2025届河南省南阳市高三(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2025届河南省南阳市高三(上)期中数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，即，∴，故
∴.
故选：B.
2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，
则.
故选：D.
3. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】的定义域为R.
是偶函数，排除D；
又，排除A；
当时，，，
，
在上单调递增，排除C．
故选：B．
4. 已知平面向量，满足，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由及，得，则，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C
5. 《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（ ）
A. 11B. 13C. 14D. 16
【答案】A
【解析】记这位公公的第n个儿子的年龄为，则数列为等差数列，公差，
，解得，
∴，
故选：A.
6. 已知数列为等比数列，均为正整数，设甲：；乙：，则（ ）
A. 甲是乙的充分不必要条件
B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】设数列的公比为，首项为，
若，则，即，满足必要性；
当时，对任意正整数均有，不满足充分性，
所以甲是乙的必要不充分条件，
故选：B.
7. 在锐角中，已知，则，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】由，可得，
因为为锐角三角形，所以，所以，
因为，所以，
则，从而，
由，可得
当时，与均属于，
因为函数在上递减，且，
所以，即，
所以，
即，所以，
又在上递增，所以；
当时，，则，
即，所以，
又在上递增，所以；
综上所述，.
故选：A.
8. 已知函数是定义在上的连续可导函数，且满足①，②为奇函数，令，则下列说法错误的是（ ）
A. 的图象关于对称B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，因，则，
由，
因，
故，
则得的图象关于对称，故A正确；
对于B，由A项已得的图象关于对称，则，
由，可得，则，故B正确；
对于C，因为奇函数，故也是奇函数，图象关于对称，
因的图象关于对称，故函数的周期为，
又，则，解得，故C错误；
对于D，因为奇函数，且周期为，则，
由，因，
故，即函数为偶函数；
由，可得，
因的周期为，则，求导得，
即函数的周期为.
于是，，
故得，即D正确.
故选：C.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知，，且，则（ ）
A. 的最大值为B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】∵∴，即，当且仅当时取等号，故A选项错误；
∵，∴，当且仅当时取等号，故B选项正确；
∵，∴，
∴，故C选项正确；
∵且，∴，∴，
∵，∴，故D选项正确.
故选：BCD
10. 已知函数，则（ ）
A. 存在实数，使得的图象关于点对称
B. 当时，的极值之和为
C. 存在实数，，使得有三个零点
D. 当时，有两个零点
【答案】AC
【解析】，
当时，则，
故存在实数，使得的图象关于点0,2对称，A正确，
当时，，当或时，f'x>0，
当，
故分别是的极大值点和极小值点，故的极值之和为，故B错误，
由于，故令，
此时有三个零点，故C正确，
，当时，此时，此时f'x≥0，
故单调递增，此时至多只有一个零点，故D错误，
故选：AC
11. 已知函数fx=2sinωx+φω>0,0<φ<π2图象的任意一个对称中心到与之相邻的对称轴的距离为，且将该图象向左平移个单位长度得到的图象关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A. ，
B. 直线为的图象的一条对称轴
C. 若在单调递增，则的最大值为
D. 对任意，关于的方程总有奇数个不同的根
【答案】ABD
【解析】A.由题意可知，，得，，
函数的图象向左平移个单位长度得到函数，
因为函数的图象关于轴对称，所以,
得，因为，所以，
所以，故A正确；
B.当时，，所以直线为的图象的一条对称轴，故B正确；
C当时，，
由题意可知，，
，，得，，只有当有解，
得，所以的最大值为，故C错误；
D.，所以函数关于对称，而也关于对称，
所以两个函数图象必有一个交点，若有其他交点，交点也关于对称，
所以交点个数是奇数个，方程总有奇数个不同的根，故D正确.

故选：ABD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 等比数列的前项和为，若，，则______.
【答案】63
【解析】，
∴，
∴，
∴.
故答案为：
13. 若函数在区间上单调递减，则实数的最小值为______.
【答案】0
【解析】由题意，可知在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
因在上为增函数，故，
故得，即实数的最小值为0.
故答案为：0.
14. 若在恒成立，则实数的取值范围是______.（用区间表示）
【答案】
【解析】因在x∈0,+∞恒成立，则在x∈0,+∞恒成立，
设，则，
设，则x∈0,+∞上恒成立，
即在上单调递增.
又
则存在，使，即（*）.
当时，，则，故在上单调递减；
当时，，则，故在上单调递增.
故.
又由（*），可得，
设，则得.
由可得在上单调递增，故得，
即，
于是，
故得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在中，内角，，的对边分别为，，，.
（1）求；
（2）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
解：（1）在中，由及由正弦定理得，
由余弦定理得，而，
所以.
（3）选条件①，由，，得，与矛盾，
此时不存在，即条件①不符合要求，不选①；
选条件②，由（1）知，由，得，
由余弦定理得，即，而，解得，
所以的面积为.
选条件③，由，得，
在中，由正弦定理得，则，
又，
所以的面积为.
16. 设数列是首项为1的等比数列，已知成等差数列，数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记和分别为数列和前项和，证明：.
（1）解：因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，设的公比为，
由，可得，解得：或（舍去）.
故，.
（2）证明：由（1）可得.
数列bn的前项和，①
则.②
由①②得
，
即.
由，
可得，得证.
17. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若关于的方程在区间上恰有两个不等实根，求实数的取值范围.
解：（1）函数
，
函数的最小正周期.
由，，得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）由（1）得，由，
得，由，得，
由，得，函数在上单调递增，函数值从增大到2，
由，得，在上单调递减，函数值从2减小到1，
依题意，在上恰有两个不等实根，
则直线与在上的图象有两个交点，则，
所以实数的取值范围是.

18. 已知函数.
（1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）若函数有极大值，且极大值不大于0.
①求实数的取值范围；
②求证：
解：（1）的定义域为，.
因为函数在处的切线与直线垂直，
所以，解得：.
（2）.
①当时，，所以函数在上单调递减，所以无极值；
当时，令得：；
令得：.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为.
因为极大值不大于0，所以.
因为，所以.
记，，则，
所以在上单调递增.
而，所以由可解得.
即实数的取值范围为.
②记数列的通项公式为，则为数列的前项和；
数列的前项和，即.
所以当时，；
当时，；
经检验，对也成立，
所以.
由①知：当时，所以当时，有，
即（当且仅当时等号成立）.
所以取，则有，即.
当依次取，则有：，，…，，
累加得：，即.
19. 对于数列，若，使得都有成立，则称数列为“数列”.已知为“数列”，，，，设函数.
（1）求，，的值；
（2）若函数在区间上无极值点，求的取值范围；
（3）求数列的通项公式，并求其前项和.
解：（1）依题意，，而，，，
所以；；.
（2）二次函数图象的对称轴为，
由函数在区间上无极值点，得或，解得：或，
所以的取值范围为.
（3）由，得，
即，
令，则，，，
令，则，又，
因此数列是以为首项，为公比的等比数列，，
则，即，数列是首项为，公差为的等差数列，
，则，
所以；
当为偶数时，；
当为奇数时，.
所以.