立体几何初步专项训练-2025届高三数学一轮复习

这是一份立体几何初步专项训练-2025届高三数学一轮复习，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知四棱锥的体积为4，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知一个正三棱柱的底面边长为6，高为4，则该正三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆锥底面半径为3，侧面展开图扇形的圆心角为216°，则该圆锥内半径最大的球的体积是（ ）
A．B．C．D．
5．设P，A，B，C是球表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，球的体积为，二面角的大小为，则三棱锥的体积为（ ）
A．2B．C．D．4
6．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，体积相等，且它们的侧面积之比为，则圆锥的高与底面半径之比为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
8．已知正方体的棱长为，，，分别是，，的中点，点为正方体表面上的一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．若平面，则点的轨迹长度为
D．当点为的中点时，到直线的距离为
三、填空题
9．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 .
10．中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为的圆锥，则该圆锥的高度为 .
11．圆锥的底面半径为，母线长，一只蚂蚁自底面圆周上一点沿圆锥表面爬到过母线的轴截面上另一条母线的中点，问这只蚂蚁爬行的最短距离为 .
12．如图，已知在四棱锥中，底面是菱形，且，底面，，，，分别是棱，，的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下几个结论：
①截面的面积等于；
②截面是一个五边形；
③截面与四棱锥四条侧棱中的三条相交；
④截面在底面的投影面积为.
其中，正确结论的序号是 .
四、解答题
13．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．
(1)证明：，，，四点共面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值．
14．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点.
(1)设平面与直线相交于点，求证：；
(2)若，，，求棱锥的体积
15．已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面.
(1)确定点的位置，并证明你的结论；
(2)求异面直线与所成角的大小.
16．在直四棱柱中，，，，，

(1)求证：平面；
(2)若直四棱柱体积为36，求二面角的余弦值.
参考答案：
1．B
【分析】根据四棱锥的体积为4求出高h，再结合直线与平面所成角的正弦值为即可得答案.
【详解】四棱锥的体积，得，
直线与平面所成角的正弦值为，
故选：B.
2．C
【分析】根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，用勾股定理求出外接球的半径即可求其表面积.
【详解】根据题意，

底面外接圆半径设为，则，∴，
外接球半径设为R，
则，.
故选：C.
3．A
【分析】解法1：先利用正弦定理求出正三棱柱的底面圆半径，再借助于勾股定理建立方程，求出外接球半径即得.解法2：先判断正三棱柱的的外接球球心在高线的中点，即可判断外接球半径继而得出外接球体积范围，排除其他三项即得.
【详解】
解法1：如图，设正三棱柱外接球的球心为，半径为.
记和外接圆的圆心分别为和，其半径为，
由正弦定理得：.而为的中点，
所以则
故选:A.
解法2：设正三棱柱外接球的半径为
因正三棱柱的高为，由对称性知其外接球球心必在高线的中点，
故此时.
故选:A.
4．A
【分析】根据圆锥表面积公式求出母线长，再由等面积法,可得圆锥内部最大球即与圆锥相切的球的半径以及球的体积.
【详解】画出圆锥的侧面展开图
设母线长为，依题意
解得：
所以圆锥的高为作出圆锥轴截面图象，
设圆锥内部最大球即与圆锥相切的球的半径为
根据等面积法求解得：
解得，
故选：A．
5．C
【分析】把三棱锥补成一个长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是其外接球的直径，由此求得，即得，作，垂足为，连接，是二面角的平面角，，从而可得，即得，再由体积公式可得结论．
【详解】∵PA，PB，PC两两垂直，所以可以把三棱锥补成一个长方体，如图，是该长方体同一顶点处的三条棱，
长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是其外接球的直径，
由得，
所以，
作，垂足为，连接，
因为平面，平面，所以，同理，
又，平面，所以平面，
而平面，所以，
所以是二面角的平面角，所以，
由得，而，
又，
所以，所以，
，
故选：C．
6．C
【分析】分别表示出圆柱和圆锥的体积与以及圆柱和圆锥的侧面积，然后依据题意比值求解；
【详解】设圆柱和圆锥的底面半径为，高分别为，
所以，
圆柱的侧面积，
圆锥的侧面积，
又因为，代入，
解得：，即
故选：C.
7．AD
【分析】根据线面、面面关系可判断AD；举反例可判断BC.
【详解】对于A，，，所以或，而，故，故正确；
对于B，如图，长方体中，，则，故B错误；
对于C，如图，长方体中，
，则，故C错误；
对于D，若α//β，，则，而，故，故正确.
故选：AD.
8．ACD
【分析】由题意有是边长为的等边三角形，求面积判断A；利用线面平行、面面平行的判定证面面，结合正方体的结构特征有面，当重合时三棱锥体积最大，且当在上除外运动时，平面，判断B、C；根据已知求得，再由到直线的距离为判断D.
【详解】由题意，可得是边长为的等边三角形，故其面积为，A对；
由题设，面，面，则面，
同理可证面，且在面内，故面面，
根据正方体性质，易得面，即面，
结合正方体的结构，易知当重合时，三棱锥体积最大，
由A分析，易知棱锥的高，
此时到面的距离，则，B错；
由上知，当在上除外运动时，平面，轨迹长为，C对；
若点为的中点，此时，且，
所以，则，
所以到直线的距离为，D对.
故选：ACD
9．
【分析】由，，从而截面为梯形求解.
【详解】解：如图所示：
因为，所以，所以截面为梯形，
因为正方体的棱长为2，则，
梯形的高为，
所以梯形的面积为：，
故答案为：
10．
【分析】根据浇铸前后体积不变列方程，求得圆锥的高.
【详解】设圆柱的底面半径为，母线长为，圆锥的底面半径为，高为，
则圆柱的侧面积为，又，代入解得，
故，又，又，解得.
故答案为：.
11．
【分析】圆锥半侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底圆周长的一半，可求出扇形的圆心角为弧度，沿圆锥侧面移动到D，利用余弦定理可求最短距离.
【详解】
如图，沿母线剪下作出半侧面展开图，得到的是扇形，
设扇形的圆心角为弧度，则根据题意知，扇形的弧长等于圆锥底面周长的一半，
得：，即，
在中，点是的中点，由余弦定理得：
，
所以，故所求的最短距离为.
故答案为：.
12．②③④
【分析】取中点，靠近的四等分点，依次连接、、、、，则多边形即为平面截四棱锥所得的截面多边形，可判断①②③；取、中点、，结合垂直关系证得多边形为截面在底面的投影，求出面积即可判断④.
【详解】
取中点，靠近的四等分点，依次连接、、、、，
连接交于点，
设，，
则为中点，为中点，故为靠近的四等分点，故，
底面是菱形，，则为正三角形，，
又，，，
底面，底面，
，，，
，，，分别是棱，，，的中点，
，，
且，，
，，，四点共面，
，，
平面，平面，
多边形即为平面截四棱锥所得的截面多边形，
，平面，平面，
平面，，，，
四边形为矩形，其面积为，
为中点，为中点，
，，，
的边上的高，
，
截面的面积等于，故①错；
由图可知，截面是一个五边形，故②对；
由图可知，截面与四棱锥四条侧棱中的侧棱、、相交，故③对；
取、中点、，则，
则底面，底面，
多边形为截面在底面的投影，
且，
则多边形的面积为，故④对.
故答案为：②③④.
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件证明出线线平行，即可得到四点共面；
（2）延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，，，根据面面角的定义找到是平面与平面的夹角，然后直接求解该夹角的正弦值即可.
【详解】（1）如图，取的中点，连接，，
则，
在正方体中，，，
所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为，，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以，所以，，，四点共面．
（2）如图，延长交的延长线于点，
延长交的延长线于点，
连接，，，则点在上．
不妨设正方体的棱长为，
则，，，，
所以是的中点，
所以，，
所以是平面与平面的夹角．
因为平面平面，
所以，所以．
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由可得平面，然后利用线面平行的性质定理证得，进而得；
（2）由条件可得，利用棱锥的体积公式计算即可.
【详解】（1）∵平面与直线相交于点，
∴平面平面．
∵四边形是菱形，∴，
∵平面，平面，
∴平面，
∵平面，平面平面，
∴，故．
（2）∵底面为菱形，，∴，为正三角形，
又，∴，
∵为的中点，∴到平面的距离与到平面的距离相等，
又平面，即平面，，
∴棱锥的体积为
．
15．(1)为线段的中点，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的性质可得，结合是的中点即可判断点位置,
（2）根据正四棱锥的几何性质，结合球的表面积公式，可得四棱锥的底面边长，即可根据平行得是异面直线与成的角或其补角，利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）为线段的中点，证明如下：
由于相交于，四边形为正方形，故是的中点，
由于平面，平面，且平面,
故,
由于是的中点，故为线段的中点.
（2）由球的表面积公式，得球的半径，
设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上，
连，则,，故,
则在，有，
即，可得正方形的边长为，
侧棱．
由（1）知，故是异面直线与成的角或其补角，
由于为等腰三角形，且,
故，
异面直线与所成的角为；
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用直四棱柱的性质及线面平行的判定定理，可证平面平面，再由面面平行的性质定理，即可得证；
（2）先根据棱柱的体积公式求得，过作于，连接，证明即为二面角的平面角，在三角形中求解即可．
【详解】（1）由题意知，，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，且平面，平面，
所以平面，
又，、平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面．
（2）由题意知，底面为直角梯形，
所以梯形的面积，
因为四棱柱的体积为36，
所以，
过作于，连接，
因为平面，且平面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
在△中，，
所以，,
所以,
故二面角的余弦值为．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
B
C
A
A
C
C
AD
ACD