浙江省浙南名校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省浙南名校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．直线关于y轴对称的直线的方程为( )
A.B.C.D.
3．在空间直角坐标系中,向量,,则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4．若,为两个不同的平面,m为一条直线,则下列结论正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则与相交D.若,,则
5．已知函数,则函数的图象的对称中心的坐标为( )
A.B.C.D.
6．已知三条直线,,将平面分为六个部分,则满足条件的m的值共有( )
A.1个B.2个C.3个D.无数个
7．已知抛物线过点,圆如图,过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于P,Q,M,N,则的最小值为( )
A.4B.5C.6D.9
8．已知棱长为1的正方体内接于球O,在球O与正方体之间放入一个小正方体,则小正方体的棱长的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查,发现他们的月用电量都在之间,进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出频率分布直方图如图所示,以下选项正确的有( )
A.B.本组样本的众数为250
C.本组样本的第45百分位数是300D.用电量落在区间内的户数为82
10．已知直线,圆,点P为直线l上一点,点Q为圆C上一点,则下列选项正确的是( )
A.直线l恒过定点
B.若圆C关于直线l对称,则
C.若直线l与圆C相切,则
D.当时,取y轴上一点,则的最小值为
11．已知双曲线的左、右焦点分别为,,其一条渐近线为,直线l过点且与双曲线C的右支交于A,B两点,M,N分别为和的内心,则下列选项正确的是( )
A.直线l斜率的取值范围为B.点M与点N的横坐标都为a
C.为直角三角形D.面积的最小值为
三、填空题
12．若A,B为两个相互独立的事件,,,则__________.
13．若函数的图象向右平移个单位后在区间上单调递减,则_____________.
14．已知正四面体的边长为2,点M,N为棱BC,AD的中点,点E,F分别为线段AM,CN上的动点,且满足,则线段EF长度的最小值为_____________.
四、解答题
15．一个不透明的盒子中装有大小和质地相同的5个小球,其中有3个黑球(标号为1、2和3),2个白色球(标号为4和5)若一次性从盒子中取出2个小球.
(1)写出试验的样本空间;
(2)求取出的小球恰好是1个黑球和1个白球的概率.
16．已知圆心在直线上的圆C经过两点和
(1)求圆C的方程;
(2)设点,若圆C上存在点P满足,求实数a的取值范围.
17．如图,四棱锥中,平面,,,,点E为线段的中点.
(1)证明：平面;
(2)若F为线段上一点,且,为何值时,直线与平面所成角的正弦值为?
18．已知直线l是过椭圆上一点的切线.
(1)已知椭圆C的切线l过,求切线l的方程;
(2)求两焦点,到直线l的距离之积;
(3)若圆心在原点的圆与直线l也相切,且与椭圆C相交于点Q,若P,Q都在第一象限,求面积的最大值.
19．在平面直角坐标系xOy中,定义：为,两点之间的“折线距离”.
(1)已知,动点满足,求动点M所围成的图形的面积;
(2)已知Q是直线上的动点,对于任意点,求证：的最小值为
(3)已知E是函数上的动点,F为函数上的动点,求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为集合,,
所以
故选：C.
2．答案：A
解析：直线与两坐标轴的交点分别为和,
因为这两点关于y轴的对称点分别为和,
所以直线关于y轴对称的直线方程为
故选：A.
3．答案：D
解析：因为,,所以,,
则向量在向量上的投影向量为.
故选：D
4．答案：D
解析：若,,不一定成立,也可能相交,故AC错误;
若,则或,故B错误;
若,则必有一直线且,所以,又,所以,故D正确.
故选：D
5．答案：A
解析：因为,
则,
故函数的图象的对称中心的坐标为.
故选：A.
6．答案：C
解析：因为三条直线,,将平面分为六个部分,
所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交,
当三条直线交于一点时,联立可得,此时,即,
当两条平行线与第三条直线相交时,可得或,
所以或
故选：C.
7．答案：A
解析：因为抛物线过点,则,则,
即抛物线的标准方程,焦点坐标,准线方程为;
圆圆心为,半径1,
故直线PQ过抛物线的焦点,设直线PQ的方程为,,;
联立,整理可得,
所以,,
再由焦半径公式可得,,
则
,
所以
;
当且仅当,即时等号成立,
即的最小值为4.
故选：A.
8．答案：C
解析：由题,棱长为1的正方体内接于球O,令球O的半径为R,
则球O的直径即为正方体的体对角线,,所以,
当小正方体的下底面与正方体相接,且上底面的四个顶点均在球面上时,
小正方体的棱长最大,此时小正方体的正中心与球心的连线垂直于正方体的上下底面,
令小正方体的棱长为,
由球心O,小正方体上底面的中心,小正方体上底面的顶点组成的三角形为直角三角形,
有,将代入,解得,
故小正方体的棱长为
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于A,因为,
解得,故A正确;
对于B,样本的众数位于内,但不一定是250,故B错误;
对于C,前2组的频率之和为,前3组的频率之和为,
故第45百分位数位于内,设其为n,
则,解得,故C正确;
对于D,的频率为,
故用电量落在区间内的户数为,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：ACD
解析：对于A,直线k,即,
令,则,解得,,
所以直线|恒过定点,故A正确;
对于B,若圆C关于直线l对称,则直线l过圆心,
所以,解得,故B错误;
对于C,若直线与圆C相切,则圆心到直线的距离等于半径1,
即,解得,故C正确;
对于D,当时,直线,点关于直线l的对称点,
则有,解得,即,
所以的最小值为,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BC
解析：因为双曲线的其一条渐近线为,
故双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为和,
作图可知,
若直线l过点且与双曲线C的右支有两个交点,
则直线l倾斜角的取值范围为,则直线l斜率的取值范围为,故A错误;
设焦距为2c,由题可知,故,
如图,过点M分别作,,的垂线,垂足分别为D,E,H,
易得,,,
因为,所以,
又,得,,
所以,M点横坐标为a,
同理可得N点横坐标也为a,故B正确;
设直线l的倾斜角为,则,
所以,即是直角三角形,故C正确;
易得,则,,
所以,,,
由对勾函数可得,当且仅当时等号成立,则最小为,
所以三角形的面积的最小值为,故D错误.
故选：BC.
12．答案：0.42
解析：因为A,B相互独立,所以与B也相互独立,
又,,
所以,
所以
故答案为:0.42.
13．答案：
解析：函数)的图象向右平移个单位后,
得到,
当时,,
在上单调递减,
,,
,,
又,
故答案为：
14．答案：
解析：在棱长为2的正四面体中,由点M,N为棱BC,AD的中点,得,
由点E,F分别在线段AM,CN上,,令,,则,,
所以
,又,
,,
故
,
当时,,所以线段EF长度的最小值为.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1);
(2)设事件A为取出的小球恰好是1个黑球和1个白球,
则
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)设M,N的中点为点A,则A点坐标为,易知,
则过A点且与直线MN垂直的直线方程为,
解得,
又圆心也在直线上,
联立,解得,
即圆心为,又易知,
因此圆C的方程为;
(2)设,
,,
由题可得,
,,
化简得,
可知点P轨迹是以为圆心,以为半径的圆,
依题意可知圆C与圆有公共点,即,
解得
即实数a的取值范围为
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)取线段中点G,连结,,
,G分别是线段,的中点,
且,
,,
且,
四边形为平行四边形,
,
又平面,平面,
平面;
(2)因为平面,平面,
所以,
如图,以A为原点建立空间直角坐标系.
设直线与平面所成角为,
已知,,,,
则可得,,,,
,,,,
设平面的一个法向量为,
所以,则,令,则,
为线段上一点,且,,
所以,
,
,
解得
18．答案：(1)或
(2)1
(3)
解析：(1)设,
则,
,可得,
则l为或;
(2)证明椭圆切线方程一般形式：
①当切线斜率存在时,设过点的切线方程为,
联立方程,整理得,
由可得,
所以
由韦达定理可知,即,
把代入中,得,
所以,化简得．
②当切线斜率不存在时,过的切线方程为,满足上式．
综上,椭圆上一点的切线方程为．
因为满足,所以直线,
左右焦点,到直线l距离分别为,,
;
(3)①当l斜率不存在时,此时不满足题意;
②当l斜率存在时,设,,,
其中直线,
对于圆,其中,
则,
可得,
,
令,
,
因为,所以由对勾函数性质可得,
则,即面积的最大值为.
19．答案：(1)
(2)证明见解析(3)
解析：(1),
则图形为正方形,其中,,,,,
所以面积为;
(2)当时,
,
当且仅当时取等号,
（由图1,,（图中,,,,与相应坐标轴垂直）,
,,）
当时,
,
当且仅当时取等号;
（由图2,,（图中,,,,与相应坐标轴垂直）,
,）
综上,的最小值为
(3)设,,,
当且仅当时有最小值,
为单调递减函数,
所以.