2025届福建省福州十校高三(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2025届福建省福州十校高三(上)期中数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

1. 若复数(其中是虚数单位)，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，其虚部为2.
故选：B
2. 设集合，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，即，此时，
由，得，而，所以.
故选：A
3. 已知和的夹角为，且，则（ ）
A. B. C. 3D. 9
【答案】C
【解析】
故选：C
4. 设，是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】C
【解析】根据题意，依次分析选项：
对A，若，，，直线可能平行、相交或异面，故错误；
对B，若，，，平面可能相交或平行，故错误；
对C：如图，若，，，过直线作两个平面，，根据线面平行的性质可得可得，则，
因为，，则，又因为，，则，则，故C正确；
对D，若，，，则，故D错误.
故选：C.
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，解得，
所以.
故选：B.
6. 设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令椭圆半焦距为c，依题意，，由，得，
则，而点在椭圆上，于是，解得，
所以的离心率为.
故选：A
7. 已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A. 函数的对称轴为B. 函数为偶函数
C. 函数在区间上单调递增D. 的最小值为
【答案】A
【解析】
对于A:令，得， 故A错误；
对于B：偶函数，故B正确；
对于C：，， 单调递增，故C正确；
对于D：的最小值为-2，故D正确.
故选：A.
8. 已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】记，则
所以所求解不等式为，
，是奇函数
在上是增函数
由得
，化简得，
所以的取值范围是，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60
B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
C. 若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大
D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16
【答案】AD
【解析】对于A，由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数据的总和为，A正确；
对于B，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数，
从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于，
故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即，
所以第70百分位数是23.5，故B错误；
对于C，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，
设此时这9个数的平均数为，方差为，
则，故C错误．
对于D，样本数据，，，的标准差为8，故数据，，，的标准差为，故D正确；
故选：AD．
10. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与所成的角的大小为
B. 直线平面
C. 平面平面
D. 四面体外接球的体积与正方体的体积之比为
【答案】ABD
【解析】对于A：连接，如图，由正方体的结构特征知，，
即为正三角形．又因为分别为的中点，则，
因此直线与所成的角即为直线与所成的角，即或其补角，
又，所以直线与所成的角的大小为，A正确；
对于B：因为，所以平面平面，
故直线平面，B正确；
对于C：取的中点为，连接，显然的中点为，则，
假设平面平面，而平面平面，
于是平面，又平面，则，与矛盾，C错误；
对于D：不妨设正方体的棱长为，则正方体的体积为，又因为四面体
的三条侧棱两两垂直，则它的外接球即为以为棱的长方体的外接球，
于是球的直径，
体积为，于是，D正确，
故选：ABD．
11. 已知定义域在上的函数满足以下条件：①对于任意的x，，；②；③，其中k是正常数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 是偶函数D.
【答案】ACD
【解析】对于A，令，可得，由可得，A正确；
对于B，令，可得，所以，B错误；
对于C，令，可得，所以，C正确；
对于D，将代入x，将k代入y，可得，D正确.
故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知函数，则________.
【答案】
【解析】因为，所以.
13. 已知点，抛物线的焦点为，线段与抛物线交于点，则_________________.
【答案】
【解析】易知抛物线的焦点为，线段的方程为，
联立，解得，即点，
由抛物线的定义可得.
14. 已知数列为公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，则__________.设表示不超过的最大整数，如，，记，为数列的前项和，则__________．
【答案】
【解析】由数列是等差数列，设其公差为，
因为，，成等比数列，
所以，即，
解得或，
因为，所以，
所以，则；
当时，，
即，共有个，
因为，
所以
，
令，
则，
两式相减得，则，
所以.
故答案为：；.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记的内角，，的对边分别为，，，的面积为.已知.
（1）求；
（2）若点在边上，且，，求的周长.
解：（1）由，则，
又B∈0,π，故.
（2）由（1）可知，，又，则；
由题可知，，
故，
所以，
因为，所以，，
在中，，
故的周长为.
16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，点、为分别为、的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：取的中点，连接，
因为点、E分别为、中点，
所以是的中位线
所以且，
又因为为的中点，可得且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，且平面，所以平面．
（2）解：取的中点，连结，
因为，可得，且，
又因为，且，
所以，所以，
又因为，且平面，所以平面，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，
因为为的中点，为的中点，可得，
则，
设是平面的法向量，则，
取，可得，所以，
设是平面的法向量，则，
取，可得，所以；
设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
17. 已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求使取得最大值时的n的值.
解：（1）由，可得：
两式相减得：
即，，
又因为且，所以，所以，
综上，，，
所以为首项和公比均为的等比数列.
（2）由（1）可得，所以，时，
由，可得；
故当，，
当时，
因此
即，
综上，或时，的取得最大值.
18. 已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间和极值；
（3）若对任意，有恒成立，求的取值范围．
解：（1）当时，，
则，，，
所以切线方程为．
（2）当时，，．
令，，
故在R上单调递减，而，因此0是在R上的唯一零点
即：0是在R上的唯一零点
当x变化时，，变化情况如下表：
的单调递减区间为：；递增区间为：
的极大值为，无极小值
（3）由题意知，即，即，
设，则，
令，解得，当，，单调递增，
当，，单调递减，
所以，所以
19. 已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．
（1）求椭圆的标准方程：
（2）设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．
（i）若点，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，若，求点的坐标：
（ii）若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）．
解：（1）由题意得，又，解得，
椭圆的标准方程为
（2）（i）由（1）可得，
连接，因为，，
所以，
，
，所以，
所以直线的方程为，联立，
解得或（舍去），.
（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为：，
又，A-2,0，直线的方程为，
由，解得，
所以，
由，得，
由，
则，所以，
则，，
依题意、不重合，所以，即，
所以，
直线的方程为，
令即，解得，
，
，
为定值.
x
0
0
极大值