广东省惠州市七校联考2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省惠州市七校联考2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.全民阅读已成为一种良好风尚，现在的图书是人们阅读的好地方．下列图书馆标志的图形中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，点(2,4)关于y轴对称的点的坐标为( )
A. (-2,4)B. (2,-4)C. (-4,2)D. (4,-2)
3.下列各式从左到右的变形为分解因式的是( )
A. x(x-y)=x2-xy
B. x2+2xy+1=x(x+2y)+1
C. (y-1)(y+1)=y2-1
D. x(x-3)+3(x-3)=(x+3)(x-3)
4.如图，厂房屋顶外框是等腰三角形，其中AB=AC，AD是△ABC的中线，且∠ABC=30∘，AB=50米，则AD=( )米.
A. 15B. 20C. 25D. 30
5.下列运算正确的是( )
A. a2+a2=a4B. (a2)3=a6C. 2a2-a2=aD. a2⋅a3=a6
6.下列各选项中，因式分解正确的是( )
A. (a2+b2)=(a+b)2B. x2-4=(x-2)2
C. m2-4m+4=(m-2)2D. -2y2+6y=-2y(y+3)
7.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE位置，点A的对应点为F.若∠A=15∘，∠BDF=120∘，则∠DEF的度数为( )
A. 135∘
B. 130∘
C. 125∘
D. 120∘
8.如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E.若AD=3，△ACE的周长为8，则△ABC的周长为( )
A. 11
B. 13
C. 14
D. 19
9.如图，已知直线l垂直平分AB，点C在直线l的左侧，且AB=9，AC=7，BC=5，P是直线l上的任意一点，则PB+PC的最小值是( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 9
10.计算(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)的结果为( )
A. 235+2B. 264+1C. 264-1D. 232-1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算(1- 3)0+| 3-1|=______.
12.如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若BC=8，CE=5，则CF的长为______.
13.若x2+kx+4是一个完全平方式，则k=______.
14.已知xm=3，xn=2，则x2m+n=______.
15.如图，等边△ABC中，点P是CA延长线上一点，点D是BC上一点，且PB=PD.若CP+CD=10，BD=3，则AB的长为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：
(1)(a2)3÷a2；
(2)因式分解：3x3-12x.
17.(本小题7分)
先化简，再求值.[(xy+2)(xy-2)+4]÷xy，其中x=2,y=-12.
18.(本小题7分)
如图，已知点B，F，C，E在同一直线上，AB//DE，BC=EF，AB=ED.求证：∠A=∠D.
19.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0,0)，A(-1,2)，B(2,1).
(1)在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；(不写画法，保留画图痕迹)
(2)在x轴上存在点P，使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为______.
20.(本小题9分)
如图，已知：在△ABC中，∠A=30∘，∠B=60∘.
(1)作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点E、F；
(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)
(2)求证：E是AB中点.
21.(本小题9分)
为着力打造天蓝地绿水净、宜居宜业宜游的绿都郑州，完成2023年12月31日前的新建绿地任务，郑州加快推进生态郑州、美丽郑州建设.如图，现新建一块长为3a+2b，宽为2a+b的长方形绿地，并在绿地中间修建横向和纵向宽度都为a的道路，将空地分成四块大小不同区域.
(1)求绿地(空白部分)的面积；(用含a、b的式子表示)
(2)若a=2，b=3，求绿地(空白部分)的面积.
22.(本小题13分)
对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式.例如由图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，这样就用图形面积验证了完全平方公式.
(1)类似地，写出图2中所表示的数学等式为______；
(2)如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为______；
(3)利用上面(2)的结论解决问题：若x+y=7，xy=6，求(x-y)2的值；
(4)利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积.如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a2+b2=130，ab=63，请求出阴影部分的面积.
23.(本小题14分)
综合与探究：
在△ABC中，AB=AC=BC=3cm，点P从点A出发以1cm/s的速度沿线段AB向点B运动.
(1)如图1，设点P的运动时间为t(s)，当t=______ s时，△PBC是直角三角形，
(2)如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，求当t为何值时，△PBQ是直角三角形.
(3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC点D，且动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发.
①设运动时间为t(s)，那么当t为______ s时，△DCQ是等腰三角形？
②如图4，连接PC在点P，Q的运动过程中，请证明△PCD和△QCD的面积始终相等.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B.
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：在平面直角坐标系中，点(2,4)关于y轴对称的点的坐标是(-2,4)，
故选：A.
根据关于y轴对称的点的坐标特征，即可解答．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积，故B错误；
C、是整式的乘法，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式积，故D正确；
故选：D.
根据因式分解的定义：将多项式和的形式化为整式积的形式，判断即可．
此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90∘，
∵∠ABC=30∘，
∴AD=12AB=12×50=25(米)，
故选：C.
根据“等腰三角形三线合一”得到AD⊥BC，再由含30∘角的直角三角形的性质即可得出结果．
本题考查等腰三角形的性质，含30∘角的直角三角形的性质，熟练掌握“等腰三角形三线合一”的性质是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、a2+a2=2a2，故选项不符合题意；
B、(a2)3=a6，故选项符合题意；
C、2a2-a2=a2，故选项不符合题意；
D、a2⋅a3=a5，故选项不符合题意；
故选：B.
根据合并同类项、幂的乘方与积的乘法和同底数幂乘法法则求解判断即可．
本题主要考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法，熟知相关计算法则是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式=(x+2)(x-2)，不符合题意；
C、原式=(m-2)2，符合题意；
D、原式=-2y(y-3)，不符合题意．
故选：C.
各式分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意得，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，
∵∠BDF=120∘，
∴∠ADF=180∘-120∘=60∘，
∴∠ADE=12∠ADF=30∘，
∴∠DEA=180∘-∠A-∠ADE=180∘-15∘-30∘=135∘，
∵△ADE沿DE折叠至△FDE位置，
∴∠DEF=∠DEA=135∘，
故选：A.
由折叠的性质可得∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，由邻补角定义可解得∠ADF=60∘，继而解得∠ADE=12∠ADF=30∘，再由三角形内角和180∘解得∠DEA=135∘，最后由折叠的性质解答即可．
本题考查三角形的内角和、折叠的性质等知识，掌握相关知识是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，AB=2AD=6，
∵△ACE的周长为8，
∴AC+CE+EA=8，
∴AC+CE+EB=AC+CB=8，
∴△ABC的周长=AC+CB+AB=8+6=14，
故选：C.
根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，AB=2AD=6，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：连接BP，
∵直线l垂直平分AB，
∴BP=AP，
∴PB+PC=PA+PC≥AC，
所以PB+PC的最小值是AC，值为7，
故选：C.
根据两点之间线段最短，找出最短距离并求解．
本题考查了最短路径，理解两点之间线段最短是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平方差公式的应用，注意：(a+b)(a-b)=a2-b2.
把前面的1变为(2-1)，再依次运用平方差公式进行计算即可．
【解答】
解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)，
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)，
=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)，
=(28-1)(28+1)(216+1)(232+1)，
=(216-1)(216+1)(232+1)，
=(232-1)(232+1)，
=264-1
故选：C.
11.【答案】 3
【解析】解：原式=1+ 3-1
=1-1+ 3
= 3，
故答案为： 3.
根据零指数幂的性质和绝对值的性质，计算乘方和去掉绝对值符号，然后算加减即可．
本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握零指数幂的性质和绝对值的性质．
12.【答案】3
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
又BC=8，
∴EF=8，
∵EC=5，
∵CF=EF-EC=8-5=3.
故答案为：3.
根据全等三角形的对应边相等得到EF=BC=7，计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
13.【答案】±4
【解析】解：∵(x±4)2=x2±4x+4，
∴若x2+kx+4是一个完全平方式，则k=±4，
故答案为：±4.
运用完全平方公式进行运算、求解．
此题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解．
14.【答案】18
【解析】解：x2m+n=(xm)2⋅xn=32×2=9×2=18，
故答案为：18.
利用幂的乘方以及同底数的幂的乘法公式，x2m+n=(xm)2⋅xn=32×2代入求值．
本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
15.【答案】163
【解析】解：过P作PM⊥BC于点M，
∵PB=PD，BD=3，
∴DM=12BD=32，
设CD=x，则CM=CD+DM=x+32，
∵CP+CD=10，
∴CP=10-x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60∘，AB=BC，
∵PM⊥BC，
∴∠PMC=90∘，
∴∠MPC=30∘，
∴CM=12CP，即x+32=12(10-x)，
解得x=73，
∴BC=BD+CD=3+73=163，
∴AB=163.
故答案为：163.
由PB=PD可过P作垂直，利用三线合一求出DM=12BD=32，再设CD=x，则CP=10-x，CM=x+32，最后在Rt△PCM中，利用30度所对直角边是斜边的一半建立方程，求出x，进而求出BC，即可得解．
本题主要考查了含有30度的直角三角形、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=a6÷a2=a4；
(2)3x3-12x=3x(x2-4)=3x(x+2)(x-2).
【解析】(1)根据同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可；
(2)根据提公因式法与公式法进行解题即可．
本题考查同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方、提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
17.【答案】解：原式=(x2y2-4+4)÷xy
=x2y2÷xy
=xy，
当x=2,y=-12时，
原式=2×(-12)
=-1.
【解析】按照平方差公式进行中括号内的乘法，然后合并同类项，再根据单项式除以单项式法则进行化简，最后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可．
本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握平方差公式、合并同类项和单项式除以单项式法则．
18.【答案】证明：∵AB//DE，
∴∠B=∠E，
在△ABC与△DEF中，
AB=ED∠B=∠EBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠A=∠D.
【解析】根据平行线的性质得出∠B=∠E，进而利用SAS证明△ABC与△DEF全等，利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，其中全等三角形的判定方法有：SSS；SAS；ASA；AAS；以及HL(直角三角形的判定方法).
19.【答案】(1,0)
【解析】解(1)如图所示，即为所求，
由图形知，A1(1,2)，B1(-2,1)；
(2)如图，作点B关于x轴的对称点B'，连接BB'交x轴于点P，
由图形知，点P即为所求，点P的坐标为(1,0)，
故答案为：(1,0).
(1)根据轴对称的性质，找出对应点的位置即可；
(2)根据两点之间，线段最短可知：作点B关于x轴的对称点B'，连接BB'交x轴于点P，可得点P的坐标．
本题主要考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
20.【答案】(1)解：如图，直线EF即为所求．
(2)证明：∵直线EF为线段BC的垂直平分线，
∴点F为BC的中点，∠BFE=90∘，
∵∠A=30∘，∠B=60∘，
∴∠C=90∘，
∴EF//AC，
∴点E是AB中点．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
(2)由线段垂直平分线的性质可得点F为BC的中点，∠BFE=90∘，可得EF//AC，进而可得点E是AB中点．
本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)用平移法得到变换图形如下，空白部分为长为2a+2b，宽为a+b的长方形，
故面积为：
(2a+2b)(a+b)
=2(a+b)2
=2a2+4ab+2b2；
答：绿地(空白部分)的面积是2a2+4ab+2b2.
(2)解：当a=2，b=3时，
原式=2(a+b)2
=2×25
=50.
答：绿地(空白部分)的面积是50.
【解析】(1)根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
(2)将a=2，b=3代入求值．
本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
22.【答案】a(b+c)=ab+ac (a-b)2+4ab=(a+b)2
【解析】解：(1)根据题意可知，图2中所表示的数学等式为：a(b+c)=ab+ac，
故答案为：a(b+c)=ab+ac；
(2)由图可知，用不同的代数式表示大正方形的面积，得到的数学等式为：
(a+b)2=(a-b)2+4ab，
故答案为：(a+b)2=(a-b)2+4ab；
(3)由(2)可知：(x+y)2=(x-y)2+4xy，
∴72=(x-y)2+4×6，
解得：(x-y)2=25.
故答案为：25；
(4)由图可知：阴影部分的面积为：
a2+b2-12a2-12(a+b)b
=a2+b2-12a2-12ab-12b2
=12a2+12b2-12ab
=12(a2+b2)-12ab
=12×130-12×63
=33.5.
(1)根据大长方形的面积等于两个小长方形的面积之和，即可求解；
(2)根据大正方形的面积等于四个小长方形的面积与小正方形的面积之和，即可求解；
(3)由(2)可知：(x+y)2=(x-y)2+4xy，即可求解；
(4)由图可知：阴影部分的面积=a2+b2-12a2-12(a+b)b，化简后即可求解．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的定义是关键．
23.【答案】1.5 1
【解析】解：(1)∵CB=BA=CA，
∴△ABC是等边三角形，
∴当P为AB的中点时，
∵AB⊥PC，则△PBC是直角三角形，
∵AP=12AB=1.5cm，
∴t=1.5÷1=1.5s，
故答案为：1.5；
(2)根据题意可得：BQ=t，AP=t，
则BP=AB-AP=3-t，
∵△ABC是等边三角形，则∠B=60∘，
当PQ⊥BC时，如图2，∠BQP=90∘，
∴∠BPQ=90∘-∠B=30∘，
∴BQ=12BP=12(3-t)，
∴12(3-t)=t，
解得：t=1；
当PQ⊥AB时，∠BPQ=90∘，
∴∠BQP=90∘-∠B=30∘，
∴2BP=BQ，即2(3-t)=t，
解得：t=2；
综上所述，当t为1s或2s时，△PBQ是直角三角形；
(3)①∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠A=60∘，
∴∠ACQ=∠A+∠B=120∘，
∵△DCQ是等腰三角形，此时只能使CD=CQ，
∴AP=CD=CQ=t，∠Q=∠CDQ=30∘，
∴∠CDQ=∠ADP=30∘，AD=AC-CD=3-t，
∴∠APD=180∘-∠A-∠ADP=180∘-60∘-30∘=90∘，
∴AD=2AP，
∴3-t=2t，
解得：t=1，
∴当t为1，△DCQ是等腰三角形，
故答案为：1；
②证明：如图，过点P作PF//BC交AC于点F，过点C作CE⊥PQ于点E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠APF=60∘，
∴△PAF是等边三角形，
∴PF=PA=CQ=t，
∵BC//FP，
∴∠CQD=∠FPD，
在△PFD和△QCD中，∠FDP=∠CDQ，∠FPD=∠CQD，PF=CQ，
∴△PFD≌△QCD(AAS)，
∴PD=DQ，
∵△PDC和△DQC的高均为CE，
∴S△PCD=12PD⋅CE，S△QCD=12DQ⋅CE，
∴S△PCD=S△QCD.
(1)由题意可得△ABC是等边三角形，推出当P为AB的中点时，AB⊥PC，此时△PBC是直角三角形，得到AP=12AB=1.5cm，即可求解；
(2)根据题意可得：AP=t，BQ=t，进而得到BP=3-t，由△ABC是等边三角形，可得∠B=60∘，分两种情况：当PQ⊥BC时，当PQ⊥AB时，根据含30∘角的直角三角形的性质，列出关于t的方程即可求解；
(3)①根据三角形的外角性质可得∠ACQ=120∘，推出△DCQ是等腰三角形，此时只能使CD=CQ，然后证明△APD是直角三角形，再列出关于t的方程即可求解；②过点P作PF//BC交AC于点F，过点C作CE⊥PQ于点E，可得△APF是等边三角形，推出AP=PF=CQ=t，证明△PFD≌△QCD，得到PD=DQ，即可证明．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30∘角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用相关知识．