统计专项训练-2025届高三数学一轮复习

这是一份统计专项训练-2025届高三数学一轮复习，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若数据的方差为0.2，则数据的方差为（ ）
A．0.2B．0.8C．1.6D．3.2
2．随着汽车智能化与电动化的不断升级，无人驾驶汽车成为汽车行业发展的新趋势．据统计，截至2024年7月底中国无人驾驶汽车行业存续企业数量为1782家，这些企业的注册资本分布情况如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．注册资本不高于200万元的企业数量占比不足
B．注册资本在1000万元以上的企业超过750家
C．注册资本分布数据的分位数是
D．从注册资本在100万元—500万元的企业中随机抽取1家，该企业注册资本在200万元—500万元的概率不小于0.55
3．根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬.现将连续5天的日平均气温（单位：℃）记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列描述中，该组数据一定符合入冬指标的有（ ）
A．平均数小于4且中位数小于或等于3B．平均数小于4且极差小于或等于3
C．平均数小于4且标准差小于或等于4D．众数等于6且极差小于或等于4
4．有一组样本数据、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，其，为非零常数，则下列说法正确的是（ ）
①两组样本数据的样本平均数相同 ②两组样本数据的样本中位数相同
③两组样本数据的样本标准差相同 ④两组样本数据的样本极差相同
A．③④B．②③C．②④D．①③
5．某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况记录如下，甲：18，20，35，33，47，41； 乙：17，26，19，27，19，29.则下列四个结论中，正确的是（ ）
A．甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
D．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值
6．如图是某市随机抽取的100户居民的月均用水量频率分布直方图，如果要让60%的居民用水不超出标准（单位：t），根据直方图估计，下列最接近的数为（ ）
A．8.5B．9C．9.5D．10
二、多选题
7．某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（ ）

A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B．甲得分的极差大于乙得分的极差
C．甲得分的第75百分位数小于乙得分的第75百分位数
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
8．给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．数据，，，，，，，的极差与众数之和为
B．已知一组数据，，，，，的平均数为，则这组数据的中位数是
C．已知某班共有人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第名，则小明成绩是全班数学成绩的第百分位数
D．一组不完全相同数据，， ，的方差为，则数据，，，的方差为
三、填空题
9．某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的分位数为
10．已知，两组数据，其中：2，3，4，5，6；：11，，13，14，12；组数据的方差为 ，若，两组数据的方差相同，试写出一个值 ．
11．某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为70，方差为95，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差是 .
12．学校为了解学生身高(单位：情况，采用分层随机抽样的方法从名学生（男女生人数之比为）中抽取了一个容量为的样本.其中，男生平均身高为，方差为，女生平均身高为，方差为，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为 ．
四、解答题
13．某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案：方案（1）每日底薪100元，每销售一单提成2元；方案（2）每日底薪200元，销售的前50单没有提成，从第51单开始，每完成一单提成4元．该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，将样本数据分为七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中的值；
(2)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；
(3)假设该销售员选择了你在（2）中所选的方案，已知公司现有销售员400人，他希望自己的收入在公司中处于前40名，求他每日的平均业务量至少应达多少单？
14．A，B两组各有7位病人．他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A组：；
B组：．
当为何值时，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
15．为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试，并将成绩分数分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
(1)估计这100名同学体能成绩分数的平均分和众数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组同学成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差.
16．梵净山位于贵州省铜仁市的江口､印江､松桃三县交界处，是具有2000多年历史的文化名山.梵净山山势雄伟､层峦叠嶂，溪流纵横､飞瀑悬泻.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，求的值；
(2)估计这100名游客对景区满意度评分的分位数；
(3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在50,60和60,70内各1人的概率.
参考答案：
1．D
【分析】根据各数据同时乘同一数对方差的影响求解.
【详解】根据数据的方差为0.2可得数据的方差为.
故选：D.
2．C
【分析】根据饼状图可知注册资本不高于200万元的企业数量占比为，在1000万元以上的企业数量为，可判断AB正确，利用百分位数定义计算可得C错误，根据不同资本的企业占比计算可得D正确.
【详解】选项A：注册资本不高于200万元的企业数量占比为，，A正确．
选项B：注册资本在1000万元以上的企业数量为，，B正确．
选项C：，故分位数为与的平均数，C错误．
选项D：从注册资本在100万元—500万元的企业中随机抽取1家，
则该企业注册资本在200万元—500万元的概率为，，D正确．
故选：C
3．B
【分析】举出反例可得ACD错误，利用反证法可得B正确.
【详解】对于A，举出反例：0，0，0，0，15，其平均数为3，中位数为0，但不符合入冬标准，故A错误；
对于B，假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3知，此组数据最小值为大于或等于7，与平均值小于4矛盾，故假设不成立，故B正确；
对于C，举出反例：1，1，1，1，11，平均数为3，且标准差为4，但不符合入冬标准，故C错误；
对于D，举出反例：6，6，6，6，10，其众数等于6且极差等于4，但不符合入冬标准，故D错误.
故选：B.
4．A
【分析】利用平均数公式可判断①；利用中位数的定义可判断②；利用标准差公式可判断③；利用极差的定义可判断④.
【详解】对于①，设数据、、、的平均数为，数据、、、的平均数为，
则
，故①错；
对于②，设数据、、、中位数为，数据、、、的中位数为，
不妨设，则，
若为奇数，则，；
若为偶数，则，.
，故②错；
对于③，设数据、、、的标准差为，数据、、、的标准差为，
，故③对；
对于④，不妨设，则，
则数据、、、的极差为，
数据、、、的极差为，故④对.
故选：A.
5．D
【分析】求出极差判断A；求出中位数判断B；求出平均数判断D；求出方差判断C．
【详解】将数据按升序排列可得：甲：18，20，33，35，41，47； 乙：17，19，19，26，27，29.
对于A，甲运动员得分的极差为，乙运动员得分的极差为，
且，所以甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，故A错误；
对于B，甲运动员得分的中位数是，乙运动员得分的中位数是，
且，所以甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B错误；
对于CD，甲运动员的得分平均值为，
乙运动员的得分平均值为，
且，所以甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，故D正确；
甲运动员得分的方差为
，
乙运动员得分的方差为
，
显然乙的方差小于甲的方差，乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故C错误.
故选：D.
6．A
【分析】首先判断位于之间，再根据百分位数计算规则计算可得结论.
【详解】因为，，
所以应在，
所以，解得.
故最接近的数为.
故选：A.
7．ABD
【分析】运用极差、中位数及百分位数的公式计算，和方差的意义即可判断选项.
【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下：
故可得如下表格：
故选：ABD
8．AD
【分析】根据众数、极差的定义即可判断A；根据平均数、中位数定义即可判断B；根据百分位数定义即可判断C；根据方差的性质即可判断D.
【详解】对于A，数据，，，，，，，的极差为，众数为，
所以数据，，，，，，，极差与众数之和为，A正确；
对于B，由题意可知，解得：，
所以数据为：，，，，，，数据的中位数为，
B错误；
对于C，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第名，
若成绩从低到高排序，小明的成绩排在第位，又因为，
又因为考试分数排名为由高分到低分，所以全班数学成绩的第百分位数应为：
第班级成绩的第名与第名同学成绩的平均数，
所以小明的成绩不是全班数学成绩的第百分位数，C错误；
对于D，因为，， ，的方差为3，根据方差性质，
，，，的方差为，D正确.
故选：AD
9．120
【分析】先将6个数据从小到大进行排列，再根据百分位数的定义和求解步骤即可求解.
【详解】6位老年人的收缩压数据从小到大排列为：96，112，120，136，146，153，
因为，所以这组数据的分位数为120.
故答案为：120.
10． 2 10或15
【分析】根据方差公式及其变形即可得到方程，解出即可.
【详解】组的平均数，
组的平均数，
则组的方差为
，
则组的方差为
，
解得或15.
故答案为：2；10或15.
11．85
【分析】根据平均数、方差的计算公式求解即可.
【详解】设更正前甲,乙,丙...的成绩依次为，
则，
即，
所以，
，
即，
所以.
更正后的平均分，
更正后的方差
.
故答案为：.
12．
【分析】根据题意，求出样本的平均数和方差，结合用样本估计总体的思路，即可得答案．
【详解】根据题意，由于男女生人数之比为，则样本中男女生人数之比为，
其中，男生平均身高为，方差为，女生平均身高为，方差为，
则样本的平均数，
样本的方差，
用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为．
故答案为：．
13．(1)0.002
(2)选择方案（2）
(3)每日的平均业务量至少应达82单
【分析】（1）由频率分布直方图的矩形面积和为1求出的值；
（2）由每日人均业务量的平均值分别求出方案（1）和（2）的人均日收入；比较大小后再做选择；
（3）用40除以400得到，该员工收入需要进入公司群体人员收入的前10%，即超过90%，分析90%是否在前5组频率和以及前6组频率和之间，设对应销为，由频率分布直方图的百分位数的公式得到对应的值.
【详解】（1）∵，
∴
（2）每日人均业务量的平均值为：，
方案（1）人均日收入为：元，
方案（2）人均日收入为： 元，
∵248元>224元，
所以选择方案（2）
（3）∵，即设该销售员收入超过了90%的公司销售人员.
由频率分布直方表可知：
前5组的频率和为
前6组的频率和为
∵，设该销售的每日的平均业务量为，
则，
∴，又∵
∴最小取82，
故他每日的平均业务量至少应达82单.
14．或．
【分析】方法一：计算出A组的方差，从而计算出B组的平均数，利用方差相等列出方程，求出或11；
方法二：按照两组数据的特点，结合方差相等，得到B组数据也应该依次增大1，从而得到或.
【详解】方法一：A组的平均数为，
故A组的方差为，
故B组的平均数为，
故B组的方差为，
解得或11，
方法二：由于两组数据的方差相同，A组的数据依次增大1，
而B组数据除之外，其余数据也依次增大1，
故要想两组数据的方差相同，B组数据也应该依次增大1，
将B组数据重新排列，
A组：，
B组：，
或
A组：；
B组：．
所以，或.
15．(1)平均数：，众数为：.
(2)
【分析】（1）由频率直方图先求出的值，然后求解平均数与众数即可；
（2）设第二组，第四组同学成绩的平均数与方差分别为：，计算出两组频率之比为，然后计算这次第二组和第四组所有同学成绩的方差即可.
【详解】（1）由题意可知：，
解得：，
所以每组的频率依次为：，
所以平均数为：，
众数为：.
（2）设第二组，第四组同学成绩的平均数与方差分别为：，
两组频率之比为：，
则第二组与第四组所有同学成绩的平均数为：，
第二组与第四组所有同学成绩的方差为：，
故估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差为：.
16．(1)
(2)92.5
(3)
【分析】（1）根据直方图中频率和为1即可求解；
（2）由百分位数的定义，结合直方图即可求解；
（3）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解.
【详解】（1）由图可知：，
解得：；
故的值为；
（2），
分位数在区间内，令其为，
则，
解得：
所以满意度评分的分位数为92.5；
（3）因为评分在的频率分别为，
则在中抽取人，设为；
在中抽取人，设为；
从这6人中随机抽取2人，则有：
，
，共有15个基本事件，
设选取的2人评分分别在和内各1人为事件，
则有，
共有8个基本事件，
所以.
即选取的2人评分分别在和内各1人的概率为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
C
B
A
D
A
ABD
AD


甲
7.0
8.3
8.9
8.9
9.2
9.3
乙
8.1
8.5
8.6
8.6
8.7
9.1
甲
乙
中位数
A正确
极差
B正确
第75百分位数
，故第75百分位数是第5个数
C错误
9.2
8.7
方差
由题图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差
D正确