2024年湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学中考一模数学试题(含答案)

这是一份2024年湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学中考一模数学试题(含答案)，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．2024的相反数是（ ）
A．B．C．2024D．
2．下列几何体中，主视图是三角形的为（ ）
A．B．C．D．
3．据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．若是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．不等式组的解集在数轴上可以表示为（ ）
A．B．C．D．
8．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为步，根据题意列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．若分式方程无解，则实数的取值是（ ）
A．0或2B．4C．8D．4或8
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．在函数中，自变量的取值范围是_______________．
12．关于的一元一次方程的解为，则的值为_______________．
13．某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛．这两名运动员10次测试成绩（单位：）的平均数是，方差是，那么应选_______________去参加比赛．（填“甲”或“乙”）
14．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高_______________．
第14题图
15．如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则_______________度．
第15题图
16．如图，菱形的对角线相交于点是的中点，则的长是_______________．
第16题图
三、解答题（共9小题，共72分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机看建筑物顶部的仰角为，看底部的俯角为，无人机到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：）
20．某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校抽取了部分学生的劳动积分（积分用表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）统计表中_______________，等级对应扇形的圆心角的度数为_______________；
（2）学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
（3）等级中有两名男同学和两名女同学，学校从等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．
21．如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22．如图，在中，点分别在上，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
23．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫多10元，用500元购进款和用400元购进款的文化衫的数量相同．
（1）求款文化衫和款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求值．
24．如图1，点在圆上运动，满足，过点的切线交延长线于点．
图1 图2
（1）求证：；
（2）记的面积为，若，求
（3）如图2，点是线段上一动点（不与重合），于P，交于点．若，设，且，试求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
25．已知四个实数，规定新运算：；若一次函数和二次函数满足，则称该一次函数与二次函数互为“和谐函数”；
（1）下列关于的二次函数是否与一次函数互为“和谐函数”？如果是，请在相应的括号中打“√”，不是的打“×”；
①（ ）；②（ ）；③（ ）．
（2）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点（不重合），若二次函数的图象经过点和点，证明：上述一次函数与二次函数互为“和谐函数”；
（3）已知二次函数与一次函数互为“和谐函数”，并且二次函数的图象与轴交于两点（在的左边），与轴交于点，记抛物线的顶点为，设的外接圆圆心为与轴的另一个交点为，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．D 2．A 3．A 4．C 5．A． 6．C 7．D 8．B 9．D 10．D
二、填空题（共6小题）
11．． 12．3 13．甲． 14． 15． 16．5．
三、解答题（共9小题）
17．【解答】解：
．
18．【解答】解：原式，
当时，原式．
19．【解答】解：由题意知，．
，．
．（米）．
在中，
（米）
（米）
答：该建筑物的高度约为27.3米．
20．【解答】解：（1）抽取的学生人数为：（人），
，
等级对应扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：；
（2）（人），
答：估计该学校“劳动之星”大约有760人；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有8种，
恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为．
21．【解答】（1）证明：是的角平分线，．
由作图知：．
在和中，，
；
（2）解：为角平分线，，
由作图知：．，
，
为的角平分线，．
．
22．【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
即，四边形是平行四边形，
，平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，，
．是等腰直角三角形，
，
，，
，即的长为．
23．【解答】解：（1）设款文化衫每件元，则款文化衫每件元，
根据题意得：，解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，．
答：款文化衫每件50元，款文化衫每件40元；
（2）设购买件款文化衫，则购买件款文化衫，
根据题意得：，解得：，
又为正整数，
可以为275，276，277，278，279，，280，共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为元，
则，
（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
的值与值无关，，．
24．【解答】（1）证明：在中，．
为圆的切线，即．
（2）解：，设，由，得，即，平方并整理得，解得或（舍），即．
（3）解：，设，则．
易证
易证，
，
．
25．（1）①（√）；②（×）；③（√）
（2）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点
又二次函数的图象经过点和点，
，即，并且
一次函数和二次函数满足
该一次函数与二次函数互为“和谐函数”
（3）法一：假设存在，理由：
二次函数与一次函数互为“和谐函数”，
二次函数与轴交于点
点即点，
又二次函数，
对称轴为直线，
二次函数的图象与轴交于两点
令，设点，
则
的外接圆圆心为 设
，，，
，即
，即
与轴的另一个交点为
由垂径定理知，点在的中垂线上，则．
四边形为平行四边形，
则，解得：，即
又，
则，，或．
等级
劳动积分
人数
4
20
8
3