2025届安徽省A10联盟高三(上)11月段考数学试卷(解析版)

这是一份2025届安徽省A10联盟高三(上)11月段考数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，， 则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依题意，，则.
故选：D
2. 若，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】由题意得，，
故复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，
故选：.
3. 已知空间向量，，若，则（ ）
A. B. C. 32D.
【答案】D
【解析】由可得，解得，则.
故选：.
4. 若，则（ ）
A. B. 1C. D. 或
【答案】C
【解析】由题意得，，
则.
故选: .
5. “”是“数列为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由“数列为递增数列”，
得，
所以恒成立，所以，
由得，由不一定有，
故“”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.
故选：.
6. 在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点，在中，若，且，则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】设的内角所对的边分别为，
因为，
所以由正弦定所得，
又，所以，
由余弦定理得，
所以，所以顶点为费马点，
故点到各顶点的距离之和为，
故选：.
7. 已知函数若方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】作出图像，
令，则方程有6个不同的实数根等价于有2个不同的实数解，且，
则，解得，
故选：.
8. 已知某圆台的侧面展开图如图所示，其中，若此圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆台的上、下底面圆半径分别为，
由题意得，，，解得.

如图，设圆台的上、下底面圆心分别为，
则圆台的高为.
设球的半径为，球心到点所在的底面的距离为，
则到点所在的底面的距离为，
由题意得，，
解得，
所以球的表面积为.
故选:.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】对于A，，，所以或，而，故，故正确；
对于B，如图，长方体中，，则，故B错误；
对于C，如图，长方体中，，则，故C错误；
对于D，若α//β，，则，而，故，故正确.
故选：AD.
10. 已知平面向量均为单位向量，且，则（ ）
A.
B.
C.
D. 在上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，所以，则，故错误；
对于B，因为，所以，故正确；
对于C，因为，所以，
所以，
则，故C正确；
对于D，因为，，
所以在上的投影向量为，
故正确.
故选：BCD.
11. 已知函数有2个零点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】，
令，，
则，即为偶函数，
当时，，且，
即函数在上单调递增，
所以关于x=1对称，
且在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，解得，故正确，故错误；
由知，，故C错误；
由知，，
令，，
即φx在上单调递减，所以，
所以，故正确.
故选：.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正数满足，则的最小值为________.
【答案】20
【解析】由题意得，，当且仅当，即，时等号成立.
故答案为：20.
13. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则________.
【答案】
【解析】由题意得，，，，，
所以为周期数列，
所以.
14. 已知曲线在点处的切线方程为，且函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意得，，
因为，所以，则，
所以，
所以，解得，
故.
令，解得，解得，
因为在区间上没有零点，所以（），
解得，
因为，所以，解得，
由，得，所以，因为，所以或，
当时，；当时，.
综上所述，实数的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，函数是奇函数，.
（1）求实数的值；
（2）若，使得，求实数的取值范围.
解：（1）因为函数是奇函数，所以，
即，即，解得，
因为，所以.
当时，，此时的定义域为，
关于原点对称，满足题意.
综上，
（2）由题意得，，
由（1）知，，
易得在上单调递增，故.
，
当时，，所以，
所以，
解得，即实数的取值范围为.
16. 在△中，内角的对边分别是，且.
（1）求证：；
（2）若，且是边的中点，求的最小值.
解：（1）设△内角，、、的对边分别是、、.
∵，∴，
整理得，
由正弦定理得.
（2）∵，且是边的中点，∴，
由余弦定理得，，则.
∵，∴，
由，得（当且仅当时等号成立.），
∴，∴，故的最小值为.
17. 已知四棱锥中，°，平面平面，.点分别在线段上，且四点共面，.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
（1）证明：因为平面平面平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，平面，所以.
在△中，，
由，可得，所以，
因为.所以为的中点.
因为°，故//.
因为平面，所以//平面.
因为平面平面，所以//.
所以//，所以为的中点.
又，所以.
（2）解：分别以直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以.
设平面的向量为，则，即
令，则，于是.
因为平面，且∥，所以平面，所以.
由（1）可知，而，平面，所以平面，
所以是平面的一个法向量.
则.
故平面与平面所成角的余弦值为.
18. 已知数列的前项和分别为，其中为等比数列，且.
（1）求数列的前项和；
（2）在（1）的条件下，比较与0.7的大小关系，并说明理由.
解：（1）当时，，则；
当时，；
当时，，
相减得，，整理得，
即，
累加可得，，即，故.
综上所述，.
由可知等比数列的公比不为1，则，解得，
故，解得，则.
由题意得，，
故，
，
故，故
（2）因为，所以，
当时，因为，
所以，
当时，
.
综上所述，.
19. 定义：记函数的导函数为f'x，若f'x在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若f'x在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数.
（1）求证：为区间上的凹函数；
（2）若为区间的凸函数，求实数的取值范围；
（3）求证：当时，.
（1）证明：由题意得，，记f'x的导函数为f″x（下同），
则，所以f'x在区间0,+∞上单调递增，
所以为区间0,+∞上的凹函数.
（2）解：由题意得，，则，
令，则，故.
令，则，
故在上单调递增，故，
则，故，故实数的取值范围为.
（3）解：由题意得，.
当时，，符合题意，
当时，因为，则，则即证，
即证，
设，则，
所以在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，故.
故当时，，即成立.
当时，由（1）知在0,+∞上单调递增，
又，所以，使得，
所以，因为，所以，所以.
i）当时，，即证，
设，则，
所以Fx在上单调递减，
所以.
ii）当时，，即，即证，
设，则，
令，
则，
故在上单调递增，则，
故在上单调递增，则，
则，则在上单调递增，
故当时，.
综上，当时，.