2024-2025学年山东省潍坊市九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年山东省潍坊市九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共6小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选均记0分．）
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
2. 解下列一元二次方程可以直接开平方的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、方程不能直接开平方法求解，故此选项不符合题意；
B、方程可以直接开平方法求解，故此选项符合题意；
C、方程不能直接开平方法求解，故此选项不符合题意；
D、方程，变形得，不能直接开平方法求解，故此选项不符合题意；故选：B．
3. 如图，中，点D，E，F分别在边上，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
∴，
，
故A选项错误，不符合题意；
，
，即，
故B选项正确，符合题意；
，
，
故C选项错误，不符合题意；
，，
，，
，
，
故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
4. 小莹在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是，则原方程的根的情况是（ ）
A. 有一个实数根是
B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】将代入方程得，，解得，
所以a的正确值为，
则原方程为，所以，
所以原方程有两个不相等的实数根，且方程的两个根为：．
故选：D．
5. 如图,在半径为1的中,有一条弦,直径，垂足为E，，则弦的长为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】连接并延长交于点，连接，则：为直径，
∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴为等腰直角三角形，
∴，∴；故选：A．
6. 如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（ ）
A. 20mB. C. D. 10m
【答案】C
【解析】如图，记直径为，过点作于点，
由题意得，，，，与圆相切于点N，
∴，
∴，
，
，
故选：C．
二、多选题（本题共4小题，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选均记0分．）
7.如图，下列条件中，能够判定的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】A、由于，，∴，故该选项符合题意；
B、由于，，∴，故该选项符合题意；
C、不符合相似三角形判定定理，故该选项不符合题意；
D、由，得，又，∴，故该选项符合题意；故选：ABD．
8.将正方体的部分展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，点，落在斜边上，若小正方形的边长为1，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】如图所示，
∵，
．
在中，
，
．
故A选项符合题意．
在中，
，
，
．
故B选项不符合题意．
∵，
，
．
在中，
，
，
则，
．
故C选项符合题意．
在中，，
，
则，
，
．
故D选项不符合题意．
故选：AC．
9.已知等腰三边的长不分别是a，b，13，且a，b是关于x的一元二次方程的两个根，则的周长可能等于（ ）
A. 27B. 34C. 37D. 42
【答案】ACD
【解析】根据题意得
，
∴，
即，，
∵为等腰三角形，
当时，即，
解得：，
∴，
∴三角形三边长度为7、7、13，
周长为；
当时，解得，
∴
此时三角形三边长度为13、13、11，周长为；
当，解得，
∴，
此时三角形三边长度为13、13、16；周长为；
综上，的周长等于27或37或42，
故选：ACD．
10.已知的半径为2，四边形内接于，平分．则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若为直径，则
C.
D. 若，则
【答案】BD
【解析】A．由平分，无法推出，故A不符合题意；
B．若为直径，则，．
平分，
，
，
故为等腰直角三角形，
，故B符合题意；
C．由平分，无法推出，故C不符合题意；
D．连接，，作于点，如图所示，
则．
若，
则，
，，
,
，
由垂径定理可得：，故D符合题意．
故选：BD．
三、填空题（本题共4小题，共16分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分．）
11. 如图，在直角坐标系中与是位似图形，则它们位似中心的坐标是 __________．

【答案】
【解析】如图所示：位似中心点P坐标为0,2．

故答案为：0,2．
12. 由于某品种葡萄的市场需求量不断增加，某葡萄种植基地连年扩大该品种葡萄的种植量，年的产量为20万斤，这三年的总产量为95万斤，若设每年的平均增长率为x，则可以列方程为 ____________________．
【答案】
【解析】根据题意可得，
年的产量为20万斤，年的产量为万斤，
年的产量为万斤，
∵这三年的总产量为95万斤，
∴．
故答案为：．
13. 如图，在圆内接四边形中，，，，，延长，交于点E，则_________________．

【答案】
【解析】∵四边形为圆内接四边形，，
根据圆内接四边形对角互补，可得，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
故．故答案为：．
14. 如图，A，B，C，D均为正方形网格图中的格点,线段与相交于点,则的正切值为_____．
【答案】3
【解析】连接，，如图所示，
令网格的边长为，
则由勾股定理得，
，
．
在中，
．
因为，
所以，
所以．
故答案为：3．
四、解答题（本题共8小题，满分90分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）
15. 解下列方程：
（1） ；
（2）；
（3）．
解：（1），
，
则，
解得；
（2），
，
，
或，
解得，；
（3），
，
或，
解得，．
16. 如图，等边三角形内接于，为的直径．求和的度数．
解：是等边三角形，
，
，
为的直径，
，
．
17. 如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，连接和，，若，，求的长．
解：∵为等边三角形，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
则，
∴，
∴．
18. 如图所示,在中，，是边上的中线,过点D作，垂足为E，若．
（1）求的长；
（2）求的正切值．
解：（1）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
，
∴．
（2）过点A作于点F，如图所示．
∵是边上的中线，∴．
∵，
∴
∴，
∴．
∴，
∴．
∴．
19. 如图，某儿童乐园的场地是长宽分别为，的矩形．儿童乐园进行改造升级，场地也进行扩充，将场地的长、宽增加相同的长度后，新场地仍是一个矩形．
（1）若扩充后的矩形场地面积为，求新的矩形场地的长与宽；
（2）儿童乐园改造升级后，经过调查发现，票价30元/人时游客数为每天500人，票价每提高1元，则游客减少10人，要使得儿童乐园日营业额达到1.6万元，票价应定为多少元？
解：（1）设场地的长、宽增加，则新的矩形场地的长为，宽为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
．
答：新的矩形场地的长为，宽为；
（2）设票价应定为元人，
则游客数为每天人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：．
答：票价应定为40元人．
20. 某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度均为．
（1）求的长；
（2）求长．
解：（1）如图，设交于点、交于点．
根据题意，得，
，
，
设，
，，
，
，
在中利用勾股定理，得，
，
，
的长是；
（2）如上图，连接．
，离地面的高度均为，
，
，，
，
，
在中利用勾股定理，得，
．
21. 如图，某公园中四个景点铺设了游览步道（步道可以骑行），组成一个四边形，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区M，其中休息区M在景点A的南偏西方向米处，景点A在景点B的北偏东方向，景点B和休息区M两地相距米（），景点D分别在休息区M、景点A的正东方向和正南方向．
（1）求步道的长度（结果保留根号）；
（2）小明和小莹骑共享单车到景点A游玩，他们同时从休息区M出发，小明沿路线，速度为每分钟米；小莹沿路线，速度为每分钟米．请通过计算说明，小明和小莹谁先到达景点A．（参考数据：，）
解：（1）由题意得，米，米，
∴，
过点M作于M，则，
∴为等腰直角三角形，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
答：步道的长度为米；
（2）∵米，，，
∴（米），（米），
∴路线②的路程为（米），
∴小莹到达景点A的时间为（分钟），
∵路线①的路程为（米），
∴小明到达景点A的时间为（分钟），
∵，
∴小莹先到达景点A．
22. 如图①，黄金矩形纸片中，，折出一个正方形后，余下的矩形的宽与长的比等于矩形的宽与长的比．
（1）求黄金矩形的宽与长的比；
（2）用黄金矩形纸片进行如下操作（如图②）：
第一步：折出正方形；
第二步：对折正方形，展开，折痕为，连接；
第三步：折叠纸片使落在所在的直线上，发现折痕恰好经过点A，展开，折痕与交于点M；
第四步：过点M作线段，垂足为R．
求证：矩形也是黄金矩形；
（3）如图③，若点G为正方形的边上（不与端点重合）一动点，，连接，折叠纸片使落在上，点F的对应点为点N，折痕交于点M，过点M作线段，垂足为R．当四边形的周长为3时，直接写出矩形的周长．
解：（1）∵四边形为矩形，
，
∵四边形为正方形，，
设，则．
∵矩形的宽与长的比等于矩形的宽与长的比，
∴，
解得： （负数不合题意，舍去），
，
．
∴黄金矩形的宽与长的比；
（2）设，
∵四边形为黄金矩形，
，
∵四边形为正方形，
，
．
，
，
∴，
∴，
，
，
∴．
即矩形的宽与长的比等于黄金比，
∴矩形也是黄金矩形；
（3）矩形的周长为6．
理由：
∵四边形为正方形，，
，，
，
∴四边形为矩形，
，．
设，则，设，则．连接，如图，
由折叠的性质可得：，，
∵四边形的周长为3，
，
，
．
，
，
，
∴，
，
，
，
．
在和中，
，
，
，
，
，
∴矩形的周长．