福建省厦门市第十一中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份福建省厦门市第十一中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，2022年北京冬奥会的声音是人类命运共同体的赞歌，是对“更快、更高、更强、更团结”的奥运精神的中国宣扬．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．5a2﹣3a＝2aB．2a+3b＝5ab
C．（ab3）2＝a2b6D．（a+2）2＝a2+4
3．（4分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BC边上一点，连接AE，OE，则下列角中是△AEO的外角的是（ ）
A．∠AEBB．∠AODC．∠OECD．∠EOC
4．（4分）到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（ ）
A．三条中线交点
B．三条角平分线交点
C．三条高的交点
D．三条边的垂直平分线交点
5．（4分）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
6．（4分）阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；
②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．∠1＝∠2且CM＝DMB．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DMD．∠2＝∠3且OD＝DM
7．（4分）已知a＝1631，b＝841，c＝461，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．a＜b＜cD．b＞c＞a
8．（4分）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（ ）
A．2a2﹣2aB．2a2﹣2a﹣2C．2a2﹣aD．2a2+a
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝ANB．AB∥NCC．∠AMN＝∠ACND．MN⊥AC
10．（4分）小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布．如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆a，b，c，d，e，f．这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定．小梧想用绳子在南侧的两条木杆e，f和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布．小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（ ）
A．aB．bC．cD．d
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
12．（4分）若y2﹣6y﹣k是完全平方式，则k的值等于 ．
13．（4分）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于 ．
14．（4分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段AB是等腰三角形△ABC的一边，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为 ．
15．（4分）已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．如图，若A、B两点的坐标分别是A（0，4）、B（﹣2，0），则C点的坐标为 ．
16．（4分）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF．若BF＝7，DE＝3，求CE的长＝ ．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．（8分）（1）m3•m•m6+（﹣m4）2+4（﹣m2）4；
（2）用乘法公式简便计算：96×104．
18．（8分）化简求值：（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣y），其中，y＝﹣2．
19．（8分）已知：如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（2，3）均在正方形网格的格点上．画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1，B1，C1的坐标．
21．（8分）4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．
（1）若a＝3，b＝1，则S1＝ ．
（2）若S1＝2S2，求a与b满足关系： ．
22．（10分）观察以下等式：
第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
23．（10分）综合与实践：
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据： ；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
24．（12分）将一个三角形沿着其中一个顶点及其对边上的一点所在的直线折叠，若折叠后原三角形的一边垂直于这条对边，则称这条直线是该三角形的“对垂线”．
（1）如图1，AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处，求∠BAD的度数；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上，且AB＝AD，若∠B＝2∠DAC，判断直线AD是否是△ABC的对垂线，并说明理由．
25．（14分）已知线段AB和点C，CA＝CD，CB＝CE，∠DCA＝∠ECB，AE，BD相交于点P．
（1）如图1，若点C在线段AB上，
①求证：∠A＝∠D；
②若∠DCA＝60°，求∠DPA的度数；
（2）如图2，点C是线段AB上方的一点，且保持∠DCA＝60°，连接PC．请问PC、PA、PD之间有什么关系？请证明．
2024-2025学年福建省厦门十一中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．（4分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，2022年北京冬奥会的声音是人类命运共同体的赞歌，是对“更快、更高、更强、更团结”的奥运精神的中国宣扬．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．5a2﹣3a＝2aB．2a+3b＝5ab
C．（ab3）2＝a2b6D．（a+2）2＝a2+4
【答案】C
【分析】直接利用积的乘方运算法则、合并同类项、完全平方公式分别判断得出答案．
【解答】解：A．5a2﹣3a无法合并，故此选项不合题意；
B．2a+3b无法合并，故此选项不合题意；
C．（ab3）2＝a2b6，故此选项符合题意；
D．（a+2）2＝a2+4a+4，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算法则、合并同类项、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（4分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BC边上一点，连接AE，OE，则下列角中是△AEO的外角的是（ ）
A．∠AEBB．∠AODC．∠OECD．∠EOC
【答案】D
【分析】根据三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角解答即可．
【解答】解：△AEO的外角是∠EOC，
故选：D．
【点评】此题考查三角形的外角问题，关键是根据三角形的一边与另一边的延长线组成的角解答．
4．（4分）到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（ ）
A．三条中线交点
B．三条角平分线交点
C．三条高的交点
D．三条边的垂直平分线交点
【答案】B
【分析】由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，而已知一点到△ABC的三条边距离相等，那么这样的点在这个三角形的三条角平分线上，由此即可作出选择．
【解答】解：∵到△ABC的三条边距离相等，
∴这点在这个三角形三条角平分线上，
即这点是三条角平分线的交点．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的角平分线的性质：三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．
5．（4分）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
【答案】A
【分析】根据点O为AA'、BB'的中点得出OA＝OA'，OB＝OB'，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，从而证得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，问题得证．
【解答】解：∵点O为AA'、BB'的中点，
∴OA＝OA'，OB＝OB'，
由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，
在△AOB和△A'OB'中，
，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS），
∴AB＝A'B'，
即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
6．（4分）阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；
②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．∠1＝∠2且CM＝DMB．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DMD．∠2＝∠3且OD＝DM
【答案】A
【分析】由△OCM≌△ODM（SSS）推出∠1＝∠2；OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3；OD和DM不一定相等；CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3．
【解答】解：A、以C，D为圆心画弧的半径相等，因此CM＝DM，又OC＝OD，OM＝OM，因此△OCM≌△ODM（SSS）得到∠1＝∠2，故A符合题意；
B、因为OC、CM的长在变化，所以OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合题意；
C、因为OD、DM的长在变化，所以OD和DM不一定相等，故C不符合题意；
D、CM的位置在变化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，关键是由作图得到△OCM≌△ODM（SSS）．
7．（4分）已知a＝1631，b＝841，c＝461，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．a＜b＜cD．b＞c＞a
【答案】A
【分析】把各数的底数转为相同，再比较指数即可．
【解答】解：a＝1631＝（24）31＝2124；
b＝841＝（23）41＝2123；
c＝461＝（22）61＝2122；
∵124＞123＞122，
∴2124＞2123＞2122，
即a＞b＞c．
故选：A．
【点评】本题主要考查幂的乘方，有理数的大小，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．（4分）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（ ）
A．2a2﹣2aB．2a2﹣2a﹣2C．2a2﹣aD．2a2+a
【答案】C
【分析】先归纳出该运算的规律，再将原算式变形后，运用该规律进行计算．
【解答】解：∵2+22＝23﹣2；
2+22+23＝24﹣2；
2+22+23+24＝23﹣2；
⋯
∴2+22+23+24+……+2n＝2n+1﹣2，
∴若250＝a，
250+251+252+⋯+299+2100
＝（2+22+23+……+2100）﹣（2+22+23+……+249）
＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）
＝2101﹣2﹣250+2
＝2101﹣250
＝2×（250）2﹣250
＝2a2﹣a，
故选：C．
【点评】此题考查了算式规律的归纳与应用能力，关键是能准确理解题意，并能进行正确地观察、猜想、归纳．
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝ANB．AB∥NCC．∠AMN＝∠ACND．MN⊥AC
【答案】C
【分析】根据旋转变换的性质、等边三角形的性质、平行线的性质判断即可．
【解答】解：A、∵AB＝AC，
∴AB＞AM，
由旋转的性质可知，AN＝AM，
∴AB＞AN，故本选项结论错误，不符合题意；
B、当△ABC为等边三角形时，AB∥NC，除此之外，AB与NC不平行，故本选项结论错误，不符合题意；
C、由旋转的性质可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，
∵AM＝AN，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠AMN，
∴∠AMN＝∠ACN，本选项结论正确，符合题意；
D、只有当点M为BC的中点时，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本选项结论错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是旋转变换、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键．
10．（4分）小梧要在一块矩形场地上晾晒传统工艺制作的蜡染布．如图所示，该矩形场地北侧安有间隔相等的7根栅栏，其中4根栅栏处与南侧的两角分别固定了高度相同的木杆a，b，c，d，e，f．这些木杆顶部的相同位置都有钻孔，绳子穿过木杆上的孔可以被固定．小梧想用绳子在南侧的两条木杆e，f和北侧的一条木杆上连出一个三角形，以晾晒蜡染布．小梧担心手中绳子的总长度不够，那么他在北侧木杆中应优先选择（ ）
A．aB．bC．cD．d
【答案】C
【分析】作E关于AG的对称点E′，连接E′F，E′F的长度是绳子最短的长度，E′F所经过的点就是点C就是要选择的木杆．
【解答】解：如图，作E关于AG的对称点E′，连接E′F，交AG于点C，连接CE，则点C所在的木杆c应该优先选择．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称的性质以及生活中的轴对称现象，通过作轴对称构造两点之间的线段最短是解答本题的关键．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 三角形具有稳定性 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：这样做的数学依据是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
12．（4分）若y2﹣6y﹣k是完全平方式，则k的值等于 ﹣9 ．
【答案】﹣9．
【分析】根据一次项系数进行配方，进而得出答案．
【解答】解：∵y2﹣6y+9＝（y﹣3）2
∴﹣k＝9，
∴k＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【点评】本题主要考查完全平方式，熟练掌握配方法是解题的关键．
13．（4分）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于 126° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等边三角形的性质得到AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，由正五边形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝108°，等量代换得到BF＝BC，∠FBC＝48°，根据三角形的内角和求出∠BFC＝66°，根据∠AFC＝∠AFB+∠BFC即可得到结论．
【解答】解：∵△ABF是等边三角形，
∴AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，
在正五边形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝＝108°，
∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°，
∴∠BFC＝（180°﹣∠FBC）＝66°，
∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°，
故答案为：126°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记正多边形的内角的求法是解题的关键．
14．（4分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段AB是等腰三角形△ABC的一边，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为 10 ．
【答案】10．
【分析】分三种情况：当AB＝AC时；当BA＝BC时；当CA＝CB时；即可解答．
【解答】解：如图：
分三种情况：
当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交正方形网格的格点为C1，C2；
当BA＝BC时，以点A为圆心，以BA长为半径作圆，交正方形网格的格点为C3，C4；
当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，交正方形网格的格点为C5，C6；C7，C8，C9，C10；
综上所述：这样的等腰三角形的个数为10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．
15．（4分）已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．如图，若A、B两点的坐标分别是A（0，4）、B（﹣2，0），则C点的坐标为 （4，2） ．
【答案】（4，2）．
【分析】要求点C坐标，作CM⊥AO，只要利用全等三角形的性质求出OM、CM即可．
【解答】解：如图中，作CM⊥OA垂足为M，
∵∠AOB＝∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAM＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠CAM，
在△ABO和△CAM中，
，
∴△ABO≌△CAM（AAS），
∴MC＝AO＝4，AM＝BO＝2，MO＝AO﹣AM＝2，
∴点C坐标（4，2）．
故答案为：（4，2）．
【点评】本题考查全等三角形的判定或性质、坐标与图形的性质等知识，关键是构造全等三角形，作CM⊥OA垂足为M是证明角平分线的常用手段．
16．（4分）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF．若BF＝7，DE＝3，求CE的长＝ 4 ．
【答案】4．
【分析】由角平分线的性质得AF＝AD，再证明Rt△ABF≌△RtACD（HL），得出BF＝CD＝7，即可得出结论．
【解答】解：∵∠D＝90°，
∴AD⊥DE，
∵EA平分∠DEF，
∵AF⊥EF，
∴AF＝AD；
在Rt△ABF和△RtACD中，
，
∴Rt△ABF≌△RtACD（HL），
∴BF＝CD＝7，
∵DE＝3，
∴CE＝CD﹣DE＝7﹣3＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．（8分）（1）m3•m•m6+（﹣m4）2+4（﹣m2）4；
（2）用乘法公式简便计算：96×104．
【答案】（1）m10+5m8；
（2）9984．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法、幂和乘方运算法则计算即可；
（2）将原式写出（100﹣4）（100+4）并利用平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝m10+m8+4m8
＝m10+5m8．
（2）原式＝（100﹣4）（100+4）
＝1002﹣42
＝10000﹣16
＝9984．
【点评】本题考查平方差公式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，掌握平方差公式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键．
18．（8分）化简求值：（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣y），其中，y＝﹣2．
【答案】8xy+12y2，52．
【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用多项式乘多项式展开后化简，去括号合并得到最简结果，将x与y的值代入计算，即可得到结果．
【解答】解：（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣y）
＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣2xy+6xy﹣3y2）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+2xy﹣6xy+3y2
＝8xy+12y2，
当，y＝﹣2时，
原式＝8×+12×4＝4+48＝52．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
19．（8分）已知：如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点A作AF⊥BC，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一性质可得BF＝CF，DF＝EF，然后利用等式的性质进行计算，即可解答．
【解答】证明：过点A作AF⊥BC，垂足为F，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF，
∵AD＝AE，AF⊥DE，
∴DF＝EF，
∴BF﹣DF＝CF﹣EF，
∴BD＝CE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（2，3）均在正方形网格的格点上．画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1，B1，C1的坐标．
【答案】作图见解答过程；A1（0，﹣1），B1（3，﹣2），C1（2，﹣3）．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出顶点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
由图可知，A1（0，﹣1），B1（3，﹣2），C1（2，﹣3）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
21．（8分）4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．
（1）若a＝3，b＝1，则S1＝ 11 ．
（2）若S1＝2S2，求a与b满足关系： a2+4b2＝4ab ．
【答案】（1）11；（2）a＝2b．
【分析】（1）根据题目条件计算5部分空白面积的和即可；
（2）由题意列式a2+2b2＝2[（a+b）2﹣（a2+2b2）]并整理即可．
【解答】解：（1）由题意得，
S1＝2×[ab+（a+b）b]+（a﹣b）2＝ab+ab+b2+a2﹣2ab+b2＝a2+2b2，
∴当a＝3，b＝1时，
S1＝32+2×12＝＝9+2＝11，
故答案为：11；
（2）由（1）结果S1＝a2+2b2，可得，
a2+2b2＝2[（a+b）2﹣（a2+2b2）]，
整理得，a2﹣4ab+4b2＝0，
即（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，
故答案为：a＝2b．
【点评】此题考查了运用完全平方公式的几何背景解决问题的能力，关键是能根据图形准确列式，并运用完全平方公式进行运算．
22．（10分）观察以下等式：
第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： （2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】（1）（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，
（2）（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明过程见解答．
【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，
故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；
（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，
证明：左边＝4n2+4n+1，
右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2
＝4n2+4n+1，
∴左边＝右边．
∴等式成立．
【点评】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明．
23．（10分）综合与实践：
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据： SSS ；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由等边三角形的性质得CE＝DE，再证△OCE≌△ODE（SSS），得∠COE＝∠DOE，即可得出结论；
（2）证△OCM≌△OCN（SSS），得∠AOC＝∠BOC，即可得出结论；
（3）先作∠BAC的平分线AK，再在AK上截取AE＝AD即可．
【解答】解：（1）∵△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
又∵OC＝OD，OE＝OE，
∴△OCE≌△ODE（SSS），
∴∠COE＝∠DOE，
∴OE是∠AOB的平分线，
故答案为：SSS；
（2）∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
∴射线OC是∠AOB的平分线；
（3）如图，
点E即为所求的点．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线定义以及尺规作图等知识，熟练掌握角平分线定义和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
24．（12分）将一个三角形沿着其中一个顶点及其对边上的一点所在的直线折叠，若折叠后原三角形的一边垂直于这条对边，则称这条直线是该三角形的“对垂线”．
（1）如图1，AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处，求∠BAD的度数；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上，且AB＝AD，若∠B＝2∠DAC，判断直线AD是否是△ABC的对垂线，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由“对垂线”的定义可得AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D，则可得出∠BAD＝∠B'AD，由等边三角形的性质得出∠BAB'＝∠BAC＝30°，则折叠的性质可得出答案；
（2）由等腰三角形的性质得出∠B＝∠BDA，可得出∠DAC＝∠C＝∠B，求出∠B＝60°，证得∠AFD＝90°，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处，
∴AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D，
∴∠BAD＝∠B'AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
又∵AB'⊥BC，
∴∠BAB'＝∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠BAB'＝°＝15°；
（2）直线AD是△ABC的对垂线．
理由如下：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠BDA，
∵∠B＝2∠DAC，∠BDA＝∠DAC+∠C，
∴∠DAC＝∠C＝∠B，
∵△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠B+∠B＝90°，
∴∠B＝60°＝∠BDA，∠DAC＝∠C＝30°，
把△ADC沿直线AD折叠，设点C落在C'处，直线AC'交BC于点F，则△ACD≌△AC'D，
∴∠DAC'＝∠DAC＝30°，
∴△AFD中，∠AFD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
即AC'⊥BC，
∴AD是△ABC的对垂线．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形“对垂线”的概念，折叠的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
25．（14分）已知线段AB和点C，CA＝CD，CB＝CE，∠DCA＝∠ECB，AE，BD相交于点P．
（1）如图1，若点C在线段AB上，
①求证：∠A＝∠D；
②若∠DCA＝60°，求∠DPA的度数；
（2）如图2，点C是线段AB上方的一点，且保持∠DCA＝60°，连接PC．请问PC、PA、PD之间有什么关系？请证明．
【答案】（1）①证明见解答过程；
②60°；
（2）PA＝PD+PC；理由见解答过程．
【分析】（1）①证明△ACE≌△DCB即可解答；
②根据∠DCA＝∠ECB即可得出∠DCA＝∠ECB＝60°，结合△ACE≌△DCB即可求出∠DPA；
（2）在AP上取一点F，使得PF＝PC，过点C作CM⊥AP，CN⊥PB，先证明PC平分∠APB，即可△PCF是等边三角形，再证明△ACF≌△DCP即可求解．
【解答】（1）①证明：∵∠DCA＝∠ECB，
∴∠ACE＝∠DCB，
∵CA＝CD，CB＝CE，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠A＝∠D；
②解：由①可得∠A＝∠D，
∴∠DPA＝ACD＝60°；
（2）解：PA＝PD+PC；理由如下：
在AP上取一点F，使得PF＝PC，过点C作CM⊥AP，CN⊥PB，如图：
∵由（1）知△ACE≌△DCB，
∴∠MAC＝∠D，
∵AC＝DC，∠AMC＝∠DNC＝90°，
∴△AMC≌△DNC（AAS），
∴CM＝CN，
∴PC平分∠APB，
∵∠ACD＝∠APD＝60°，
∴∠APB＝120°，
∴∠APC＝60°，
∴△PFC是等边三角形，
∴PC＝PF，∠PCF＝60°，
∴∠ACF＝∠DCP，
∵AC＝DC，∠MAC＝∠D，
∴△ACF≌△DCP（ASA），
∴AF＝PD，
∵PA＝AF+PF，
∴PA＝PD+PC．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．
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