若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中，所以A正确；
对于B中，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型回归效果，越大，说明模型拟合的效果越好，所以B正确；
对于C中，一元线性回归模型中，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，
所以如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强，所以C正确；
对于D，若所有数据均变成原来的2倍，则变为原来的4倍，所以D正确.
故选：D．
7．D
【分析】利用正态分布的对称性即可求得抽测成绩在内大约的学生人数.
【详解】学生的抽测成绩服从正态分布，则
，
由于总人数为20000，
则抽测成绩在内的学生人数大约为，
故选：D.
8．A
【分析】据正态分布密度曲线，得到，再结合二项式定理得到，利用，可求的值.
【详解】由的分布密度曲线知，，
所以，即，
根据展开式的通项公式可得，，
则，整理得，解得.
故选：A
9．ABD
【分析】根据正态分布的性质判断AB；根据期望和方差的性质判断CD.
【详解】由题意可知：，且，
可得，故A正确；
且，
即，所以，故B正确；
根据期望和方差的性质可知：，，故C错误，D正确；
故选：ABD.
10．AB
【分析】根据，即可判断选项A，B，C，再利用正态分布的性质，求出该企业员工通勤时间可接受率，即可判断选项D．
【详解】因为该企业员工的通勤时间服从正态分布，
所以该企业员工通勤时间的均值为50分钟，标准差为2，故AB正确，C错误．
因为，
所以
，故D错误．
故选：AB.
11．BCD
【分析】根据正态分布定义及其对称性即可分析.
【详解】对于A，由，可知，根据正态分布的对称性可知，，，故A错误；
对于B，由于，可知8.3，8.7关于对称，
根据正态分布的对称性可知B正确；
对于C，根据正态分布的对称性可知，
故，C正确；
对于D，根据正态分布的对称性可知，
故，D正确.
故选：BCD
12．/
【分析】利用正态分布的对称性，即可求解.
【详解】由对称性可知，正态密度曲线的对称轴为5，所以，
所以.
故答案为：
13．230
【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.
【详解】，则，
，
身高超过180cm的男生的人数约为.
故答案为：230.
14． 0.2 0.36
【分析】利用正态分布的意计算可得结论.
【详解】由，所以，
优品满足，所以，（第一空）；
抽查次数不超过两次的概率为（第二空）.
故答案为：；.
15．(1)
(2)乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少.
【分析】（1）由正态分布确定70分及以下的学生人数，再由古典概率模型即可求解；
（2）由正态分布确定甲校130以上及58分以下人数，对比乙校数据即可判断.
【详解】（1）由题意可知甲校学生数学得分，
由，
可得，则，
所以分数在70分及以下的学生有，
所以学生小A被抽到的概率
（2）由，
可得：
所以甲校不低于130分的概率为，
得分不高于58分的概率为，
所以甲校不低于130分有人，得分不高于58分有人，
故乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少.
16．(1)分；
(2)5；
(3)分布列详见解析；
【分析】（1）利用正态分布的对称性和正态曲线的原则，即可求得该校预期的平均成绩；
（2）利用二项分布即可求得随机变量的期望；
（3）先求得随机变量X的各个可能取值对应的概率，进而得到随机变量X的分布列，再利用数学期望的定义即可求得随机变量X的数学期望.
【详解】（1）由，
又的近似值为76.5，的近似值为5.5，
所以该校预期的平均成绩大约是（分）
（2）由，可得，
即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人，
该学生笔试成绩高于76.5的概率为
所以随机变量服从二项分布，故
（3）X的可能取值为，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为
所以
17．(1)80，0.8186
(2)①；②；③4
【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解；
（2）①借助全概率公式计算即可得；②按照条件概率公式计算即可；③借助二项分布期望公式计算即可得．
【详解】（1），
因为，所以，
则
；
（2）①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件，
“抽取的零件为乙机床生产”记为事件，
“抽取的零件为次品”记为事件，
则，，，，
则；
②；
③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率，
且随机变量，
所以，
所以随机变量Y的数学期望为4.
18．(1)60；
(2)①；②
【分析】本题主要考查全概率公式和条件概率公式，考查正态曲线的性质，属于一般题.
（1）先求出，再利用正态曲线的对称性求解；
（2）①利用全概率公式求解；②利用条件概率公式求解.
【详解】（1）由题意可知，，
则，
所以
；
（2）①设事件A表示“随机抽取一件该企业生产的汽车零件为废品”，
设事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，
设事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，
则，，，，
所以；
②因为，
所以，
所以
19．(1)；
(2)①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.
【分析】（1）根据数据算出，由服从正态分布算出概率，即，进而算出的数学期望；
（2）棋子开始在第格为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即，棋子移到第格的情况是下列两种，即棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，所以即，进而求证当时，是等比数列，计算符号即可判断.
【详解】（1），
由Z服从正态分布，得
，因此，
所以X的数学期望为.
（2）①棋子开始在第0格为必然事件，，
第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为，即，
棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：
棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；
棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，
因此，即，且，
所以当时，数列是首项，公比为的等比数列.
②由①知，，，，，
将以上各式相加，得，
于是，
则闯关成功的概率为，
闯关失败的概率为，
，
所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.性能指标X
66
77
80
88
96
产品件数
10
20
48
19
3
质量差（单位：）
54
57
60
63
66
件数（单位：件)
5
21
46
25
3
消费金额（单位：百元）
频数
20
35
25
10
5
5
X
0
1
2
3
4
P