山东省潍坊市2025届高三期中阶段性调研监测考试数学试题+答案

这是一份山东省潍坊市2025届高三期中阶段性调研监测考试数学试题+答案，共12页。试卷主要包含了11，已知集合，则，如图，是圆上的三点，且，则，已知定义在上的函数满足，且，则，已知，则等内容，欢迎下载使用。

数学试题
2024.11
注意事项：
1､答题前､考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的准考证号､姓名.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题“所有能被3整除的整数都是质数”的否定是（ ）
A.存在一个能被3整除的整数不是质数
B.所有能被3整除的整数都不是质数
C.存在一个能被3整除的整数是质数
D.不能被3整除的整数不是质数
3.已知等差数列的前项和为，若，则的公差等于（ ）
A. B. C.1 D.2
4.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品浓度随时间的变化关系为，则的最大值为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.5
5.如图，是圆上的三点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知一个圆锥的底面圆半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A.2 B.0 C. D.
8.已知函数，甲､乙､丙､丁四位同学各说出了这个函数的一条结论：
甲：函数的图象关于对称；
乙：函数在上单调递增；
丙：函数在区间上有3个零点；
丁：函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称.
若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
二､多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线是平面外两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
11.设函数，则（ ）
A.存在实数，使得为偶函数
B.函数的图象关于对称
C.当时，
D.当时，函数在上单调递增
三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量满足，则__________.
13.已知点在函数的图象上，则曲线在点处的切线方程为__________.
14.已知数列满足，且对于任意，都存在，使得，则的所有可能取值构成的集合__________；若的各项均不相等，把半径为（单位：）的三个小球放入一个正方体容器（容器壁厚度忽略不计），则该正方体容器的棱长最小值为__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
记的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求的面积.
16.（15分）
已知数列的前项和为，且.
（1）求；
（2）设，若数列的最小项为，求.
17.（15分）
如图，已知平行六面体的底面是菱形，.
（1）证明：；
（2）若，点在平面内，且平面，求与平面所成角的正弦值.
18.（17分）
已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）.
（i）当时，求的最小值；
（ii）若在上恒成立，求的取值范围.
19.（17分）
已知为定义域内的连续函数，为其导函数，常数，若各项不相等的数列满足，则称为的“拉格朗日数列”，简记为“数列”.
（1）若函数，数列是的“数列”，且.
（i）求；
（ii）证明：是递减数列；
（2）正项数列是函数的“数列”，已知，记的前项和为，证明：时，.
高三阶段性调研监测考试 数学试题参考答案及评分标准
2024. 11
一、单项选择题 (每小题 5 分, 共 40 分)
1-4CABD5-8ADCC
二、多项选择题 (每小题 6 分, 共 18 分)
9. BCD 10. AC 11. AD
三、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
12. π4 13. y=2x-2π8 14. 5,9,13 143+33
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分)
15. 解:(1) 由正弦定理得
3sinAsinC-sinC=sinCcsA, 2 分
因为 sinC≠0 ,
所以 3sinA-csA=1 ,
化简得 2sinA-π6=1 ,
所以 sinA-π6=12 , 4 分
因为 -π6所以 A-π6=π6 ,
所以 A=π3 ; 6 分
(2)由余弦定理得 21=b2+c2-2bccsπ3 , 8 分
所以 b2+c2-bc=21 , 9 分
所以 b+c2-3bc=21 ,
因为 b+c=6 ,
所以 bc=5 , 11 分
所以 12bcsinA=534 ,
所以 △ABC 的面积为 534 . 13 分
16. 解: (1) 因为 a1+a222-1+a323-1+⋯+an2n-1=2n-1 ,①
当 n=1 时, a1=1 . 2 分
当 n≥2 时, a1+a222-1+a323-1+⋯+an-12n-1-1=2n-1-1 ,②
① - ②得 an2n-1=2n-1 , 4 分
所以 an=2n-12n-1=22n-1-2n-1 ,当 n=1 时满足上式,
所以 an=22n-1-2n-1 , 6 分
所以 Sn=21-4n1-4-1-2n1-2=22n+13-2n+13 ; 8 分
(2) 因为 bn=3Sn+642n=22n+1-3×2n+1+642n=2n+1+652n-3 , 9 分
所以 bn+1-bn=2n+2+652n+1-3-2n+1+652n-3=2n+1-652n+1 , 12 分
令 2n+1-652n+1>0 ,
得 22n+2>65 ,得 n≥3 , 13 分
所以 b3b2>b3 ,
所以 m=3 . 15 分
17. (1)证明:因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD , 1 分
连接 A1B,A1D ,
因为 ∠A1AB=∠A1AD,AA1=AA1 ,所以 △AA1B≅△AA1D ,所以 A1B=A1D , 3 分
因为 O 为 BD 的中点,所以 A1O⊥BD , 5 分
因为 AC∩A1O=O ,且 AC,A1O⊂ 平面 ACC1A1 ,所以 BD⊥ 平面 ACC1A1 ,
因为 AA1⊂ 平面 ACC1A1 ,所以 AA1⊥BD ; 7 分
(2) 解:因为四边形 ABCD 是菱形, AB=2 ,

且 ∠BAD=π3 ,
所以 BD=2,OA=OC=3 ,
因为 AA1=2A1O=2 ,
所以 AA12=A1O2+OA2 ,
所以 A1O⊥OA , 8 分
由 (1) 知 BD⊥ 平面 ACC1A1 ,所以 OA,OB,OA1 两两垂直,
以 O 为原点, OA,OB,OA1 分别为 x 轴, y 轴, z 轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系, 9 分
则 A3,0,0,B0,1,0,C-3,0,0,A10,0,1 ,
所以 AC=-23,0,0,AB=-3,1,0,AA1=-3,0,1 ,
所以 AB1=AB+BB1=AB+AA1=-23,1,1 ,
因为 P 为平面 AB1C 内一动点,
所以设 AP=λAC+μAB1=-23λ+μ,μ,μ , 11 分
所以 BP=BA+AP=λAC+μAB1=3-23λ+μ,μ-1,μ ,
因为 BP⊥ 平面 AB1C ,且 AC,AB1⊂ 平面 AB1C ,
所以 BP⊥AC,BP⊥AB1 ,
所以 BP⋅AC=-6+12λ+μ=0,BP⋅AB1=-6+12λ+μ+μ-1+μ=0
所以 λ=0,μ=12 , 12 分
所以 BP=0,-12,12 ,
易知平面 ABCD 的一个法向量为 n=0,0,1 , 13 分
设 BP 与平面 ABCD 所成角为 θ ,
所以 sinθ=cs=BP⋅nBPn=1222×1=22 ,
所以 BP 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 22 . 15 分
18. 解: 1fx 的定义域为 -1,+∞ , 1 分
f'x=2ax-1x+1+1=2ax2+2a+1xx+1, 2 分
当 a=0 时, f'x=xx+1 ,
所以 fx 在(-1,0)上单调递减,在 0,+∞ 上单调递增, 3 分
当 a>0 时, -2a+12a=-1-12a<-1 ,
当 f'x>0 时, x>0 ,
当 f'x<0 时, -1所以 fx 在(-1,0)上单调递减,在 0,+∞ 上单调递增, 5 分
综上所述,当 a≥0 时, fx 在(-1,0)上单调递减,在 0,+∞ 上单调递增; 6 分 (2) (i) gx 的定义域为 -1,+∞ ,
g'x=x+2ex-1x+1-1=x+2ex-x+2x+1=x+2ex-1x+1, 8 分
令 hx=ex-1x+1 ,则 h'x=ex+1x+12>0 ,
所以 hx 在 -1,+∞ 上单调递增,
又因为 h0=0 ,所以当 x∈-1,0 时, hx<0 ,当 x∈0,+∞ 时, hx>0 ,
所以 gx 在(-1,0)上单调递减,在 0,+∞ 上单调递增, 10 分
因为 g0=0 ,
所以 gx 的最小值是 0 ; 11 分
( ii ) g'x=x+2ex-1x+1+2ax-1,g''x=x+3ex+1x+12+2a , 12 分
令 φx=x+3ex+1x+12 ,则 φ'x=x+4ex-2x+13 ,
因为 φ'x 在 0,+∞ 上单调递增,所以 φ'x≥φ'0=4-2=2>0 ,
所以 φx 在 0,+∞ 上单调递增,因为 φx≥φ0=4 ,
所以当 2a≥-4 ,即 a≥-2 时, g''x≥0 ,
所以 g'x 在 0,+∞ 上单调递增,
因为 g'0=0 ,所以 g'x≥0 ,所以 gx 在 0,+∞ 上单调递增,
所以 gx≥g0=0 , 15 分
当 2a<-4 ,即 a<-2 时,因为 g''0=4+2a<0,-2a-3>1 ,
g''-2a-3=-2ae-2a-3+1-2a-22+2a>-2ae-2a-3+2a>-2a+2a=0,
g''x 在 0,+∞ 上单调递增,
所以 ∃x0∈0,+∞ ,使得 g''x0=0 ,
所以当 x∈0,x0 时, g''x<0,g'x 在 0,x0 上单调递减,
因为 g'0=2-2=0 ,所以当 x∈0,x0 时, g'x<0 ,
所以 gx 在 0,x0 上单调递减,又因为 g0=0 ,
所以当 x∈0,x0 时, gx<0 ,
这与 gx≥0 矛盾,
综上所述, a≥-2 . 17 分
19. 解: 1i 因为 b1=e ,
f'x=1x, 1 分
所以 f'b2=1b2=lne-ln1e-1 ,
得 b2=e-1 , 2 分
f'b3=1b3=lne-1-ln1e-1-1,
得 b3=e-2lne-1 ; 4 分
(ii) 因为 x>1 时,易知 0所以 0因为 b1>1 ,所以 0所以 0<1b2<1 ,所以 b2>1,⋯ ,以此类推 bn>1 ,
要证 bn+1只需证 lnbnbn-1>1bn ,即证 lnbn>bn-1bn=1-1bn , 6 分
设函数 φx=lnx-1+1xx>1 ,
φ'x=1x-1x2=x-1x2, 7 分
当 x∈1,+∞ 时, φ'x>0,φx 单调递增,
所以 φx>φ1=0 , 8 分
所以 lnbn-1+1bn>0 ,即 lnbn>1-1bn ,
即 1bn+1>1bn>0 ,
所以 bn+1所以数列 bn 是递减数列; 9 分
(2) 要证 Sn+cn≥n-1c+2c1 ,
当 n=1 时, S1+c1=2c1 ,成立.
当 n≥2 时,只需证 Sn+cn-2c1>n-1c ,
设 Sn+cn-2c1 为数列 dn 的前 n-1 项和,
则 dn=Sn+1+cn+1-2c1-Sn+cn-2c1=2cn+1-cn ,
所以只需证 2cn+1-cn>c , 11 分
设 Hx=hx-hcn-hccn-cxx≥0 ,可得 Hc=Hcn ,
H'x=h'x-hcn-hccn-c ,由 “ Lc- 数列” 定义得 H'cn+1=0 , 12 分
h'x=3x2+6csx,h''x=6x-6sinx=6x-sinx≥0,
所以 h'x 在 0,+∞ 单调递增,所以 H'x 在 0,+∞ 上单调递增,
又因为 H'cn+1=0 ,
所以当 x∈0,cn+1 时, H'x<0,Hx 单调递减,
当 x∈cn+1,+∞ 时, H'x>0,Hx 单调递增,
因为 2cn+1-c>cn+1,Hx 在 cn+1,+∞ 上单调递增,
只需证 H2cn+1-c>Hcn=Hc , 14 分
设 ωx=Hx-H2cn+1-x,x∈0,cn+1 ,
则 ω'x=H'x+H'2cn+1-x,ω''x=H''x-H''2cn+1-x ,
因为 x-sinx'=1-csx≥0 ,
所以 h''x 单调递增,所以 H''x 单调递增,
因为 x∈0,cn+1 ,所以 2cn+1-x>x ,所以 ω''x<0,ω'x 单调递减,
所以 ω'x>ω'cn+1=0 ,所以 ωx 单调递增,
所以 ωx<ωcn+1=0 ,即 Hx所以 H2cn+1-c>Hc=Hcn ,
所以 2cn+1-c>cn ,即 2cn+1-cn>c ,
综上所述, c>0 时, Sn+cn≥n-1c+2c1 . 17 分