广东省河源市龙川县2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省河源市龙川县2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共24页。
A．4，5，6，7B．3，4，6，9
C．8，4，4，2D．5，10，10，15
2．（3分）若关于x的方程（a﹣2）x2﹣2x+3＝0是一元二次方程，则a的值为（ ）
A．0B．2
C．﹣2D．不等于2的任意实数
3．（3分）已知4个完全相同的正方形的面积之和为100，则正方形的对角线长为（ ）
A．2B．5C．D．10
4．（3分）方程x2+5x﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有一个实数根
5．（3分）如图，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，则DF的长是（ ）
A．1.5B．6C．9D．12
6．（3分）若关于x的方程x2﹣kx﹣4＝0有一个根为﹣1，则k的值为（ ）
A．﹣4B．﹣3C．3D．4
7．（3分）甲、乙、丙、丁四名同学随机组合，两两一组做游戏，则甲与乙恰好被分在同一组的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）
A．4B．4.5C．8D．9
9．（3分）某种植物的主干长出若干 数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，设每个支干长出x个分支，则x的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP、EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为3，其中结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题．（每题3分，共18分）
11．（3分）若＝，则＝ ．
12．（3分）小薇为了了解自家草莓的质量，随机从种植园中抽取适量草莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中，“优质草莓”出现的频率逐渐稳定在0.8．若小薇家今年草莓的总产量约为1000kg，据此估计小薇家今年“优质草莓”的产量约为 kg．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是 ．
14．（3分）若直角三角形三边长分别是n，n+3，n+6，则该三角形的面积是 ．
15．（3分）定义新运算：a⊗b＝（a+b）（a﹣2b），例如：2⊗3＝（2+3）（2﹣2×3）＝﹣20．若（x﹣1）⊗（2x+1）＝0，则x的值为 ．
16．（3分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB＝，AG＝1，则EB＝ ．
三.解答题.（本大题9个小题，共72分）
17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．
18．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根．
19．（6分）如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，求证：四边形BFDE是矩形．
20．（6分）在△ABC和△A'B'C'中，，且△ABC的周长为10cm．求△A'B'C'的周长．
21．（8分）下面是小刚在作业本中做的一道题，老师说小刚的方法有问题，可是小刚不明白，你能帮帮他吗？
解一元二次方程：（2x﹣1）2＝4x﹣2．
解：原方程变形为（2x﹣1）2＝2（2x﹣1）…①
两边同时除以（2x﹣1），得2x﹣1＝2…②
移项，合并得2x＝3…③
系数化为1，得…④
上述解法中，该解法第一步采用的是 法解方程；第二步的依据是 ，你认为第 步有问题，问题在于 ．
请你将该方法正确的过程写出来．
22．（10分）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是 ；
（2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．
23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝．
（1）若BD＝20，求BG的长；
（2）求的值．
24．（12分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
（3）该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为x，若前三个月的总销量为285件，求该季度的总利润．
25．（12分）综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，CF＝3，请直接写出AB的长．
2024-2025学年广东省河源市龙川县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四组长度的线段中，是比例线段的是（ ）
A．4，5，6，7B．3，4，6，9
C．8，4，4，2D．5，10，10，15
【答案】C
【分析】根据成比例线段的定义逐项判断得到得到结论．
【解答】解：A、∵4×7≠5×6，∴4，5，6，7不能成比例线段，故不符合题意；
B、∵3×9≠4×6，∴3，4，6，9不能成比例线段，故不符合题意；
C、∵2×8＝4×4，∴8，4，4，2成比例线段，故符合题意；
D、∵5×15≠10×10，∴5，10，10，15不能成比例线段，故不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2．（3分）若关于x的方程（a﹣2）x2﹣2x+3＝0是一元二次方程，则a的值为（ ）
A．0B．2
C．﹣2D．不等于2的任意实数
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义得到a﹣2≠0，则可得到a的值，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得a﹣2≠0，
解得a≠2，
即a取不等于2的任意实数．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解决问题的关键．
3．（3分）已知4个完全相同的正方形的面积之和为100，则正方形的对角线长为（ ）
A．2B．5C．D．10
【答案】C
【分析】设每个正方形的边长为a，则面积为a2，对角线的长为，依题意得4a2＝100，由此解出a即可得出正方形的对角线长．
【解答】解：设每个正方形的边长为a，则面积为a2，对角线的长为，
∵4个完全相同的正方形的面积之和为100，
∴4a2＝100，
解得：a＝5，
∴正方形的对角线长为．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积公式，正方形的对角线与边长的关式是解决问题的关键．
4．（3分）方程x2+5x﹣4＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有一个实数根
【答案】C
【分析】求出判别式的值即可判断．
【解答】解：方程x2+5x﹣4＝0，
∵Δ＝52﹣4×1×（﹣4）＝41＞0，
∴方程有不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是记住：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（3分）如图，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，则DF的长是（ ）
A．1.5B．6C．9D．12
【答案】C
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理作答即可．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB＝4，BC＝8，DE＝3，
∴，
∴EF＝6，
∴DF＝DE+EF＝3+6＝9，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
6．（3分）若关于x的方程x2﹣kx﹣4＝0有一个根为﹣1，则k的值为（ ）
A．﹣4B．﹣3C．3D．4
【答案】C
【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣kx﹣4＝0得1+k﹣4＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣kx﹣4＝0得1+k﹣4＝0，
解得k＝3．
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
7．（3分）甲、乙、丙、丁四名同学随机组合，两两一组做游戏，则甲与乙恰好被分在同一组的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，甲、乙恰好在同一组的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12个等可能的结果，甲、乙恰好在同一组的结果有4个，
∴甲、乙恰好在同一组的概率为＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查列表法与树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）
A．4B．4.5C．8D．9
【答案】B
【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，
∴BD＝2OB＝12，
∵S菱形ABCD＝AC×BD＝54，
∴AC＝9，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
9．（3分）某种植物的主干长出若干 数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，设每个支干长出x个分支，则x的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】关键描述语是“主干、支干、小分支的总数是57”，等量关系为：主干1+支干数目+小分支数目＝57，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵主干为1，每个支干长出x个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支，
∴小分支的个数为：x×x＝x2，
∴可列方程为：1+x+x2＝57．
解得：x1＝7，x2＝﹣8（舍去）．
答：每个支干长出7个小分支．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用：列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程求解．
10．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP、EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③AP＝EF；④EF的最小值为3，其中结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】①证明△PDF是等腰直角三角形，则PD＝PF＝CE，即可判断；
②根据①可知四边形PECF为矩形，则四边形PECF的周长＝2BC＝8，即可判断；
③证明△ADP≌△CDP，则AP＝PC，根据矩形对角线相等得PC＝EF，即可判断；
④当AP⊥BD时，即AP＝BD＝2时，EF的最小值等于2，即可判断．
【解答】解：连接PC，如图，
∵BD是正方形的对角线，则∠PDF＝45°，
而PF⊥CD，则△PDF为等腰直角三角形，
∴PD＝PF，
∵PE⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴CE＝PF，
∴PD＝CE；
故①正确；
∵四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8；
故②正确；
∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝PC，
∴AP＝EF；
故③正确；
由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP＝BD＝2时，EF的最小值等于2；
故④不正确；
综上，①②③正确，结论正确的个数为3个，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
二．填空题．（每题3分，共18分）
11．（3分）若＝，则＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据＝可设a＝2k，b＝3k，再将a，b代入计算可求解．
【解答】解：设a＝2k，b＝3k，
∴＝，
故答案为．
【点评】本题主要考查比例的性质，灵活运用比例的性质计算是解题的关键．
12．（3分）小薇为了了解自家草莓的质量，随机从种植园中抽取适量草莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中，“优质草莓”出现的频率逐渐稳定在0.8．若小薇家今年草莓的总产量约为1000kg，据此估计小薇家今年“优质草莓”的产量约为 800 kg．
【答案】800．
【分析】由题意可得“优质草莓”出现的概率等于0.8，再乘以1000即可得出答案．
【解答】解：因为在多次重复的抽取检测中，“优质草莓”出现的频率逐渐稳定在0.8，
所以“优质草莓”出现的概率等于0.8，
所以估计小薇家今年的“优质草莓”的产量约为1000×0.8＝800（kg）．
故答案为：800．
【点评】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是 3 ．
【答案】3．
【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质可得：BD＝CD＝3，从而可得△BDC是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得BC＝CD＝3，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，D是AC的中点，AC＝6，
∴BD＝CD＝AC＝3，
∵∠BDC＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴BC＝CD＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
14．（3分）若直角三角形三边长分别是n，n+3，n+6，则该三角形的面积是 54 ．
【答案】54．
【分析】根据勾股定理列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：由题意可知，n，n+3是直角边长，n+6是斜边长，
由勾股定理得：n2+（n+3）2＝（n+6）2，
整理得：n2﹣6n﹣27＝0，
解得：n1＝9，n2＝﹣3（不符合题意，舍去），
∴n+3＝12，
∴该三角形的面积＝×9×12＝54，
故答案为：54．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角形面积等知识，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
15．（3分）定义新运算：a⊗b＝（a+b）（a﹣2b），例如：2⊗3＝（2+3）（2﹣2×3）＝﹣20．若（x﹣1）⊗（2x+1）＝0，则x的值为 0或﹣1 ．
【答案】0或﹣1．
【分析】根据题意列得方程并解方程即可．
【解答】解：由题意得（x﹣1+2x+1）[x﹣1﹣2（2x+1）]＝0，
整理得：3x（﹣3x﹣3）＝0，
即x（x+1）＝0，
解得：x＝0或x＝﹣1，
故答案为：0或﹣1．
【点评】本题考查解一元二次方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
16．（3分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB＝，AG＝1，则EB＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先连接BD交AC于O，由四边形ABCD、AGFE是正方形，即可得AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，然后利用SAS即可证得△EAB≌△GAD，则可得EB＝GD，然后在Rt△ODG中，利用勾股定理即可求得GD的长，继而可得EB的长．
【解答】解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD、AGFE是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，
∴∠EAB＝∠GAD，
在△AEB和△AGD中，
，
∴△EAB≌△GAD（SAS），
∴EB＝GD，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝，
∴BD⊥AC，AC＝BD＝AB＝2，
∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝1，
∵AG＝1，
∴OG＝OA+AG＝2，
∴GD＝＝，
∴EB＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
三.解答题.（本大题9个小题，共72分）
17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣4＝0．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：a＝1，b＝﹣4，c＝﹣4，
b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣4）＝32＞0，
x＝，
x1＝2+2，x2＝2﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．
18．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根．
【答案】证明见解答过程．
【分析】求出Δ≥0，即可得一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0总有两个实数根．
【解答】证明：在x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0中，
Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4（2k﹣2）
＝k2+2k+1﹣8k+8
＝k2﹣6k+9
＝（k﹣3）2≥0，
∴一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0总有两个实数根．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握Δ≥0时，对应的一元二次方程有两个实数根．
19．（6分）如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，求证：四边形BFDE是矩形．
【答案】见解析．
【分析】首先根据菱形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，然后结合AF＝CE得到FB＝ED，证明出四边形BFDE是平行四边形，然后结合BE⊥CD即可证明出四边形BFDE是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∵AF＝CE，
∴AB﹣AF＝CD﹣CE，
∴FB＝ED．
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°．
∴四边形BFDE是矩形．
【点评】此题考查了菱形的性质和矩形的判定，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定定理是解题的关键．
20．（6分）在△ABC和△A'B'C'中，，且△ABC的周长为10cm．求△A'B'C'的周长．
【答案】15cm．
【分析】直接运用三边对应成比例来判断两三角形相似，进而利用性质来求解．
【解答】解：∵＝＝＝，
∴△ABC∽△A′B′C′，
设△ABC与△A′B′C′的周长分别为x cm，y cm；
∵△ABC∽△A′B′C，且相似比为，
∴＝，
∵x＝10cm，
∴y＝15cm，
即△A′B′C′的周长为15cm．
【点评】此题考查了相似三角形的判定及其性质，熟记相似三角形的判定及其性质是解题的关键．
21．（8分）下面是小刚在作业本中做的一道题，老师说小刚的方法有问题，可是小刚不明白，你能帮帮他吗？
解一元二次方程：（2x﹣1）2＝4x﹣2．
解：原方程变形为（2x﹣1）2＝2（2x﹣1）…①
两边同时除以（2x﹣1），得2x﹣1＝2…②
移项，合并得2x＝3…③
系数化为1，得…④
上述解法中，该解法第一步采用的是 提公因式 法解方程；第二步的依据是 等式的性质 ，你认为第 二 步有问题，问题在于 2x﹣1可以为0 ．
请你将该方法正确的过程写出来．
【答案】（1）提公因式，等式的性质，二，2x﹣1可以为0；
（2）见解答．
【分析】2x﹣1可以为0，所以方程两边除以（2x﹣1）不符合方程的同解原理；先移项得到（2x﹣1）2﹣2（2x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）该解法第一步采用的是提公因式法解方程；第二步的依据是等式的性质，你认为第二步有问题，问题在于2x﹣1可以为0．
故答案为：提公因式，等式的性质，二，2x﹣1可以为0；
（2）正确解法为：（2x﹣1）2＝4x﹣2，
（2x﹣1）2﹣2（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（2x﹣1﹣2）＝0，
2x﹣1＝0或2x﹣1﹣2＝0，
所以x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
22．（10分）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是 ；
（2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的结果有4种，
∴所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，＝．
（1）若BD＝20，求BG的长；
（2）求的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1））由GF∥BC推出＝即可解决问题；
（2）由AB∥CD，AB＝CD，推出＝，＝，可得＝解决问题；
【解答】解：（1）∵GF∥BC，
∴＝，
∵BD＝20，＝
∴BG＝8．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝．
【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（12分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
（3）该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为x，若前三个月的总销量为285件，求该季度的总利润．
【答案】（1）4800元；
（2）60元；
（3）20235元．
【分析】（1）利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，即可求出结论；
（2）设每件商品降价m元，则每件的销售利润为（360﹣m﹣280）元，每月可售出（60+5m）件，利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要有利于减少库存，即可确定结论；
（3）根据前三个月的总销量为285件，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，将其符合题意的值代入60（1+x），60（1+x）2中，可得出2月份、三月份的销售量，再利用该季度的总利润＝（该商品1月份的售价﹣该商品的进价）×1月份的销售量+（该商品2月份的售价﹣该商品的进价）×2月份的销售量+（该商品3月份的售价﹣该商品的进价）×3月份的销售量，即可求出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：（360﹣280）×60
＝80×60
＝4800（元）．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；
（2）设每件商品降价m元，则每件的销售利润为（360﹣m﹣280）元，每月可售出（60+5m）件，
根据题意得：（360﹣m﹣280）（60+5m）＝7200，
整理得：m2﹣68m+480＝0，
解得：m1＝8，m2＝60，
又∵要有利于减少库存，
∴m＝60．
答：每件商品应降价60元；
（3）根据题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2＝285，
整理得：4x2+12x﹣7＝0，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣3.5（不符合题意，舍去），
∴60（1+x）＝60×（1+50%）＝90（件），60（1+x）2＝60×（1+50%）2＝135（件），
∴2月份这种商品的售价为360﹣＝354（元），3月份这种商品的售价为360﹣＝345（元），
∴该季度的总利润为（360﹣280）×60+（354﹣280）×90+（345﹣280）×135＝20235（元）．
答：该季度的总利润为20235元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（12分）综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，CF＝3，请直接写出AB的长．
【答案】（1）四边形BE'FE是正方形，理由见解答过；
（2）CF＝E'F；理由见解答过程；
（3）AB＝15．
【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形；
（2）过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH＝AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BE＝AE，由旋转的性质可得AE＝CE'，可得结论；
（3）利用勾股定理可求DH＝12，BE＝BE'＝9，再利用勾股定理可求BC的长，即可得出AB的长．
【解答】解：（1）四边形BE'FE是正方形，理由如下：
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BE'FE是矩形，
又∵BE＝BE'，
∴四边形BE'FE是正方形；
（2）CF＝E'F；理由如下：
如图②，过点D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CE'，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝CE'，
∴CF＝E'F；
（3）如图①，过点D作DH⊥AE于H，
由（2）可知：HE＝CF＝3，
在Rt△DEH中，DH＝＝＝12，
∴DH＝AE＝CE'＝12，
∴BE＝AH＝E'B＝9，
在Rt△BCE′中，BC2＝E'B2+E'C2，
即BC＝＝15，
∴AB＝BC＝15．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
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