福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列体育运动图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）平面直角坐标系中，点P（4，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（4，2）B．（4，﹣2）C．（﹣4，2）D．（﹣4，﹣2）
3．（4分）已知m﹣n＝3，则2m÷2n的值为（ ）
A．8B．﹣8C．D．1
4．（4分）下列各式运算结果不等于a8的是（ ）
A．﹣a8+2a8B．a3•a5C．（a2）4D．
5．（4分）如果一个等腰三角形的两边分别是3和6，则它的周长是（ ）
A．12B．15C．12或15D．无法确定
6．（4分）如图，直角△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，且，AC＝3，则AB＝（ ）
A．6B．C．D．
7．（4分）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，△ABC的顶点均落在格点上，若建立适当的坐标系，记点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（5，1），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（ ）
A．（4，2）B．（3，2）C．（2，2）D．（3，1）
8．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠BEC的度数是（ ）
A．35°B．55°C．75°D．90°
9．（4分）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．x2+5B．x（x+3）+6
C．x2+3（x+2）D．（x+3）（x+2）﹣2x
10．（4分）如图，OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F，点D在OB上，DH⊥OP于点H，若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，则DH的长为（ ）
A．4.5B．5C．7D．
二、填空题：每小题4分，共40分。
11．（4分）计算（π﹣3）0＝ ．
12．（4分）分解因式：a﹣a2＝ ．
13．（4分）计算：＝ ．
14．（4分）若等腰三角形有一个角等于130°，则这个三角形顶角的度数为 ．
15．（4分）若关于x的多项式（2x+4）（x﹣k）展开后不含有x一次项，则实数k的值为 ．
16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC，点A（0，3），B（4，0），C（m，n）．当0＜a＜5，n＜0时，点C的横坐标m的取值范围是 ．
三、解答题（共86分）
17．（8分）计算：
（1）a•（a3）2÷（﹣a）3；
（2）3x2y•（﹣2xy）3．
18．（10分）（1）试说明代数式的值与n无关；
（2）已知x+y＝6，xy＝4，分别求出求x2+y2与x﹣y的值．
19．（8分）如图，平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）仅用直尺确定一条能把△ABC分成面积相等的两个三角形的直线l；
（3）若以线段AB为一边作格点△ABD，使所作的△ABD与△ABC全等，则所有满足条件的点D（不与C重合）的坐标是 ．
20．（8分）在学习完全等三角形章节后，数学兴趣小组同学设计了如下方案测量河两岸A、B两点间的距离，方案如下：
请你根据以上方案求出A、B两点间的距离（要写出证明过程）．
21．（8分）如图，△ABC中，AC⊥BC，ED是AB的垂直平分线，连接AE．
（1）若∠B＝20°，求∠CAE的度数．
（2）若EC＝ED，BC＝12，求EC的长．
22．（10分）如图，△ABC中，∠ABC＝48°．
（1）按要求尺规作图（保留作图痕迹并用水笔描黑）：在BC边上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线交AC于E；
（2）在（1）的条件下连接DE，若BC＝AB+DE，求∠C的度数．
23．（10分）阅读材料：已知实数m、n满足（m2+2n2﹣1）（m2+2n2+1）＝63，试求m2+2n2的值．
解：设m2+2n2＝t，则原方程变为（t﹣1）（t+1）＝63，整理得t2﹣1＝63，即t2＝64．
∴t＝±8，∴m2+2n2＝±8．
∵m2+2n2≥0，∴m2+2n2＝8．
上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知x、y满足（2x2+y2+3）（2x2+y2﹣3）＝27，求6x2+3y2的值；
（2）已知a、b满足（a2﹣b2）（a2﹣b2+2）＝3，求（a+b）（a﹣b）的值．
24．（11分）已知，△ABC为等边三角形，D在CB延长线上．
（1）如图1，以AD为边作等边△ADE，连接EC，求∠ACE的度数；
（2）如图2，若D在CB延长线上运动，M在AB边上，且AM＝BD，以MD为边作等边△MDN，连接CN，当D点运动时，∠NCA的度数是否发生变化？如果不变，请求出角度；如果改变，请说明理由．
25．（13分）（1）如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，CD和AE分别是AB、BC边上的高，CD与AE交于点F，若AF＝2EC．
①写出图1中所有的全等三角形 ；
②直接写出∠BAC的度数为 ；
（2）如图2，AB、CD是△AEC的高，∠AEC＝112.5°，∠ACD＝∠DEC，求证：AE＝2DC；
（3）如图3，等腰直角△ABC，AB＝AC，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M、N分别是射线BE、BC上动点，若S△BDC＝64，求CM+MN的最小值．
2024-2025学年福建师范大学附属中学八年级上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求；选得4分，选错或不答的得0分。
1．（4分）下列体育运动图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）平面直角坐标系中，点P（4，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（4，2）B．（4，﹣2）C．（﹣4，2）D．（﹣4，﹣2）
【答案】B
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：点P（4，2）关于x轴对称的点的坐标是（4，﹣2）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称的点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
3．（4分）已知m﹣n＝3，则2m÷2n的值为（ ）
A．8B．﹣8C．D．1
【答案】A
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则将原式变形，进而将已知代入得出答案．
【解答】解：∵m﹣n＝3，
∴2m÷2n＝2m﹣n
＝23
＝8．
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确将原式变形是解题关键．
4．（4分）下列各式运算结果不等于a8的是（ ）
A．﹣a8+2a8B．a3•a5C．（a2）4D．
【答案】D
【分析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【解答】解：A、﹣a8+2a8＝a8，不符合题意；
B、a3•a5＝a8，不符合题意；
C、（a2）4＝a8，不符合题意；
D、（a4）2＝a8，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（4分）如果一个等腰三角形的两边分别是3和6，则它的周长是（ ）
A．12B．15C．12或15D．无法确定
【答案】B
【分析】本题应分为两种情况：①3为底，6为腰，②6为底，3为腰．注意还要考虑三角形的三边关系．
【解答】解：∵等腰三角形的两边分别是3和6，
∴应分为两种情况：①3为底，6为腰，6+6+3＝15；
②6为底，3为腰，则3+3＝6，则应舍去；
∴它的周长是15．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
6．（4分）如图，直角△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，且，AC＝3，则AB＝（ ）
A．6B．C．D．
【答案】D
【分析】由含30°的直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，
∴AB＝2BC＝2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了含30°的直角三角形的性质，熟记含30°的直角三角形的性质是解题的关键．
7．（4分）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，△ABC的顶点均落在格点上，若建立适当的坐标系，记点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（5，1），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（ ）
A．（4，2）B．（3，2）C．（2，2）D．（3，1）
【答案】B
【分析】到△ABC三个顶点距离相等的点是AB与AC的垂直平分线的交点，进而得出其坐标．
【解答】解：平面直角坐标系如图所示，设AB与AC的垂直平分线的交点为点M，
∴到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（3，2），
故选：B．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解决问题的关键．
8．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠BEC的度数是（ ）
A．35°B．55°C．75°D．90°
【答案】C
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠CAB＝40°，从而利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠B＝∠ACB＝70°，然后利用角平分线的定义可得：∠ECB＝35°，从而利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝＝70°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝∠ACB＝35°，
∴∠BEC＝180°﹣∠B﹣∠ECB＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
9．（4分）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．x2+5B．x（x+3）+6
C．x2+3（x+2）D．（x+3）（x+2）﹣2x
【答案】A
【分析】根据所给图形，用x表示出阴影部分的面积，再所选项中的代数式进行化简即可解决问题．
【解答】解：由题知，
整个图形的面积为：（x+3）（x+2），
左下角空白长方形的面积为：2x，
所以阴影部分的面积为：（x+3）（x+2）﹣2x＝x2+3x+6．
故A选项符合题意．
因为x（x+3）+6＝x2+3x+6，
故B选项不符合题意．
因为x2+3（x+2）＝x2+3x+6，
故C选项不符合题意．
因为（x+3）（x+2）﹣2x＝x2+3x+6，
故D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了列代数式，能根据所给图形用含x的代数式表示出图中阴影部分的面积是解题的关键．
10．（4分）如图，OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F，点D在OB上，DH⊥OP于点H，若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，则DH的长为（ ）
A．4.5B．5C．7D．
【答案】D
【分析】作PN⊥OB，根据角平分线的性质求出PN，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：作PN⊥OB于N，
∵OP平分∠AOB，PF⊥OA，PN⊥OB，
∴PF＝PN＝3.5，
∵S△ODP＝×OP×DH＝×OD×PN，
∴×8×DH＝×4×3.5，
解得，DH＝，
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
二、填空题：每小题4分，共40分。
11．（4分）计算（π﹣3）0＝ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据零指数幂的性质即可得出答案．
【解答】解：（π﹣3）0＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了零指数幂的性质，比较简单．
12．（4分）分解因式：a﹣a2＝ a（1﹣a） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察原式，找到公因式a，提出即可得出答案．
【解答】解：a﹣a2＝a（1﹣a）．
故答案为：a（1﹣a）．
【点评】考查了提公因式法的直接应用，此题属于基础性质的题．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．
13．（4分）计算：＝ 2b﹣1 ．
【答案】2b﹣1．
【分析】根据整式的除法法则计算即可．
【解答】解：
＝
＝2b﹣1，
故答案为：2b﹣1．
【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．（4分）若等腰三角形有一个角等于130°，则这个三角形顶角的度数为 130° ．
【答案】130°．
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理即可解答．
【解答】解：∵等腰三角形有一个角等于130°，
∴这个角一定是等腰三角形的顶角，
∴这个三角形顶角的度数为130°，
故答案为：130°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
15．（4分）若关于x的多项式（2x+4）（x﹣k）展开后不含有x一次项，则实数k的值为 2 ．
【答案】2．
【分析】先把多项式展开后合并，然后令x项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵多项式（2x+4）（x﹣k）＝2x2+（4﹣2k）x﹣4k不含x项，
∴4﹣2k＝0，
解得k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．
16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC，点A（0，3），B（4，0），C（m，n）．当0＜a＜5，n＜0时，点C的横坐标m的取值范围是 3＜m＜8 ．
【答案】3＜m＜8．
【分析】过点C作CH⊥x轴于点H，根据等腰直角三角形的性质易证△AOB≌△BHC（AAS），根据全等三角形的性质可得BH＝OA＝3，进一步可得m的取值范围．
【解答】解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图所示，
则有∠BHC＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠OBA+∠CBH＝90°，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBH，
在△OAB和△HBC中，
，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH＝OA，
∵点A坐标为（0，3），
∴AO＝3，
∴BH＝3，
∴m＝OH＝OB+BH＝3+a，
∴0＜a＜5，
∴3＜m＜8，
故答案为：3＜m＜8．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（共86分）
17．（8分）计算：
（1）a•（a3）2÷（﹣a）3；
（2）3x2y•（﹣2xy）3．
【答案】（1）﹣a4；
（2）﹣24x5y4．
【分析】（1）先根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再根据同底数幂的乘法、除法法则计算即可；
（2）先根据积的乘方运算法则计算，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．
【解答】解：（1）a•（a3）2÷（﹣a）3
＝a•a6÷（﹣a3）
＝a7÷（﹣a3）
＝﹣a4；
（2）3x2y•（﹣2xy）3
＝3x2y•（﹣8x3y3）
＝﹣24x5y4．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（10分）（1）试说明代数式的值与n无关；
（2）已知x+y＝6，xy＝4，分别求出求x2+y2与x﹣y的值．
【答案】（1）理由见解析；
（2）28，．
【分析】（1）先根据完全平方公式、平方差公式计算，再合并即可，根据结果即可作出判断；
（2）根据完全平方公式计算即可．
【解答】解：
＝
＝9+，
因为结果中不含字母n，所以代数式的值与n无关；
（2）∵x+y＝6，xy＝4，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×4＝36﹣8＝28，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝62﹣4×4＝36﹣16＝20，
∴x﹣y＝．
【点评】本题考查了完全平方公式，平方差公式，合并同类项，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
19．（8分）如图，平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）仅用直尺确定一条能把△ABC分成面积相等的两个三角形的直线l；
（3）若以线段AB为一边作格点△ABD，使所作的△ABD与△ABC全等，则所有满足条件的点D（不与C重合）的坐标是 （2，3）或（2，2）或（﹣4，2） ．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）（2，3）或（2，2）或（﹣4，2）．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）画△ABC的任意一条中线，则这条中线所在的直线即为所求的直线l．
（3）根据全等三角形的判定确定点D的位置，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，取线段BC的中点M，作直线AM，
则直线AM即为所求的直线l（答案不唯一）．
（3）如图，点D1，D2，D3均满足题意，
∴点D的坐标是（2，3）或（2，2）或（﹣4，2）．
故答案为：（2，3）或（2，2）或（﹣4，2）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键．
20．（8分）在学习完全等三角形章节后，数学兴趣小组同学设计了如下方案测量河两岸A、B两点间的距离，方案如下：
请你根据以上方案求出A、B两点间的距离（要写出证明过程）．
【答案】A、B两点间的距离为30米．
【分析】根据AAS证明△ACD≌△ECB得出AC＝CE，即可推出结果．
【解答】解：∵∠C＝100°，∠ADC＝65°，
∴∠CAD＝15°，
∴∠CAD＝∠BEC，
在△ACD与△ECB中，
，
∴△ACD≌△ECB（AAS），
∴AC＝CE，
又∵CB＝CD，
∴AB＝DE＝30米，
答：A、B两点间的距离为30米．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（8分）如图，△ABC中，AC⊥BC，ED是AB的垂直平分线，连接AE．
（1）若∠B＝20°，求∠CAE的度数．
（2）若EC＝ED，BC＝12，求EC的长．
【答案】（1）50°；
（2）4．
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠BAC＝70°，根据线段垂直平分线的性质求出BE＝AE，进而求出∠B＝∠BAE＝20°，再根据角的和差求解即可；
（2）根据角平分线的判定定理求出∠CAE＝∠BAE，根据直角三角形的性质求出∠B＝∠CAE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BE＝AE＝2EC，再根据线段的和差求解即可．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵∠B＝20°，
∴∠BAC＝70°，
∵ED是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∴∠B＝∠BAE＝20°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝50°；
（2）∵ED⊥AB，EC⊥BC，EC＝ED，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠B＝∠BAE，∠B+∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠B＝∠CAE＝30°，
∴BE＝AE＝2EC，
∵BC＝BE+EC＝12，
∴EC＝4．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
22．（10分）如图，△ABC中，∠ABC＝48°．
（1）按要求尺规作图（保留作图痕迹并用水笔描黑）：在BC边上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线交AC于E；
（2）在（1）的条件下连接DE，若BC＝AB+DE，求∠C的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）44°．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明∠A＝∠BDE＝2∠C，利用三角形内角和定理，构建方程求解．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）设∠C＝x．
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C＝x，
∴∠BDE＝∠DEC+∠C＝2x，
在△ABE和△DBE中，
，
∴△ABE≌△DBE（SAS），
∴∠BDE＝∠A＝2x，
在△ABC中，∠A+∠C+∠ABC＝180°，
∴3x+48°＝180°，
∴x＝44°，
∴∠C＝44°．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23．（10分）阅读材料：已知实数m、n满足（m2+2n2﹣1）（m2+2n2+1）＝63，试求m2+2n2的值．
解：设m2+2n2＝t，则原方程变为（t﹣1）（t+1）＝63，整理得t2﹣1＝63，即t2＝64．
∴t＝±8，∴m2+2n2＝±8．
∵m2+2n2≥0，∴m2+2n2＝8．
上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知x、y满足（2x2+y2+3）（2x2+y2﹣3）＝27，求6x2+3y2的值；
（2）已知a、b满足（a2﹣b2）（a2﹣b2+2）＝3，求（a+b）（a﹣b）的值．
【答案】（1）18；
（2）﹣3或1．
【分析】（1）设2x2+y2＝t，则原方程可变为（t+3）（t﹣3）＝27，解方程即可得到结论；
（2）设a2﹣b2＝t，则原方程可变为t（t+2）＝3，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）设2x2+y2＝t，
则原方程可变为（t+3）（t﹣3）＝27，
解得t＝±6，
∵2x2+y2≥0，
∴2x2+y2＝6，
∴6x2+3y2＝18；
（2）设a2﹣b2＝t，
则原方程可变为t（t+2）＝3，
即t2+2t﹣3＝0，
解得t1＝﹣3，t2＝1，
∴a2﹣b2＝﹣3或1，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝﹣3或1．
【点评】本题主要考查换元法解一元二次方程和整式的混合运算—化简求值，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
24．（11分）已知，△ABC为等边三角形，D在CB延长线上．
（1）如图1，以AD为边作等边△ADE，连接EC，求∠ACE的度数；
（2）如图2，若D在CB延长线上运动，M在AB边上，且AM＝BD，以MD为边作等边△MDN，连接CN，当D点运动时，∠NCA的度数是否发生变化？如果不变，请求出角度；如果改变，请说明理由．
【答案】（1）120°；
（2）∠NCA的度数不发生变化，∠NCA的度数是90°或30°，理由见解答过程．
【分析】（1）先证明∠DAB＝∠EAC，∠ADB＝120°，再依据“SAS”判定△DAB和△EAC全等得∠ADB＝∠ACE，由此可得出答案；
（2）依题意分以下两种情况：①当点N在BC的下方时，∠NCA＝90°；在CB上截取CH＝AM，连接HM，HN，证明△MBH是等边三角形得BM＝HM，∠BMH＝∠MHB＝60°，则∠MHC＝120°，再证明△DMB和△NMH全等得BD＝HN，∠ABD＝∠MHN＝120°，则∠BHN＝60°，根据BD＝HN，CH＝AM，AM＝BD得HN＝CH，则∠HNC＝∠HCN＝30°，由此可得∠NCA的度数；②当点N在BC的上方时，∠NCA＝30°；将△MDN沿DM翻折得到△MDT，在CB上截取CP＝AM，连接PM，CM，PT，同①可证明∠ABD＝∠MPC＝120°，△DMB和△TMP全等得BD＝PC，再证明△BDM和△PCM全等得MD＝MC＝MN，∠BMD＝∠CMP，进而得∠BMN＝∠BMC，然后根据等腰三角形的性质得AB⊥CN，由此可得出∠NCA的度数，综上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠ADB＝120°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠BAC，
∴∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠ADB＝∠ACE＝120°；
（2）∠NCA的度数不发生变化，∠NCA的度数是90°或30°，理由如下：
依题意有以下两种情况：①当点N在BC的下方时，∠NCA＝90°；在CB上截取CH＝AM，连接HM，HN，如图2①所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝120°，AB﹣AM＝BC﹣CH，
∴BM＝BH，
∴△MBH是等边三角形，
∴BM＝HM，∠BMH＝∠MHB＝60°，
∴∠MHC＝120°，
∵△MDN是等边三角形，
∴MD＝MN，∠DBN＝60°，
∴∠DBN＝∠BMH＝60°，
∴∠DMB+∠BMN＝∠BMN+∠NMH，
∴∠DMB＝∠NMH，
在△DMB和△NMH中，
，
∴△DMB≌△NMH（SAS），
∴BD＝HN，∠ABD＝∠MHN＝120°，
∴∠BHN＝∠MHN﹣∠MHB＝120°﹣60°＝60°，
∵BD＝HN，CH＝AM，AM＝BD，
∴HN＝CH，
∴∠HNC＝∠HCN，
∵∠BHN＝∠HNC+∠HCN＝60°，
∴∠HNC＝∠HCN＝30°，
∴∠NCA＝∠HCN+∠ACB＝30°+60°＝90°；
②当点N在BC的上方时，∠NCA＝30°；
将△MDN沿DM翻折得到△MDT，在CB上截取CP＝AM，连接PM，CM，PT，如图2②所示：
同①可证明：∠ABD＝∠MPC＝120°，△DMB≌△TMP（SAS），
∴BD＝PC，
在△BDM和△PCM中，
，
∴△BDM≌△PCM（SAS），
∴MD＝MC＝MN，∠BMD＝∠CMP，
∴△MNC是等腰三角形，
∵∠DMN＝∠BMP＝60°，
∴∠BMD+∠DMN＝∠CMP+∠BMP，
∴∠BMN＝∠BMC，
∴BM是等腰△MNC的顶角∠NMC的平分线，
∴AB⊥CN，
∴∠NCA＝90°﹣∠BAC＝30°，
综上所述：∠NCA的度数是90°或30°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解决问题的难点，分类讨论是易错点．
25．（13分）（1）如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，CD和AE分别是AB、BC边上的高，CD与AE交于点F，若AF＝2EC．
①写出图1中所有的全等三角形 △ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB ；
②直接写出∠BAC的度数为 45° ；
（2）如图2，AB、CD是△AEC的高，∠AEC＝112.5°，∠ACD＝∠DEC，求证：AE＝2DC；
（3）如图3，等腰直角△ABC，AB＝AC，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M、N分别是射线BE、BC上动点，若S△BDC＝64，求CM+MN的最小值．
【答案】（1）①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②45°；
（2）见解析；
（3）CM+MN的最小值为4．
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得到BC＝CE＝2CE，根据全等三角形 的判定定理得到△ABE≌△ACE（SSS），△ADF≌△CDB（AAS）；
②根据全等三角形的性质得到AD＝CD，根据等腰直角三角形的性质得到；
（2）延长AB，CD交于F，根据垂直的定义得到∠ABC＝∠CBF＝∠ADC＝∠ADF＝90°，求得∠EAB＝22.5°，得到∠CAD＝90°﹣67.5°＝22.5°，等量代换得到∠FAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到CF＝2CD，根据全等三角形的性质得到AE＝CF＝2CD；
（3）过点C作CF⊥BD，交BD的延长线于点F，可得CM+MN的最小值为CF．延长BA，CF两线交于点G，证明△ABD≌△ACG，△GBF≌△CBF，根据全等三角形的性质，得到GF＝CF＝CG＝BD，进而可求出CM+MN的最小值．
【解答】（1）解：①∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BC＝CE＝2CE，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（SSS），
∵AF＝2CE，
∴AF＝BC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB，
∵∠DAF+∠B＝∠B+∠BCD＝90°，
∴∠FAD＝∠BCD，
∴△ADF≌△CDB（AAS），
∴图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；
故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；
②由①知，△ADF≌△CDB，
∴AD＝CD，
∵∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACD＝45°，
故答案为：45°；
（2）延长AB，CD交于F，
∵AB、CD是△AEC的高，
∴∠ABC＝∠CBF＝∠ADC＝∠ADF＝90°，
∵∠AEC＝112.5°，
∴∠AFB＝∠CED＝67.5°，
∴∠EAB＝22.5°，
∵∠ACD＝∠DEC＝67.5°，
∴∠CAD＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠FAD＝∠CAD，
∴AF＝AC，
∴CF＝2CD，
∵∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝22.5°+22.5°＝45°，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴AB＝CB，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF＝2CD；
（3）如图，过D作DH⊥BC于H，
∵等腰直角△ABC，AB＝AC，
∴∠C＝45°，
∴DH＝CH，
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝DH，
设AD＝DH＝CH＝x，
∴CD＝x，
∴AC＝（）x，
∴BC＝AC＝（2+）x，
∵S△BDC＝BC•DH＝（2+）x•x＝64，
∴x2＝64（2﹣），
∴BD＝＝8，
过点C作CF⊥BD，交BD的延长线于点F，可得CM+MN的最小值为CF，
延长BA，CF两线交于点G，
∵∠A＝∠DFC＝90°，∠ADB＝∠FDC
∴∠ABD＝∠FCD，
在△ABD和△ACG中，
，
∴△ABD≌△ACG（ASA），
∴BD＝CG；
在△GBF和△CBF中，
，
∴△GBF≌△CBF（ASA），
∴GF＝CF＝CG＝BD；
∵BD＝8，
∴CF＝4，
∴CM+MN的最小值为4．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．课题
测量河两岸A、B两点间的距离
测量工具
测角仪、皮尺
测量方案示意图

测量步骤
①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在同一直线上，且CD＝BC；
②测得∠ACD＝100°，∠ADC＝65°；
③在CD的延长线上取点E，使得∠CEB＝15°；
④测得DE的长度为30米．
课题
测量河两岸A、B两点间的距离
测量工具
测角仪、皮尺
测量方案示意图

测量步骤
①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在同一直线上，且CD＝BC；
②测得∠ACD＝100°，∠ADC＝65°；
③在CD的延长线上取点E，使得∠CEB＝15°；
④测得DE的长度为30米．