浙江省宁波市四校（鄞州实验、东钱湖、曙光、海三外）联考2024-2025学年八年级上学期期中测试数学试卷(含答案)

这是一份浙江省宁波市四校（鄞州实验、东钱湖、曙光、海三外）联考2024-2025学年八年级上学期期中测试数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”.其中不是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
2．用一根小木棒与两根长度分别为、的小木棒组成三角形,则这根小木棒的长度可以是( )
A.B.C.D.
3．一个不等式的解集为,那么在数轴上表示正确的是( )
A.B.
C.D.
4．如图,已知,补充下列哪一个条件,仍不能判定和全等的是( )
A.B.C.D.
5．不等关系在生活中广泛存在.如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是( )
A.若，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
6．对于命题“如果,那么”,能说明它是假命题的反例是( )
A.B.C.D.
7．如图,将一张三角形纸片的一角折叠,使点A落在处,折痕为.如果,,,那么下列式子中正确的是( )
A.B.
C.D.
8．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线为的平分线的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
9．已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是( )
A.B.C.D.
10．将一个等腰三角形纸板沿垂线段,进行剪切,得到三角形①②③,再按如图2方式拼放,其中与共线.若,则的长为( )
A.B.C.10D.
二、填空题
11．“x的2倍与3的差是负数.”用不等式表示为______.
12．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：______.
13．如图，的边的垂直平分线交于点D，连接.若，，则___________.
14．如图,在中,,,,D为AC上一点,若是的角平分线,则______.
15．对于任意实数m,n,定义一种新运算,等式的右边是通常的加减和乘法运算,例如：,请根据上述定义解决问题：若,且解集中有3个整数解,则a的取值范围是______.
16．如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成,延长交、分别于点M、N,延长交于点P.若,则______(用含k的代数式表示).
三、解答题
17．解不等式组：,并把解集在数轴上表示出来.
18．如图,在和中,,,.
求证：.
19．图①、图②、图③均是的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,点A、B、C均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,不要求写出画法,保留作图痕迹.
(1)在图①中画出的高线.
(2)在图②的边上找到一点E,连接,使平分的面积.
(3)在图③中画,使,其中点F不与点A重合.
20．如图,已知,相交于点O,且,.
(1)求证：.
(2)若,求的度数.
21．已知关于a、b的方程组中,a为负数,b为非正数.
(1)求m的取值范围；
(2)在m的取值范围内,当m为何整数时,不等式的解集为.
22．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长,那么我们称这个三角形为“梦想三角形”.
(1)如图,在中,,.求证：是“梦想三角形”.
(2)在中,,.若是“梦想三角形”,求的长.
24．已知：在四边形中,,,E、F分别是边、上的点,且.
(1)为探究上述问题,小宁同学先画出了其中一种特殊情况,如图①当,小宁同学探究此问题的方法是：延长到点G,使,连接,请你在图1中添加上述辅助线,并补全下面的思路.
小宁的解题思路是：先证明______；再证明______；即可得出,,之间的数量关系是______.
(2)如图②,在四边形中,,,E,F分别是边,上的点,且,(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
(3)在四边形中,,E,F分别是边,所在直线上的点,且.请直接写出线段,,之间的数量关系：______.
参考答案
1．答案：B
解析：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：B.
2．答案：B
解析：设第三根木棒长为,由三角形三边关系定理得,
所以x的取值范围是,观察选项,只有选项B符合题意.
故选:B.
3．答案：C
解析：解集为,那么在数轴上表示正确的是C,
故选：C.
4．答案：D
解析：,
,
,
添加,
,
故A选项不符合题意；
添加,
,
故B选项不符合题意；
添加,
,
故C选项不符合题意；
添加,不能判定,
故D选项符合题意,
故选：D.
5．答案：A
解析：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意.
故选：A.
6．答案：A
解析：当时,满足条件,但不能得出的结论,
∴能说明命题“如果,那么”是假命题的反例是,
故选：A.
7．答案：A
解析：∵将一张三角形纸片的一角折叠,使点A落在处,
∴
∵
∴
∵
∴.
故选：A.
8．答案：D
解析：第一个图为尺规作角平分线的方法,为的平分线；
第二个图,由作图可知：,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴为的平分线；
第三个图,由作图可知,,
∴,,
∴
∴,
∴为的平分线；
第四个图,由作图可知：,,
∴为的平分线；
故选D.
9．答案：C
解析：,,
,
,即,
,故选项A错误,不合题意.
,,
,故选项B错误,不合题意.
由得,,
,
由得,,
,故选项C正确,符合题意.
,选项D错误,不合题意.
故选:C.
10．答案：B
解析：如图,设为,为,为,图2中的余角为,
∵为等腰三角形,,
,,
,
,
结合两图,可得,
设为x,
根据勾股定理得,
,
解得：,
,
故选：B.
11．答案：
解析：由题意得
,
故答案：.
12．答案：两个锐角互余的三角形是直角三角形
解析：命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形,
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形.
13．答案：3
解析：，，
，
在的垂直平分线上，
.
故答案为：3.
14．答案：5
解析：如图,过点D作的垂线,垂足为P,
在中,∵,,
∴,
∵是的角平分线,
∴,
∵,,
∴,
∴,,
设,
在中,∵,,
∴,
∴,
∴.
故答案为：5.
15．答案：
解析：根据题意得,
解不等式①,得：,
解不等式②,得：,
则不等式组的解集为,
∵不等式组的解集中有3个整数解,
,
解得：,
故答案为：.
16．答案：
解析：如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成,
∴设,,
∴,
∴,
∵,,,
∴,
∴,
∴,
∵,
,
,
,
,
故答案为：.
17．答案：,数轴见解析
解析：,
解不等式①得：,
解不等式②得：,
∴不等式组的解集为：,
将解集表示在数轴上如图：
.
18．答案：见解析
解析：证明：,
,即,
在和中,
,
.
19．答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
解析：(1)如图①所示,线段即为所求；
；
(2)如图②所示,线段即为所求；
；
(3)如图③所示,即为所求；
.
20．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：在与中,
,
；
(2),
,
又,
.
21．答案：(1)
(2)或
解析：(1)解方程组得：,
∵a为负数,b为非正数,
,
解得：.
(2)解不等式得,
,
,
,
,
或.
22．答案：(1)见解析
(2)或
解析：(1)证明：如图,过点A作于点D,
,,,
是边上的中线,,
又∵,
由勾股定理得：,
,
是“梦想三角形”；
(2)如图,若是“梦想三角形”,
∵直角三角形斜边中线等于斜边一半,
∴只能是直角边的中线等于对应的直角边,
有以下两种情况：
①当边上的中线时,,
此时,,
②当边上的中线时,,
此时,,即,
解得：(负数值舍去),
综上所述,或.
23．答案：任务1：在该商店在无促销活动时,A商品的销售单价是160元,B商品的销售单价是200元
任务2：①；②
任务3：当时,使用无人机配送商品更合算
解析：任务1：在该商店在无促销活动时,设A商品的销售单价是x元,设B商品的销售单价是y元,
根据题意得：,
解得：.
答：在该商店在无促销活动时,A商品的销售单价是160元；
任务2：∵某南山科技公司计划在促销期间购买A,B两款商品共30件,
∴B商品购买件.
①若使用无人机配送商品,共需要元；
②若不使用无人机配送商品,共需要元.
故答案为：①；②；
任务3：根据题意得：,
解得：,
又∵,
∴.
答：当时,使用无人机配送商品更合算.
24．答案：(1)见解析,,,
(2)(1)中的结论仍然成立,见解析
(3)或或
解析：(1)补全图形,如图：
小明的解题思路：先证明,再证明,即可得出,,之间的数量关系是,
证明如下：延长到点G,使,连接,
,
在和中,
,
,,
又,
,
,
即,
又,
,
,
,
,
故答案为：,,；
(2)(1)中结论仍成立,理由如下：
延长到G,使,连接,如图所示,
,,
,
在和中,
,
,,
又,
,
,
即,
又,
,
,
,
,
(3)E,F分别是边,上,则有,第(2)问已证明；
点E在边延长线上,点F在边延长线上,此时,证明如下：
在上截取,使,连接,
,,
,
在和中,
,
,
,,
,
,
,
即,
又,
,
,
,
；
当点E在延长线上,点F在延长线上,如图,在上截取,连接,
同上可证明：,
,
,
即,
综上所述：线段,,之间的数量关系为或或.
23．背景
【竞飞“低空经济第一城”】打开手机外卖软件下单,最快仅用时10分钟,便有无人机将奶茶、汉堡等商品“空投”到指定地点,这是记者日前在深圳中心公园亲身体验到的一幕.从理想照进现实,低空经济如今从概念逐渐落地,成为城市新质生产力的一部分,助力深圳竞飞“低空经济第一城”.
素材1
某商店在无促销活动时,若买5件A商品,8件B商品,共需要2400元；若买8件A商品,5件B商品,共需2280元.
素材2
该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务,开展促销活动：
①若消费者用250元购买无人机配送服务卡,商品一律按标价的七五折出售；
②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品,一律按照标价的八折出售.
问题解决
任务1
在该商店在无促销活动时,求A,B商品的销售单价分别是多少元？
任务2
某南山科技公司计划在促销期间购买A,B两款商品共30件,其中A商品购买a件()；
①若使用无人机配送商品,共需要_________元；
②若不使用无人机配送商品,共需要_________元.(结果均用含a的代数式表示)；
任务3
请你帮该科技公司算一算,在任务2的条件下,购买A产品的数量在什么范围内时,使用无人机配送商品更合算？