解三角形专项训练-2025届高三数学一轮专题复习

这是一份解三角形专项训练-2025届高三数学一轮专题复习，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在中，内角的对边分别是.若， ，则（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
3．位于某海域处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东且与甲船相距30海里的处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．记的内角的对边分别为，已知，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
二、多选题
7．在中，，，，的角平分线交于，则（ ）
A．是钝角三角形B．
C．D．
8．已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若为锐角三角形，则
B．若，，则是直角三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若为钝角三角形，且，，，则的面积为
三、填空题
9．在中，，，，则 .
10．在中，若的面积为，，，则 ．
11．镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期．某同学为了测量慈寿塔的高，他在山下处测得塔尖点的仰角为，再沿正对塔方向前进20米到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，则慈寿塔高约为 米．（，答案保留整数）
12．已知中，为钝角，内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是 ．
四、解答题
13．在中，角所对的边长分别为，已知.
(1)求；
(2)若是中点，求的长度.
14．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的周长为．
(1)求；
(2)若的平分线交于点，且，求的边上的高．
15．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， 且满足
(1)求角C;
(2)若，，CD平分交AB于点D，求CD的长.
16．如图，在四边形中，平分.
(1)若，求；
(2)若，求的面积.
参考答案：
1．A
【分析】根据题意利用正弦定理可得，，结合余弦定理运算求解即可.
【详解】因为，由正弦定理可得，
又因为，即，可得，
由余弦定理可得，
且，所以.
故选：A.
2．C
【分析】利用正弦定理先求B，再根据三角形内角和计算即可.
【详解】利用正弦定理可知，解之得，
因为，所以，则，
或，则.
根据大边对大角，以上两种情况都符合题意.
故选：C
3．A
【分析】由余弦定理求解即可；
【详解】如图，由题可知.
在中，由余弦定理可得海里，
所以乙船至少需要航行的海里数为.
故选：A.
4．A
【分析】运用数量积定义和余弦定理，结合基本不等式计算.
【详解】，∴，∴，
∴ ，
所以，
故选：A．
5．B
【分析】由已知可得，利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换，根据正弦函数的性质，可得答案.
【详解】由，，则，
根据正弦定理，可得
，
在中，，则，
，
在中，易知，当时，.
故选：B.
6．A
【分析】由诱导公式和逆用正弦差角公式得到，结合角的范围得到，利用正弦定理得到.
【详解】由诱导公式得，
又，
故，
即，
所以，又，
所以，
所以，即，所以，
又，由正弦定理得．
故选：A
7．BCD
【分析】根据余弦定理结合余弦的和角公式可判定A、B，作出三角形图形，利用边角关系、角平分线的性质及勾股定理计算可判定C、D.
【详解】由题意可知边长最大，即B是最大角，
由余弦定理知，
则，是锐角三角形，故A错误；
由余弦定理知，则，故B正确；
由上可知，作出三角形图形如上，
由平分，可知，即，故C正确；
作，易得均为等腰直角三角形，
且，所以，故D正确.
故选：BCD
8．AC
【分析】利用正弦函数的单调性和诱导公式即可判断A选项；利用余弦定理即可判断B选项；利用正弦定理边化角即可判断C选项；利用余弦定理求出或，再进行分类讨论即可判断D选项.
【详解】对于A, 若为锐角三角形，则 即，
故，故A正确；
对于B，若，，则，
即，故，且，故是等边三角形，故B错误；
对于C，若，则
即即
故，是等腰三角形.故C正确；
对于D，，解得或，
且，
当时，，为钝角，故，
当时，，B为钝角，故，故D错误.
故选：AC
9．
【分析】根据正弦定理求解.
【详解】由正弦定理，得，
解得，
又，所以，即.
故答案为：
10．
【分析】利用三角形的正弦面积公式和余弦定理即可求解.
【详解】由的面积为，可得：，化简得：，
再由，可得，
最后由余弦定理得：，
所以，
故答案为：.
11．31
【分析】根据给定条件，再结合直角三角形边角关系求解即得.
【详解】如图，，，，，
设，则，，，
∴，∴，
则．
故答案为：31.
12．
【分析】先利用正弦定理、余弦定理将式子化简，得，结合为钝角，由此确定，化为，换元后化为：，，结合二次函数的单调性即可求解.
【详解】因为，由余弦定理有：，
由正弦定理有：，
所以，因为，
所以，所以或，
当时，，得，
而为钝角，则为钝角，这是不可能的，故不成立；
当时，由为钝角知，
得，，
，
令，原式化为，，
函数的对称轴为，所以函数在单调递增，
当时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值，
所以.
故答案为：.
13．(1)
(2)
【分析】（1）方法一：由，正弦定理得，再由，得，可求；
方法二：已知条件结合余弦定理求出，再由余弦定理求得，可求；
（2）方法一：利用向量数量积求；
方法二：由，有，利用余弦定理求的长度
【详解】（1）方法一：
因为，由正弦定理得：，
又，得，
中，，所以，
又因为在中，所以.
方法二：
因为，由余弦定理得：，
解得，所以，
又因为在中，所以.
（2）方法一：
在中，是中点，所以，
，
，即的长为.
方法二：
由（1）方法二，知，
又是中点，，
在中由余弦定理有：，
在中由余弦定理有：，
因为，
所以，
即，
解得，即的长为.
14．(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）利用三角形面积之间的关系得到与的关系，即可求出的值，即可求出，再由等面积法计算可得.
【详解】（1）由题意可知，，
由正弦定理可知，，
即，
整理得，．
由余弦定理可知，．
又，故．
（2）由，得，
所以，
又，所以，
由，且，得，
解得或（舍去），
所以．
设的边上的高为，则，解得．
故的边上的高为．
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）首先利用余弦定理求出，再由等面积法计算可得.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理，又，所以；
（2）在中，由余弦定理可得，
即，解得或（舍去），
又，，
所以，解得.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理结合已知的边的关系，即可求角的余弦值，再用二倍角公式即可求解；
（2）利用两个三角形的正弦定理，组方程组求角的三角函数值，再用两角和公式求角，求面积.
【详解】（1）
在中，已知，，结合余弦定理得：
，
因为，所以，
又因为平分
所以.
（2）设.
在中，由正弦定理，得，
得，即.
在中，由正弦定理，得.
由得.
因为，所以，则，得.
易知，则，
得.
又因为，
所以的面积为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
A
C
A
A
B
A
BCD
AC