天津市北辰区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题

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一. 选择题：1.B 2. C 3. C 4. D 5. A 6. C 7. B 8. D 9. B
二. 选择题： 10．6 11．42 12．
13．或x+y−2=0 14．16−a2 15．-9或11
三．解答题：
16.（本题满分12分）
解：（1）由题意可得，圆心为，半径为2，（1分）
则圆的方程为； （2分）
（2）由（1）可知：圆的半径，
设圆心到的距离为，则，（3分）
所以. （5分）
（3）当斜率不存在时，为过点的圆C的切线. （7分）
当斜率存在时，设切线方程为y+4=kx−4，
即kx−y−4−4k=0 （8分）
d=4+2k1+k2=2，解得k=−34 （10分）
所以3x+4y+4=0 （11分）
综上所述：切线的方程为和3x+4y+4=0. （12分）
17.（本题满分12分）
【详解】（1）因为平面，，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，， （1分）
所以，，，（2分）
所以，， （3分）
所以，，即，，（4分）
又，平面，所以平面（5分）
（2）因为，，设平面的法向量为，
则，取， （6分）
又平面的法向量可以为，
设平面与平面的夹角为，
则， （8分）
所以平面与平面夹角的余弦值为. （9分）
，
CE=221，BC=4 （10分）
CB∙CECE=821 （11分）
点到直线EC的距离d=42−8221=435721. （12分）
18.（本题满分12分）
解：（1）依题意，，则， （1分）
由短轴长是焦距的倍，则，又故，（2分）
于是，
故椭圆的标准方程为：； （3分）
由（1）知，，故该直线为：， （4分）
和椭圆联立：，整理可得，
故， （5分）
由弦长公式，（6分）
显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，，与题设矛盾），
（7分）
设Ax1,y1,Bx2,y2,直线为：，和椭圆方程联立得，， （8分）
，则，故， （9分）
由韦达定理可得：，，
于是，， （10分）
故，
即，化简可得，解得...（11分）
故直线为： （12分）
19.（本题满分12分）
解：（1）取中点，连接，如下图所示：
因为为中点，所以，又因为平面，平面，
所以平面， （1分）
因为为中点，为中点，
所以，所以，又因为平面，平面，
所以平面，
又因为，平面，所以平面平面，
（2分）
又因为平面，所以平面. （3分）
∵平面PAC⊥平面，平面PAC∩平面=AC,PA⊥AC,PA⊂平面PAC
∴PA⊥平面PAC. （4分）
∵AB⊂平面∴PA⊥AB又则以A为坐标原点,建立如下图所示的空间直角坐标系，又， （5分）
所以，
设平面一个法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，
（6分）
设直线与平面所成角为，
所以， （7分）
所以直线与平面所成角的正弦值为. （8分）
（3）设，且，
所以， （9分）
所以， （10分）
解得， （11分）
所以. （12分）
20.（本题满分12分）
解：【详解】（1）因为2a2+32b2=1e=ca=12a2=b2+（3分）
所以，，
所以椭圆方程为；（4分）
（2）①设直线，
由，得（5分）
设，，，，所以
，
所以，
因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，（6分）
所以，所以，
即，所以，（7分）
因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点．（8分）
②由①知，，
且，即，
又
（10分）
令，则，
（11分）
（当且仅当时取“=”） ．（12分）