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    2025届江西省九校联考高三(上)11月期中数学试卷(解析版)

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    2025届江西省九校联考高三(上)11月期中数学试卷(解析版)

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    这是一份2025届江西省九校联考高三(上)11月期中数学试卷(解析版),共12页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 设集合,,则=( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】故,
    故,
    故选:B.
    2. 如图,在复平面内,复数z对应的点为P,则复数的虚部为( )
    A. 45B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】由图得,则,
    所以,虚部为.
    故选:C
    3. 设等差数列的前n项和为,若,则的值为( )
    A. 4B. C. 1D.
    【答案】D
    【解析】由题设,则,又,
    所以,易知的公差,故,
    所以.
    故选:D
    4. 已知,则a,b,c的大小顺序为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】,,,则.
    故选:A
    5. 已知,则“”是“”的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【解析】因为,所以,
    故,即是奇函数,
    若,可得,故,
    可得,故充分性成立,
    令,,此时满足,
    但不满足,故必要性不成立,故A正确.
    故选:A
    6. 已知α为锐角,且,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】由,
    因为锐角,,
    所以.
    故选:B
    7. 已知函数有两个零点,则的取值范围是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】由函数有两个零点,,
    所以与的两个交点横坐标分别为,
    结合图象知,,且,
    则,
    令,则,
    又在区间0,1上单调递减,,
    故选:B
    8. 若函数定义域为,且为偶函数,关于点成中心对称,则的值是( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】由f2x+1偶函数,知的图象关于直线对称,
    因图象关于点2,3成中心对称,则①,且,
    所以

    所以是周期为的周期函数.
    令代入①,可得,而,
    所以,
    综上,.
    故选:C
    二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9. 已知点P是的中线BD上一点(不包含端点),且,则下列说法正确的是( )
    A. B. 的最大值为
    C. 的最小值为15D. 的最小值是9
    【答案】ACD
    【解析】因为,则,又,,共线,所以,A正确;
    由,则,则,当且仅当时取等号,B错误;
    由,当时有最小值,C正确;
    因为,
    当且仅当,即时,等号成立,D正确.
    故选:ACD
    10. 关于函数,则下列命题正确的有( )
    A. 是偶函数B. 的值域是
    C. 在上单调递增D. 都是的极值点
    【答案】BC
    【解析】对于A,,
    所以函数是奇函数,所以A不正确.
    对于B,因为函数在上连续,
    且当时,,所以的值域是,所以B正确;
    对于C,由,当,,
    所以在单调递增,所以C正确.
    对于D,,因为,
    当时,,所以在单调递增,
    当时,,所以在单调递增,所以不是函数的极值点,所以D不正确.
    故选:BC
    11. 已知是各项均为正数的无穷数列,其前n项和为,且 ,则下列结论正确的有( )
    A.
    B. 任意的,
    C. 存在,使得
    D. 数列有最大值,无最小值
    【答案】ABD
    【解析】令,则,所以,
    令,得,又,可得,A正确;
    由,,所以,C错误,
    由,且,B正确,
    由,得,所以
    ,即,
    所以随的增大而减小,故为正项单调递减的无穷数列,且,
    故数列有最大值2,无最小值,D正确;
    故选:ABD
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12 已知向量,若,则___________.
    【答案】
    【解析】由题设.
    13. 在中,角所对的边分别为,且满足,若的中线,且,则的面积为_________.
    【答案】
    【解析】由,得,
    即,因为,所以,
    因为,所以,
    由,两边平方,
    所以,则.
    14. 已知函数 ,若存在实数且,使得 ,则的最大值为__________.
    【答案】
    【解析】根据题意作函数的图象,如图所示,
    令,解得或,
    令,解得或或,
    由题意可知:与有三个交点,则,
    此时由二次函数对称性知,
    令,可得,
    则,
    令,则,
    可知在内单调递增,则的最大值为,
    所以的最大值为.
    故答案为:.
    四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. 设函数.
    (1)求的单调区间;
    (2)若存在极值M,求证:.
    解:(1)由题设,
    当时,恒成立,故的增区间为,无减区间;
    当时,令,得,故上,上,
    所以的减区间为,增区间为.
    (2)由(1)知,当时,在上单增,没有极值;
    当时,在上单减,在上单增,
    存在极小值
    令,则,
    所以在上单调递增,在上单调递减,在时取最大值0,
    所以恒成立,即.
    16. 已知各项全不为零的数列的前n项和为,且,其中 .
    (1)求数列的通项公式;
    (2)令,设数列的前n项和为,求证: .
    解:(1)当时,由及,得,
    当时,由,得,
    因为,所以,
    从而,,,
    综上.
    (2)由,则,又,
    所以,
    .
    17. 已知向量,函数.
    (1)求的单调递减区间;
    (2)将的图象向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象.若函数的图象与 的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列,求t的值.
    解:(1)由题设,
    令,,可得,,
    所以单调递减区间为,;
    (2)由y=fx图象向左平移个单位,得,
    将图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),则,
    所以图象如下,
    由图知,,令横坐标由小到大依次为,
    由题意,可得,所以.
    18. 已知函数
    (1)求函数图象上点到直线的最短距离;
    (2)若函数与的图象存在公切线,求正实数a的最小值;
    (3)若恒成立,求a的取值范围.
    解:(1)设与平行且与相切的直线,与的切点为,
    由题设,令,知,则M到直线的距离最短,
    所以.
    (2)设点是公切线在上的切点,则,
    则切线方程为,即,
    设点是公切线在上的切点,则,
    则切线方程为,即,
    综上,,,消去得,
    设函数,则,
    所以时,,单调递增,
    时,,单调递减,
    所以最大值为,则,即,
    所以,实数a的最小值为.
    (3)由,从而恒成立,
    设,则,
    设,则,则在上递减且,
    当时,,即单调递增;
    当时,,即,单调递减;
    所以得最大值为,则的取值范围是.
    19. 对于由有限个自然数组成的集合A,定义集合,记集合的元素个数为.定义变换T,变换T将集合A变换为集合
    (1)若,求;
    (2)若集合A 有n个元素,证明:的充要条件是集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列;
    (3)若且{1,2,3,...,25,26},求元素个数最少的集合A.
    解:(1)若集合,则,;
    (2)令,不妨设.
    充分性:设是公差为的等差数列,
    则,,且.
    所以共有个不同的值,即,
    必要性:若,
    因为,,
    所以中有个不同的元素,,…,,,,…,,
    任意的值都与上述某一项相等,
    又,且,.
    所以,所以是等差数列,且公差不为0.
    (3)首先证明:.
    假设,中的元素均大于1,从而,
    因此,,故,
    与矛盾,因此,
    设的元素个数为,的元素个数至多为,从而的元素个数至多为.
    若,则元素个数至多为5,从而的元素个数至多为,而中元素至少为26,因此,
    假设A有三个元素,设,且,
    则1,2,,,,,,,,
    从而.
    若,中比4大的最小数为,则与题意矛盾,故.
    集合中最大数为,由于,故,从而,
    (ⅰ)若,且,此时1,2,,,8,9,,,,有,,
    在22与28之间可能的数为,,此时23,24,25,26不能全在中,不满足题意
    (ⅱ)若,且,此时1,2,,,8,9,,,,有,
    若,则或,解得或,
    当时,,不满足题意.
    当时,,且满足题意.
    故元素个数最少的集合A为.

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