2025届江西省九校联考高三(上)11月期中数学试卷(解析版)
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这是一份2025届江西省九校联考高三(上)11月期中数学试卷(解析版),共12页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合,,则=( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】故,
故,
故选:B.
2. 如图,在复平面内,复数z对应的点为P,则复数的虚部为( )
A. 45B.
C. D.
【答案】C
【解析】由图得,则,
所以,虚部为.
故选:C
3. 设等差数列的前n项和为,若,则的值为( )
A. 4B. C. 1D.
【答案】D
【解析】由题设,则,又,
所以,易知的公差,故,
所以.
故选:D
4. 已知,则a,b,c的大小顺序为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】,,,则.
故选:A
5. 已知,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为,所以,
故,即是奇函数,
若,可得,故,
可得,故充分性成立,
令,,此时满足,
但不满足,故必要性不成立,故A正确.
故选:A
6. 已知α为锐角,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由,
因为锐角,,
所以.
故选:B
7. 已知函数有两个零点,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函数有两个零点,,
所以与的两个交点横坐标分别为,
结合图象知,,且,
则,
令,则,
又在区间0,1上单调递减,,
故选:B
8. 若函数定义域为,且为偶函数,关于点成中心对称,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由f2x+1偶函数,知的图象关于直线对称,
因图象关于点2,3成中心对称,则①,且,
所以
,
所以是周期为的周期函数.
令代入①,可得,而,
所以,
综上,.
故选:C
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 已知点P是的中线BD上一点(不包含端点),且,则下列说法正确的是( )
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为15D. 的最小值是9
【答案】ACD
【解析】因为,则,又,,共线,所以,A正确;
由,则,则,当且仅当时取等号,B错误;
由,当时有最小值,C正确;
因为,
当且仅当,即时,等号成立,D正确.
故选:ACD
10. 关于函数,则下列命题正确的有( )
A. 是偶函数B. 的值域是
C. 在上单调递增D. 都是的极值点
【答案】BC
【解析】对于A,,
所以函数是奇函数,所以A不正确.
对于B,因为函数在上连续,
且当时,,所以的值域是,所以B正确;
对于C,由,当,,
所以在单调递增,所以C正确.
对于D,,因为,
当时,,所以在单调递增,
当时,,所以在单调递增,所以不是函数的极值点,所以D不正确.
故选:BC
11. 已知是各项均为正数的无穷数列,其前n项和为,且 ,则下列结论正确的有( )
A.
B. 任意的,
C. 存在,使得
D. 数列有最大值,无最小值
【答案】ABD
【解析】令,则,所以,
令,得,又,可得,A正确;
由,,所以,C错误,
由,且,B正确,
由,得,所以
,即,
所以随的增大而减小,故为正项单调递减的无穷数列,且,
故数列有最大值2,无最小值,D正确;
故选:ABD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12 已知向量,若,则___________.
【答案】
【解析】由题设.
13. 在中,角所对的边分别为,且满足,若的中线,且,则的面积为_________.
【答案】
【解析】由,得,
即,因为,所以,
因为,所以,
由,两边平方,
所以,则.
14. 已知函数 ,若存在实数且,使得 ,则的最大值为__________.
【答案】
【解析】根据题意作函数的图象,如图所示,
令,解得或,
令,解得或或,
由题意可知:与有三个交点,则,
此时由二次函数对称性知,
令,可得,
则,
令,则,
可知在内单调递增,则的最大值为,
所以的最大值为.
故答案为:.
四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若存在极值M,求证:.
解:(1)由题设,
当时,恒成立,故的增区间为,无减区间;
当时,令,得,故上,上,
所以的减区间为,增区间为.
(2)由(1)知,当时,在上单增,没有极值;
当时,在上单减,在上单增,
存在极小值
令,则,
所以在上单调递增,在上单调递减,在时取最大值0,
所以恒成立,即.
16. 已知各项全不为零的数列的前n项和为,且,其中 .
(1)求数列的通项公式;
(2)令,设数列的前n项和为,求证: .
解:(1)当时,由及,得,
当时,由,得,
因为,所以,
从而,,,
综上.
(2)由,则,又,
所以,
.
17. 已知向量,函数.
(1)求的单调递减区间;
(2)将的图象向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象.若函数的图象与 的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列,求t的值.
解:(1)由题设,
令,,可得,,
所以单调递减区间为,;
(2)由y=fx图象向左平移个单位,得,
将图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),则,
所以图象如下,
由图知,,令横坐标由小到大依次为,
由题意,可得,所以.
18. 已知函数
(1)求函数图象上点到直线的最短距离;
(2)若函数与的图象存在公切线,求正实数a的最小值;
(3)若恒成立,求a的取值范围.
解:(1)设与平行且与相切的直线,与的切点为,
由题设,令,知,则M到直线的距离最短,
所以.
(2)设点是公切线在上的切点,则,
则切线方程为,即,
设点是公切线在上的切点,则,
则切线方程为,即,
综上,,,消去得,
设函数,则,
所以时,,单调递增,
时,,单调递减,
所以最大值为,则,即,
所以,实数a的最小值为.
(3)由,从而恒成立,
设,则,
设,则,则在上递减且,
当时,,即单调递增;
当时,,即,单调递减;
所以得最大值为,则的取值范围是.
19. 对于由有限个自然数组成的集合A,定义集合,记集合的元素个数为.定义变换T,变换T将集合A变换为集合
(1)若,求;
(2)若集合A 有n个元素,证明:的充要条件是集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列;
(3)若且{1,2,3,...,25,26},求元素个数最少的集合A.
解:(1)若集合,则,;
(2)令,不妨设.
充分性:设是公差为的等差数列,
则,,且.
所以共有个不同的值,即,
必要性:若,
因为,,
所以中有个不同的元素,,…,,,,…,,
任意的值都与上述某一项相等,
又,且,.
所以,所以是等差数列,且公差不为0.
(3)首先证明:.
假设,中的元素均大于1,从而,
因此,,故,
与矛盾,因此,
设的元素个数为,的元素个数至多为,从而的元素个数至多为.
若,则元素个数至多为5,从而的元素个数至多为,而中元素至少为26,因此,
假设A有三个元素,设,且,
则1,2,,,,,,,,
从而.
若,中比4大的最小数为,则与题意矛盾,故.
集合中最大数为,由于,故,从而,
(ⅰ)若,且,此时1,2,,,8,9,,,,有,,
在22与28之间可能的数为,,此时23,24,25,26不能全在中,不满足题意
(ⅱ)若,且,此时1,2,,,8,9,,,,有,
若,则或,解得或,
当时,,不满足题意.
当时,,且满足题意.
故元素个数最少的集合A为.