2025信阳高级中学北湖校区高二上学期期中考试数学含解析

这是一份2025信阳高级中学北湖校区高二上学期期中考试数学含解析，共23页。试卷主要包含了 已知，且，则的值为， “”是“直线与直线平行”的， 已知双曲线， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

数学试题
命题人：高军 审题人：杨立雅
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 已知直线经过点，且方向向量，则方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知，且，则的值为（ ）
A. 5B. C. 3D. 4
3. “”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. 空间四边形中，，点在上，点为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
7. 已知椭圆两个焦点分别为，上的顶点为P，且，则此椭圆长轴为（ ）
A. B. C. 6D. 12
8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（ ）

A. B. C. 2D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 与垂直B. 与共线
C. 与所成角为锐角D. ，，，可作为空间向量的一组基底
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 若直线经过第三象限，则，
C. 点在直线上
D. 存在使得直线与直线垂直
11. 如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有（ ）

A. 异面直线与夹角的正弦值为
B. 二面角的平面角的正切值为
C. 四棱锥的外接球体积为
D. 三棱锥与三棱锥体积相等
12. 在平面直角坐标系中，已知圆动弦，圆，则下列选项正确的是（ ）
A. 当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为
B. 的面积最大值为1
C. 若原点始终在动弦上，则不是定值
D. 若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13. 两条平行直线与之间的距离是_______．
14. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，离心率为，为双曲线上一点，（为坐标原点），则的面积为______.
15. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为______．
16. 已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则_______
四．解答题（共6小题，满分70分）
17. 已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，．
（1）求边上的高所在直线方程；
（2）求点到直线的距离．
18. 已知圆C的方程为：．
（1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值；
（2）过点作圆C的切线，求切线方程．
19. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍.
（1）求方程；
（2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求.
20. 如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.

（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
21. 设抛物线：（）的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的一点，且.

（1）求抛物线的方程；
（2）如图，过点作两条直线，分别与抛物线交于异于的，两点，若直线，的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线的斜率为定值.
22. 已知四棱柱中，底面为梯形，平面，其中.是的中点，是的中点．
（1）求证平面；
（2）求平面与平面的夹角余弦值；
（3）求点到平面的距离．河南省信阳高级中学北湖校区
2024-2025学年高二上期期中测试
数学试题
命题人：高军 审题人：杨立雅
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 已知直线经过点，且方向向量，则方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可；
【详解】因为直线的方向向量，所以直线的斜率为2，
又直线经过点，所以直线方程为，即，
故选：B.
2. 已知，且，则的值为（ ）
A. 5B. C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，代入坐标计算可得答案．
【详解】由题意可得，则，解之可得.
故选：D．
3. “”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与直线平行”之间的逻辑关系，即可得答案.
【详解】当时，直线与平行；
当直线与直线平行时，
有且，解得，
故“”是“直线与直线平行”的充要条件.
故选：A.
4. 以点为圆心，并与轴相切圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意确定圆的半径，即可求解.
【详解】解：由题意，圆心坐标为点，半径为，
则圆的方程为．
故选：D．
5. 空间四边形中，，点在上，点为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的三角形法则和平行四边形法则，利用基底表示向量．
【详解】点为的中点，则有，
所以.
故选：B.
6. 已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】求出抛物线焦点和准线方程，设，结合与抛物线方程，得到，由焦半径公式得到答案.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
设，则，解得或（舍去），
则．
故选：B．
7. 已知椭圆的两个焦点分别为，上的顶点为P，且，则此椭圆长轴为（ ）
A. B. C. 6D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据焦点坐标得到c，再由得到a，c的关系求解.
【详解】因为椭圆的两个焦点分别为，则，
又上顶点为P，且，所以，所以，故长轴长为12.
故选：D
8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（ ）

A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出直线的方程，与渐近线的方程联立，求出的坐标，由为的中点，，得为的中点，求出的坐标，代入双曲线的方程求解即可.
【详解】令，由对称性，不妨设直线的方程为，
由，解得，，即点的坐标为，
由为的中点，，得为的中点，则点的坐标为，
代入双曲线的方程，有，
即，，
解得，所以双曲线的离心率为．
故选：A
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 与垂直B. 与共线
C. 与所成角为锐角D. ，，，可作为空间向量的一组基底
【答案】BC
【解析】
【分析】对A：计算出即可得；对B：由向量共线定理计算即可得；对C：计算并判断与是否共线即可得；对D：借助空间向量基本定理即可得.
【详解】对A：，故与不垂直，故A错误；
对B：由、，有，故与共线，故B正确；
对C：，且与不共线，
故与所成角为锐角，故C正确；
对D：由与共线，故，，不可作为空间向量的一组基底，故D错误.
故选：BC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 若直线经过第三象限，则，
C. 点在直线上
D. 存在使得直线与直线垂直
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A；利用特殊值判断B；将点的坐标代入方程即可判断C；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D.
【详解】对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确；
对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误；
对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确；
对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有（ ）

A. 异面直线与的夹角的正弦值为
B. 二面角的平面角的正切值为
C. 四棱锥的外接球体积为
D. 三棱锥与三棱锥体积相等
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于选项A：根据异面直线的夹角分析求解；对于B：分析可知为二面角的平面角，运算求解即可；对于C：四棱锥的外接球即为正方体的外接球，求正方体的外接球即可；对于D：根据锥体的体积公式分析判断即可.
【详解】对于A：因为，
在中，就是异面直线所成的角，
且，则，故A正确；
对于B：连接交于点O，连接，

因为平面ABCD，BD平面ABCD，则BD，
又因为BD⊥AO，，平面，可得BD⊥平面，
且平面，则BD⊥，
可知为二面角的平面角，
在中，，故B错误；
对于C，显然四棱锥的外接球即为正方体的外接球，
因为正方体外接球的半径，
所以正方体的外接球体积为，故C正确；
对于D，因为，
三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，
故三棱锥与三棱锥体积相等，故D正确.
故选：ACD
12. 在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（ ）
A. 当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为
B. 的面积最大值为1
C. 若原点始终在动弦上，则不是定值
D. 若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数的范围判断A，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值判断B，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C，先根据矩形性质结合垂径定理得到点的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D.
【详解】对于A，圆的圆心为1,0，半径为，
圆的圆心为，半径为，
当圆和圆存在公共点时，，
所以，解得，所以实数的取值范围为，正确；
对于B，的面积为，
当时，的面积有最大值为1，正确；
对于C，当弦垂直x轴时，，所以，
当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为，
与圆联立得，，
设，
则，，
综上，恒为定值，错误；
对于D，设Px0,y0，OP中点，该点也是AB中点，且，
又，所以，
化简得，所以点的轨迹为以1,0为圆心，半径为的圆，
其周长为长度为，正确.
故选：ABD
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13. 两条平行直线与之间的距离是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】将直线的方程可化为，利用平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】直线的方程可化为，且直线的方程为，
所以，平行直线与之间的距离为.
故答案为：.
14. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，离心率为，为双曲线上一点，（为坐标原点），则的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线的离心率可求得的值，可求得的值，推导出为直角，利用勾股定理结合双曲线的定义可求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】如图所示：因为双曲线的离心率，所以，，
设点在双曲线的右支上，由，
可得，，
所以，，
由双曲线定义可得，由勾股定理可得，
所以，可得，
因此的面积为.

故答案为：.
15. 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可.
【详解】
，
，①
又
②
①-②得：，
的面积为9，
，
故答案为：3.
16. 已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则_______
【答案】##
【解析】
【分析】由题意可得：，根据空间向量的数量积运算求解.
【详解】由题意可知：，且，
因为M为BC中点，N为AD中点，

则，
所以
.
故答案为：
四．解答题（共6小题，满分70分）
17. 已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，．
（1）求边上的高所在直线方程；
（2）求点到直线的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出的中点的坐标，利用垂直关系得到高所在直线的斜率，得到高所在直线方程；
（2）联立两直线得到点的坐标，利用点到直线距离公式求出答案.
【小问1详解】
由题意可知，为的中点，
，，
．
又，
．
所在直线方程为，即．
【小问2详解】
由，解得，所以．
又直线方程为，即．
点到直线的距离．
18. 已知圆C的方程为：．
（1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值；
（2）过点作圆C的切线，求切线方程．
【答案】（1）或；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解；
（2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解．
【小问1详解】
圆的方程为：，
则圆的圆心为，半径为2，
直线与圆相交于、两点，且，
则，解得或；
【小问2详解】
当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切，
切线的斜率存在时，可设切线为，即，
由切线的定义可知，，解得，
故切线方程为，
综上所述，切线方程为或．
19. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍.
（1）求的方程；
（2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件确定的值，即得椭圆的标准方程；
（2）涉及中点弦问题，可以考虑“点差法”解决问题.
【小问1详解】
由题意可得，得，所以的方程为.
【小问2详解】
由题意得.
设，，依题意可得，且，
由得，
则，解得.
经检验，点在椭圆内.
所以为所求.
20. 如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.

（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立；
（2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可得出结果；
【小问1详解】
以原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

则,
，，
设平面的一个法向量为，
则 ，取，得，
因为，所以平面；
【小问2详解】
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．
21. 设抛物线：（）的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的一点，且.

（1）求抛物线的方程；
（2）如图，过点作两条直线，分别与抛物线交于异于的，两点，若直线，的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线的斜率为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）代入抛物线的焦半径公式求，即可求抛物线的标准方程；
（2）首先根据（1）的结果求点的坐标，设直线和的直线方程与抛物线方程联立，求得点的坐标，并表示直线的坐标，即可证明.
【小问1详解】
由抛物线的定义知，解得，
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
因为点的横坐标为2，即，解得，
故点的坐标为，
由题意可知，直线，不与轴平行，设，，
设直线：，即，
代入抛物线的方程得，即，
则，故，
所以，
即
设直线：，即，
同理可得，则，
即
直线的斜率，
所以直线斜率为定值.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直线与的斜率互为相反数，与抛物线方程联立，利用两根之和公式求点的坐标.
22. 已知四棱柱中，底面为梯形，平面，其中.是的中点，是的中点．
（1）求证平面；
（2）求平面与平面的夹角余弦值；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质可得四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质结合线面平行的判定定理计算即可得；
（2）建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量后结合空间向量夹角公式计算即可得；
（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得.
【小问1详解】
取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
故平面；
【小问2详解】
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有A0,0,0、、、、C1,1,0、，
则有、、，
设平面与平面的法向量分别为m=x1,y1,z1、n=x2,y2,z2，
则有，，
分别取，则有、、、，
即，，
则，
故平面与平面的夹角余弦值为；
【小问3详解】
由，平面的法向量为，
则有，
即点到平面的距离为．