2023-2024学年山东省九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023-2024学年山东省九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共16页。
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列ApBp图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A.该图形是轴对称图形，不符合题意；
B.该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D.该图形是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
3. 在平面直角坐标系中，将绕原点旋转180°，得到的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵绕原点旋转180°，
∴两个点是关于原点对称的，
∴旋转后的坐标为(1，2)，
故选A．
4. 点A，B，C均在上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，
∵，
∴．
故选：C．
5. 将二次函数的图象向上平移三个单位长度，以下结论错误的是（ ）
A. 开口方向不变B. 对称轴不变
C. 随的变化情况不变D. 与轴的交点不变
【答案】D
【解析】∵
∴原函数图象的对称轴为，与y轴的交点为，
∵将二次函数的图象向上平移三个单位长度，
∴平移后的函数解析式为，
∴平移后的函数图象的对称轴为，与y轴的交点为，
∴开口方向不变，对称轴不变，随的变化情况不变，与轴的交点变化，
∴A，B，C选项正确，符合题意；D选项错误，符合题意．
故选：D
6. 已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A. 相离B. 相交
C. 相切D. 相交或相切
【答案】D
【解析】∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
7. 如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）

A. 1.0厘米/分B. 0.8厘米/分
C. 1.2厘米/分D. 1.4厘米/分
【答案】A
【解析】设“图上”圆的圆心为，连接，过点作于，如图所示：

厘米，
（厘米），
厘米，
（厘米），
海平线以下部分的高度（厘米），
太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，
“图上”太阳升起的速度（厘米/分），
故选：A．
8. 已知a，b，c为常数,点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判定
【答案】B
【解析】∵点在第四象限，
∴，
∴，
∴方程的判别式，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
9. 如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若，则的度数是（ ）
A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=125°，
∴∠A=180°－125°=55°，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°－∠A=35°，
故选：C．
10. 如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，
故选：A．
11. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，
∴，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为，
∴当时，，
∴，故②正确；
∵时，，
∴，
∴，即，故③正确；
由函数图象可知，当时，，故④正确；
综上所述，其中正确的结论有①②③④共4个，
故选D．
12. 抛物线与直线交于,两点,若则直线一定经过（ ）
A. 第一、二象限B. 第二、三象限
C. 第三、四象限D. 第一、四象限
【答案】D
【解析】抛物线与直线交于，两点，
，
．
，
∵，
．
当，时，直线经过第一、三、四象限，
当，时，直线经过第一、二、四象限，
综上所述，一定经过一、四象限．
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程________．
【答案】
【解析】第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为．
第二个月新建了个充电桩，
第三个月新建了个充电桩，
第三个月新建了500个充电桩，
于是有，
故答案为．
14. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________．
【答案】；
【解析】∵关于x一元二次方程的一个根为，
∴
解得：，
设原方程的另一个根为，则，
∵
∴
故答案为：．
15. 在平面直角坐标系中，若抛物线不动，而把轴、轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为______．
【答案】
【解析】∵把轴、轴分别向上、向右平移1个单位长度，
∴相当于坐标轴不动，把二次函数向下、向左分别平移1个单位长度，
∴在新坐标系下，抛物线的函数解析式为，
故答案为：．
16. 定义：平面上一点到图形上各点的距离的最小值为.如图，，正方形的边长为2，点为正方形的中心，当正方形绕点旋转时，的取值范围为_________．
【答案】
【解析】如图，连接，过点E作于点E，
根据题意，O为正方形中心，
，
∴，
当点A落在上时，点P到正方形的最小距离为，
当点E落在上时，点到正方形的最小距离为，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共68分）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
解：（1）在方程中，
a=1，b=-4，c=1，
，
，，
所以，原方程的解为，
（2）由原方程得：，
或，解得，，所以，原方程的解为，．
18. 如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上.
（1）在图1中，画出绕着点按顺时针方向旋转后的三角形；
（2）在图2中，画出一个与成中心对称的格点三角形.
解：（1）如图，为所作
（2）如图②为所作：
19. 二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
根据以上列表，回答下列问题：
（1）直接写出c，m的值；
（2）求此二次函数的解析式．
解：（1）根据图表可知：
二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（0，4），（-2，4），
∴对称轴为直线，c=4，
∵（-3，）的对称点为（1，），
∴m=；
（2）∵对称轴是直线x=-1，
∴顶点为（-1，），
设y=a（x+1）2+，
将（0，4）代入y=a（x+1）2+得，
a+=4，
解得a=-，
∴这个二次函数的解析式为y=-（x+1）2+．
20. 某服装店以每件30元价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高元．
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）由题意列方程得：（x＋40-30） （300-10x）＝3360
解得：x1＝2，x2＝18
∵要尽可能减少库存，
∴x2＝18不合题意，故舍去
∴T恤的销售单价应提高2元；
（2）设利润为M元，由题意可得：
M＝（x＋40-30）（300-10x）＝-10x2＋200x＋3000＝
∴当x＝10时，M最大值＝4000元
∴销售单价：40＋10＝50元
∴当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元．
21. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
解：（1）如图，连接，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
22. 已知二次函数．
（1）当时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当时，求的取值范围．
（2）当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．
解：（1）①当时，，
∴顶点坐标为．
②∵顶点坐标为．抛物线开口向下，
当时，随增大而增大，
当时，随增大而减小，
∴当时，有最大值7．
又
∴当时取得最小值，最小值；
∴当时，．
（2）∵时，的最大值为2；时，的最大值为3，
∴抛物线的对称轴在轴的右侧，
∴，
∵抛物线开口向下，时，的最大值为2，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴二次函数的表达式为．
23. 1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，

由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
（2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；

（3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
解：（1）∵，
∴为等边三角形；
∴，，
又，故，
由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，
最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④．
（2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，

∵，
∴，
又∵
∴，
由旋转性质可知：，
∴，
∴最小值为，
（3）∵总的铺设成本
∴当最小时，总的铺设成本最低，
将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知：，，，，∴，∴，
当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，

过点作，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
的最小值为
总的铺设成本（元）
故答案为：
x
…
0
1
…
…
4
4
m
…