2024-2025学年山东省枣庄市山亭区九年级(上)期中检测数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省枣庄市山亭区九年级(上)期中检测数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．
1. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥.如图,将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ）
A. 1cmB. 2cm
C. (－1)cmD. (2－1)cm
【答案】D
【解析】由题意，BD=cm，
由平移性质得=1cm，
∴点D，之间的距离为==（）cm，
故选：D．
2. 如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由作图知，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
故选：A．
3. 如图，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点B的对应点B落在DA的延长线上，若AB＝2，BC＝4，则点C与其对应点C的距离为( )

A. 6B. 8C. 2D. 2
【答案】D
【解析】连接AC、AC′，如图，

∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
Rt△ABC中，AC＝，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点B的对应点B落在DA的延长线上，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝90°，AC＝AC′，
∴△ACC′为等腰直角三角形，
∴CC′＝．
故选D．
4. 一元二次方程的解是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】，∴，
∴或，∴，，故选∶B．
5. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A. 2B. C. 2或D.
【答案】A
【解析】是关于的一元二次方程，
，即,由一个根，代入，
可得，解之得； 由得；故选A
6. 3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，
小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为，故选：C．
7. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由图得：，
设直线AD的解析式为：，将点代入得：
，解得：，
∴直线AD的解析式为：，
AD所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当时，x=-1，
∴位似中心的坐标为，
故选：A．
8. 如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、有两边对应边成比例但夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意，
B、，，，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，
C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，，故两三角形相似，不符合题意，
故选：A．
9. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，宽为步，
则可列方程为，
故选：C．
10. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC，
又
四边形MOND的面积是1，
正方形ABCD的面积是4，
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分．
11. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为，则阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】如图所示，根据题意得，正方形，，是对角线，与交于点，过点作直线于，交于，
∵，，，设，则，
∴，
∴，即，解方程得，，
∴，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：．
12. 如图，校园里一片小小的树叶，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为______．
【答案】
【解析】∵P为的黄金分割点（），
∴，即，
解得，，
故答案为：．
13. 若α，β是方程的两个实数根，则的值为_____．
【答案】
【解析】∵α，β是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
则，
故答案为：．
14. 如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为___．
【答案】3
【解析】∵四边形是矩形，
∴
∴,
又
∴，
∴
∴
故答案为：3
15. 如图，若，，，，则长为_______．
【答案】2
【解析】∵，
∴．
∵，
∴，
解得．
故答案为：2．
16. 如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，则的长为_______________．
【答案】
【解析】四边形是矩形，
，
，
，
，
为的中点，
，
是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
为的中点，
．
故答案为：．
三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解下列方程
（1）
（2）
解：（1）
，
，
，
．
（2）可化为，
，
，
，
．
18. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．
【同题解决】如图2，小亮在湖对面P处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A，此时测得小亮到平面镜的距离为4米．已知平面镜到塔底部中心的距离为米，小亮眼睛到地面的距离为米，C，P，B在同一水平直线上，且，均垂直于．请你帮小亮计算出长安塔的高度．
解：由光的反射定律得到：；
∵，均垂直于；
∴；
∴；
∴；
∴；
∴（米）；
答：长安塔的高度是米．
19. 关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数值时，求方程的两个根．
解：（1）由方程可知：
Δ=
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=即：，∴
∴当时，方程有两个不相等的实数根．
（2）∵，∴k的最大整数值为0，
把，代入方程可得方程，
解这个方程得，．
20. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元之间，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．
（1）若y（个）表示这种台灯平均每月的销量，x（元）表示这种台灯的售价，求y与x的函数关系式；
（2）为了实现平均每月12000元的销售利润，求这种台灯的售价应定为多少元．
解：（1）∵这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个
∴
（2）依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去），答：这种台灯的售价应定为60元．
21. 为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．
（1）请补全条形统计图：
（2）填空：______，______；
（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
解：（1）由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统计图如图所示：
（2）由八年级（1）班20名学生成绩统计可得，，
∴，
一共20名学生，中位数应该为第10名与第11名的平均数，
．
（3）八年级（1）班和八年级（3）班的平均成绩相同，但八年级（1）班的中位数和众数都比八年级（3）班高，即八年级（1）班高分段人数较多．因此八年级（1）班成绩较好．
（4）设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示．八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y表示，则随机抽两名学生的所有情况如下：
一共有20种情况．其中两名同学在同一个班级的有共8种，
∴所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率为： ．
22. 如图，在中，点F是的中点，点E是线段延长线上一动点，连接，过点C作的平行线，与线段的延长线交于点D，连接、
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，则在点E的运动过程中：
①当______时，四边形是矩形；
②当______时，四边形是菱形．并在①②中选择一种进行证明．
解：（1），，
点F是的中点，
，
在和中，，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形．
（2）①当时，四边形是矩形，
四边形是矩形，
，
，
，
，
在中，，
，
，
即当时，四边形是矩形．
②当时，四边形是菱形，
四边形是菱形，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
即当时，四边形是菱形．
23. 如图所示，在矩形中，为边上一点，且．
（1）求证：；
（2）为线段延长线上一点，且满足，求证：．
解：（1）在矩形中，，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
（2）连接交于点，如图所示：
在矩形中，，则，
，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
24. 阅读下面材料，回答下列问题：
材料：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以利用根的判别式的方法，如下例：
例：求的最小值；
解：令
∴
∴
∴，∴的最小值为4．
请利用上述方法解决下列问题：
（1）求代数式的最大值；
（2）若关于的的二次三项式（为常数）的最小值为，求的值；
（3）如图1，矩形，，，点是边上一动点，连接，作交于点，设．
①用含的代数式表示的长为______；
②求线段长度的取值范围．
解：（1）令，
∴，
∴，
∴，∴的最大值为．
（2）令，
∴，
∴，
∴，
∵的最小值为，
∴，
解得：；
（3）①∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在矩形中，，，
设，则，
∴，
∴，
②令，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
分数
80
85
90
95
100
人数
3
3
a
b
3
统计量
班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（1）班
95
41.5
八年级（3）班
91
90
265
(1)班 （3）班
A
B
C
X
Y
A
AB
AC
AX
AY
B
BA
BC
BX
BY
C
CA
CB
CX
CY
X
XA
XB
XC
XY
Y
YA
YB
YC
YX