广东省广州市广东华侨中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份广东省广州市广东华侨中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁.，已知函数，已知向量，，则下列说法正确的是， 已知函数，则下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，满分150分，考试用120分钟.
注意事项
1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域内.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.
一、选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合要求的．
1．已知复数满足，则（ ）
A．3B．2C．1D．
2．若为第二象限角且，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，点、满足，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆锥的母线长为，为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知三棱锥中，，，两两互相垂直，且，，，若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（ ）
A．正西方向B．南偏西方向C．南偏西方向D．南偏西方向
7．已知函数（）在上恰有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．十七世纪法国数学家，被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知分别是的内角的对边，且，若为的费马点，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题: 本题共3小题, 每小题6分, 共18分．在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求．全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分．
9．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若，则的值为
C．若，则与的夹角为锐角
D．若，则
10． 已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．函数的图象关于对称
C．在区间上单调递增
D．将函数的图象向左平移个单位长度后所得的图象与函数的图象重 合
11．已知的内角的对边分别为，若，，，则（ ）
A．的外接圆的面积为 B．的周长为
C．是直角三角形 D．的内切圆的半径为
三、填空题: 本题共3小题, 每小题5分, 共15分．
12．若复数为纯虚数，则实数的值为 .
13．已知，，且，则 .
14．如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则 .
四、解答题: 本题共6小题, 共70分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．
15. （本题满分 13分）
已知，，，．
（1）求；
（2）求．
16. （本题满分15分）
如图，在锐角中，边上的中线长为，且，．
（1）求边的长；
（2）求的面积．
17. （本题满分15分）
已知函数．
（1）求函数的周期及在上的值域；
（2）若为锐角且，求的值．
18. （本题满分17分）
在中，内角的对边分别是，，．
（1）求角；
（2）若，求边上的角平分线长；
（3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．
19. （本题满分17分）
如图，扇形的半径为，圆心角为，是弧上的动点（不含点、），作交于点，作交于点，同时以为斜边，作Rt，且．
（1）求的面积的最大值；
（2）从点出发，经过线段、、、，到达点，求途径线段长度的最大值．
广东华侨中学2023-2024学年高一第二学期期中考试
数学参考答案
一、单选题

8．【详解】因为， ，
所以，
即.因为，所以.
因为B∈0,π，所以.
由三角形内角和性质可知，的三个内角均小于，结合题设易知点一定在的内部.
由余弦定理可得3，
解得，
所以，
所以.
故选：D.
二、多选题
10．【详解】对于A，函数，
所以的最小正周期为，A选项正确；
对于B，当时，，是函数最小值，函数的图象关于对称，B选项正确；
对于C，当时，，是余弦函数的单调递增区间，
则此时为增函数，C选项正确；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数解析式为，D选项不正确.
故选：ABC.
11．【详解】对于选项A，因为，由正弦定理可得，即，得到，
所以的外接圆的面积为，故选项A正确，
对于选项B，由余弦定理，
得到，整理得到，解得，所以，
故的周长为，所以选项B正确，
对于选项C，因为，，，所以，故选项C正确，
对于选项D，设内切圆半径为，由，得到，解得，所以选项D错误，
故选：ABC.
三、填空题
12．2
13．2
14．
四、解答题
15．【详解】（1）因为，，则，
所以.
（2）因为，所以，
又，所以，
所以.
16．【详解】（1）因为，
所以，所以在锐角中，，
由正弦定理得，，即，解得.
（2）由（1）知， ，因为，为锐角三角形，所以，
由余弦定理得，，解得或，
又，
所以，，所以的面积为.
17．【详解】（1）由已知可得，，
则函数的最小正周期为.又由，可得.
根据正弦函数的图象及性质可知，
当时，即时，取得最大值；
当时，即时，取得最小值，
所以函数的值域为.
（2）由（1）知，.
因为，所以，即.
又因为，可得.又由，所以，
可得.
则.
18．【详解】（1）在中，由正弦定理及，得，
即，而，解得，又，所以.
（2）由及余弦定理得，又，解得，
由得，
即，则，所以.
（3）因为是的中点,所以,
则,
由正弦定理得,
即,
因为,所以,所以,
所以,所以,所以,
所以,即边上的中线的取值范围为．
19．【详解】
（1）解：设，则，，
在中，，，则，
，所以，，
因为，则，
当时，即当时，的面积取最大值，且最大值为.
（2）解：过点作，垂足为点，

因为，，，则四边形为矩形，
所以，，，
因为，，则为等腰直角三角形，则，
所以，，，，
所以，
，令，
因为，则，则，
所以，，，
所以，，
所以，，
故当时，取最大值，
因此，从点出发，经过线段、、、，到达点，求途径线段长度的最大值为.
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
C
B
C
C
B
D
9
10
11
AB
ABC
ABC