天津市五区县重点校2025届高三上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份天津市五区县重点校2025届高三上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，，则( )
A.B.C.D.
2．对于任意实数a，b，“”是“”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3．下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是( )
A.B.
C.D.
4．已知函数，则曲线在点处切线的斜率为( )
A.B.C.D.
5．设，，，则( )
A.B.
C.D.
6．已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是( ).
A.B.
C.D.
7．已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．在中，，E是边中点，线段长为，，D是边上一点，是的角平分线，则的长为( )
A.B.C.2D.
9．某牧场今年年初牛的存栏数为1100头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为( )（参考数据：，，，）
A.1240B.1260C.1280D.1290
二、填空题
10．已知i为虚数单位，则_________.
11．设，那么_________.
12．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则_________.
13．已知，，则的最小值为_________.
14．在中，，，点D为的中点，点E为的中点，若设，，则可用，表示为；若，则的最大值为_________.
三、双空题
15．已知函数.若，则函数的零点为_________；若函数的最小值为a，则实数a的值为_________.
四、解答题
16．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知.
(1)求角B的大小；
(2)设，
(i)求b的值；
(ii)求的值.
17．设函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递增区间及对称轴；
(3)在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，求的取值范围.
18．已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)，求数列的前n项和；
(3)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和.
19．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求函数的最小值，并证明；
(3)当时，若关于x的不等式在区间上有解，求m的取值范围.
20．给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”；若对任意m，且，是中的项，则称为“J数列”.
(1)设数列的前n项和为，若，试判断数列是否为“J数列”，并说明理由；
(2)设数列既是等比数列又是“J数列”，且，，求公比q的所有可能值；
(3)设等差数列的前n项和为，对任意，是数列中的项，求证：数列是“H数列”.
参考答案
1．答案：C
解析：因为，，
则，
且，
所以.
故选：C
2．答案：B
解析：当时，满足成立，
但不满足成立，
所以“”是“”的不充分条件，
因为，所以，
又，
所以，
所以“”是“”的必要条件,
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3．答案：A
解析：对于A，由，，
所以为偶函数，
又，
又，所以，
所以在上为增函数，故A正确；
对于B，，
所以，
所以为奇函数，故B错误；
对于C，，，
所以为奇函数，故C错误；
对于D，，，
所以为偶函数，
又，所以，
所以在上为减函数，，故D错误.
故选：A
4．答案：B
解析：因为，
所以，
所以，
所以曲线在点处切线的斜率为.
故选：B
5．答案：B
解析：，，
又，
所以，所以，
所以.
故选：B
6．答案：A
解析：由题意知，当时函数单调递增，
所以，
当时，为单调递增函数，
所以，
又因为，，使得，
即在的最大值不小于在上的最大值，
即，解得，即.
故选：A
7．答案：D
解析：对于函数，
极小值点为.
，令，
.
因为有且仅有2个极小值点.
当时，；
当时，；当时，.
所以，解不等式得.
因为的单调递增区间为.
对于，令，
则.
因为在上单调递增，
所以.
当时，，
则且.
解不等式得.
综合以上两个条件，的取值范围是.
故选：D
8．答案：B
解析：E是边中点，则，
所以，
即，解得，
，
是的平分线，
则，，
，
在中，，
故选：B
9．答案：B
解析：依题意，当时，，
则，
于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列，
则，
即，
所以.
故选：B
10．答案：
解析：，
故答案为：.
11．答案：
解析：因为
由换底公式可得，
∴，
即，
∴.
故答案为：.
12．答案：
解析：由得，
因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
13．答案：
解析：∵，∴.
由可得，
∴
，
当且仅当且，
即时取等号，
则的最小值为.
故答案为：.
14．答案：；
解析：(1)因为点D为AB的中点，
所以.
又因为，根据向量加法，
可得.
因为点E为CD的中点，
所以，即.
再根据向量加法，
可得.
(2)因为，，
所以.
.
，
在中，，根据向量数量积公式，
可得.由，
根据余弦定理，
即.
根据基本不等式，可得，即.
将代入的表达式：
因为，取得最大值，最大值为.
故答案为：；.
15．答案：1；或2
解析：当时，，
当时，由，得，解得，
当时，由，得，，无解，
所以函数的零点为；
①若，即时，
则，
所以在上单调递减，最小值为；
在上的最小值为.
因为函数最小值为a，所以.
②当，即时，
则，
所以在上先减后增，最小值为；
在上的最小值为.
因为函数最小值为，所以，
解得，不合题意，舍去.
，
③当，即时，
则，
所以在上先减后增，最小值为；
在上的最小值为.
因为函数最小值为，所以，
解得或（舍去）.
综上可得或.
故答案为：1；或.
16．答案：(1)
(2)(i)
(ii)
解析：(1)因为，
由正弦定理可得：，
则，
因为在中，，
所以，
则有，
因为，
所以，，
故；
(2)(i)由(1)知：，在中，因为，，
由余弦定理可得：，
则.
(ii)在中，由正弦定理可得：，
即，
所以，
因为，所以，
则A为锐角，所以，
则，
，
所以
17．答案：(1)
(2)单调递增区间是，对称轴为，.
(3)
解析：(1)
所以函数的最小正周期为；
(2)令，
得，，
所以函数的单调递增区间是.
令，，
得，，
所以函数的对称轴为，.
(3)锐角中，，
，解得，
所以，
所以，
所以的取值范围是.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)依题有，
因为，
解得：，，.
数列是等差数列，设其公差为d，，
解得：，.
(2)数列的前n项和记为，
则，
因为，
所以，
，
两式相减有
，
所以.
(3)因为，，设新数列为，
因为数列与数列都是递增数列，
且，，
又因为，
所以数列的前项由中的前n项和中的前项构成，
所以
.
19．答案：(1)答案见解析
(2)最小值为e，证明见解析
(3)
解析：(1)的定义域为，
，
①当时，恒成立，
在上单调递减.
②当时，当时，，
当时，，
在上单调递减，在上单调递增.
综上可得：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)当时，，
由(1)可知在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以当时，函数的最小值为e，
因为，即，
当时，，
即，
即，
令，则，
所以，
故当时，.
即
(3)关于的不等式在区间上有解，
即在上有解，
即在上有解，
又，由(1)可知时，即，
令，则，
则在上有解，
令，
则，
令，得，
所以，当时，，
当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以存在使得，
所以，当或时，，
当时，，
所以只需，即时满足题意.
所以m的取值范围为
20．答案：(1)是，理由见解析
(2)q的所有可能值为2，，.
(3)证明见解析
解析：(1)因为，
当时，，
当时，也成立，
所以，
所以对任意m，且，，
是“J数列”
(2)因为，，数列是等比数列
所以，且，
由已知得也为数列中的项，
令，得，
即，
即得，
所以，
因为且
故q的所有可能值为2，，8.
(3)设数列的公差为d，
所以存在，对任意，，
即，
当时，则，故，此时数列为“H数列”；
当时，，
取，则，
所以，，
当时，均为正整数，符合题意，
当时，均为正整数，符合题意，
所以，，
设，，，
即，
所以任意m，且，，
显然，
所以为数列中的项，
所以是“H数列”.