江苏省宿迁市泗洪县2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份江苏省宿迁市泗洪县2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图为2024年巴黎奥运会（Olympic Games Paris 2024），即第33届夏季奥林匹克运动会比赛项目运动图标，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形一定全等
B．面积相等的两个三角形一定全等
C．成轴对称的两个三角形一定全等
D．所有的等边三角形都全等
3．（3分）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
4．（3分）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，他很快就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么判定这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．边角边B．边边边C．角边角D．角角边
5．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC，且BE＝ED＝DC，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
7．（3分）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
8．（3分）如图，将长方形纸片ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处，已知CE＝3cm，CF＝4cm，则AD的长为（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．10cm
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
9．（3分）“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，是轴对称图形的有 个．
10．（3分）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，要使△ABC≌△ABD，还需要添加的一个条件是 ．（只要写出一种情况即可）
11．（3分）等腰三角形的两边长为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，若△ABC的面积是24cm2，AD＝6cm，那么斜边上的中线长是 cm．
13．（3分）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地面上，此处离树底部 m处．
14．（3分）如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为3cm，4cm，12cm，那么这根铅笔筒在笔筒外的部分长度x的范围是 ．
15．（3分）如图，∠ABC＝30°，在∠ABC内有一点P，BP＝3，点P和点P1关于AB对称，点P与点P2关于BC对称，连接P1、P2，则P1P2＝ ．
16．（3分）如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形ABC，使△ABC≌△DEF，则这样的格点三角形最多可以画 个．
17．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AD⊥BD，若BE＝5，则AD的长为 ．
18．（3分）如图，O为△ABC内角平分线交点，过点O的直线交AB、BC于M、N，已知BN＝MN＝5，BM＝6，则点O到AC的距离为 ．
三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分.）
19．（8分）如图，AB，CD相交于点O，连接AD，BC，AD＝CB，∠A＝∠C．求证：OA＝OC．
20．（8分）如图，DC是AB的垂直平分线，交AB于点C，∠A＝40°，求∠B的度数．
21．（8分）如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨BD＝CD，AB＝AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．请你说明其中的理由．
22．（8分）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A′B′C′．
（2）若网格中最小正方形的边长为1，△ABC的面积是 ．
（3）点P在直线MN上，当△PAC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．
四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分.）
23．（10分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥BF，EC∥FD，AB＝CD．求证：EC＝FD．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝20，求△ABC的面积．
25．（10分）已知：如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）AB＝6，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．
26．（10分）义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒ABCD放倒（如图所示）后变成AB'C'D'，通过不同的方法计算梯形B'C'CD的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程．
五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分.）
27．（12分）如图，已知点C、D分别在OA、OB上，AD、BC相交于点P，且OA＝OB，OC＝OD．
（1）求证：△APC≌△BPD；
（2）点P在∠AOB的平分线上吗？为什么？
28．（12分）【阅读】
如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是中线，求AD的取值范围．小明同学的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA，得到BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即8﹣6＜2AD＜8+6，所以1＜AD＜7；
【理解】
如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点E，连接BE，使得BE＝AC，延长BE交AC于点F．求证：AF＝EF；
【运用】
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，∠EDF＝90°，求证：BE2+CF2＝EF2．
2024-2025学年江苏省宿迁市泗洪县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）
1．（3分）如图为2024年巴黎奥运会（Olympic Games Paris 2024），即第33届夏季奥林匹克运动会比赛项目运动图标，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
【解答】解：A是轴对称图形，B，C，D不是轴对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形一定全等
B．面积相等的两个三角形一定全等
C．成轴对称的两个三角形一定全等
D．所有的等边三角形都全等
【答案】C
【分析】分别根据全等三角形的定义与判断、轴对称的定义和性质以及等边三角形的性质判断即可．
【解答】解：A．形状和大小都相同的两个三角形一定全等，原说法错误，故本选项不合题意；
B．面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，故本选项不合题意；
C．成轴对称的两个三角形一定全等，说法正确，故本选项符合题意；
D．边长相等的所有的等边三角形都全等，原说法错误，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形，全等三角形的判断以及等边三角形的性质，掌握相关定义与判定方法是解答本题的关键．
3．（3分）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
【答案】C
【分析】运用勾股定理的逆定理逐一判断即可．
【解答】解：A．12+22≠32，故不是直角三角形，不符合题意；
B．22+32≠42，故不是直角三角形，不符合题意；
C．32+42＝52，故是直角三角形，符合题意；
D．42+52≠62，故不是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形的三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4．（3分）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，他很快就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么判定这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．边角边B．边边边C．角边角D．角角边
【答案】C
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
5．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
【答案】C
【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决问题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC，且BE＝ED＝DC，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【分析】由直角三角形斜边中线的性质得到AE＝BE＝DE，AD＝DE＝DC，于是判定△ABE、△ADC是等腰三角形，△ADE是等边三角形，由∠AED＝∠ADE＝60°，求出∠B＝∠C＝30°，得到△ABC是等腰三角形，即可得到答案．
【解答】解：∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∵BE＝ED，
∴AE＝BD，
∴AE＝BE＝DE，
同理：AD＝DE＝DC，
∴△ABE、△ADC是等腰三角形，△ADE是等边三角形，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝∠ADE＝60°，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴图中等腰三角形的个数是4个．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，直角三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边的中线的性质得到AE＝BE＝DE，AD＝DE＝DC．
7．（3分）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】D
【分析】由勾股定理得a2+b2＝1，再由图1可知，“生长”1次后，所有正方形的面积和为2×1＝2，由图2可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为3×1＝3，得出规律即可．
【解答】解：设直角三角形的两条直角边为：a、b，斜边为c，
∴a2+b2＝c2，
∵正方形的边长为1，
∴a2+b2＝1，
由图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，
∴此时，所有正方形的面积和为：2×1＝2，
由图2可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为：3×1＝3，
……
∴在“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是：2025×1＝2025．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的应用以及规律型等知识，根据勾股定理，得出规律是解题的关键．
8．（3分）如图，将长方形纸片ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处，已知CE＝3cm，CF＝4cm，则AD的长为（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．10cm
【答案】D
【分析】由矩形的性质得∠B＝∠C＝∠D＝90°，BC＝AD，而CE＝3cm，CF＝4cm，所以FE＝＝5cm，由折叠得AF＝AD，FE＝DE＝5cm，所以BC＝AD，AB＝CD＝8cm，由AB2+BF2＝AF2，且BF＝BC﹣CF＝AD﹣4，得82+（AD﹣4）2＝AD2，求得AD的长为10cm，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，BC＝AD，
∵CE＝3cm，CF＝4cm，
∴FE＝＝＝5（cm），
∵将长方形ABCD沿AE折叠，点D落在BC边上的点F处，
∴AF＝AD，FE＝DE＝5cm，
∴BC＝AD，AB＝CD＝CE+DE＝3+5＝8（cm），
∵AB2+BF2＝AF2，且BF＝BC﹣CF＝AD﹣4，
∴82+（AD﹣4）2＝AD2，
解得AD＝10，
∴AD的长为10cm，
故选：D．
【点评】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，正确地求出AB的长是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
9．（3分）“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，是轴对称图形的有 3 个．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据轴对称图形的概念分析判断即可得解．
【解答】解：线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线和线段本身所在的直线，
角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，
三角形不一定是轴对称图形，
圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的直线．
综上所述，是轴对称图形的有3个．
故答案为：3．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
10．（3分）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，要使△ABC≌△ABD，还需要添加的一个条件是 ∠BAC＝∠BAD（或∠ABC＝∠ABD或AC＝AD或BC＝BD等）（只要写出一种情况即可） ．（只要写出一种情况即可）
【答案】∠BAC＝∠BAD（或∠ABC＝∠ABD或AC＝AD或BC＝BD等）（只要写出一种情况即可）．
【分析】已知∠C＝∠D＝90°，AB为公共边，根据HL，AAS，证明△ABC≌△ABD即可．
【解答】解：根据题意，得∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
添加AC＝AD或BC＝BD，则Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
添加∠BAC＝∠BAD或∠ABC＝∠ABD，则△ABC≌△ABD（AAS）．
故答案为：∠BAC＝∠BAD（或∠ABC＝∠ABD或AC＝AD或BC＝BD等）（只要写出一种情况即可）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
11．（3分）等腰三角形的两边长为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长为 12cm ．
【答案】12cm．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，舍去；
当腰长是5cm时，因为2+5＞5，符合三角形三边关系，此时周长是12cm．
故答案为：12cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，若△ABC的面积是24cm2，AD＝6cm，那么斜边上的中线长是 4 cm．
【答案】4．
【分析】由三角形面积公式求出BC＝8cm，由直角三角形斜边中线的性质得到Rt△ABC斜边上的中线长是BC＝4cm．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴△ABC的面积＝BC•AD＝24cm2，
∵AD＝6cm，
∴BC＝8cm，
∵∠BAC＝90°，
∴Rt△ABC斜边上的中线长是BC＝4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形的面积，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
13．（3分）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地面上，此处离树底部 8 m处．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先设树顶端落在离树底部x米处，根据勾股定理可得62+x2＝（16﹣6）2，再解即可．
【解答】解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：
62+x2＝（16﹣6）2，
解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
14．（3分）如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为3cm，4cm，12cm，那么这根铅笔筒在笔筒外的部分长度x的范围是 2cm≤x≤3cm ．
【答案】2cm≤x≤3cm．
【分析】由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为15﹣12＝3cm，由勾股定理得，长方体的对角线长为，当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为15﹣13＝2cm，然后作答即可．
【解答】解：由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，
∴最大值为15﹣12＝3（cm），
由勾股定理得，长方体的对角线长为，
当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，
∴最小值为15﹣13＝2（cm），
∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是2cm≤x≤3cm，
故答案为：2cm≤x≤3cm．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握．
15．（3分）如图，∠ABC＝30°，在∠ABC内有一点P，BP＝3，点P和点P1关于AB对称，点P与点P2关于BC对称，连接P1、P2，则P1P2＝ 3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接BP1和BP2，根据轴对称的性质得出∠P1BP2＝60°及BP1＝BP2，据此得出△BP1P2是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：连接BP1和BP2，
∵点P和点P1关于AB对称，点P与点P2关于BC对称，
∴∠ABP1＝∠ABP，∠CBP2＝∠CBP，PB＝P1B，PB＝P2B，
∴∠P1BP2＝2（∠ABP+∠CBP）＝2∠ABC＝60°，BP1＝BP2＝BP＝3，
∴△BP1P2是等边三角形，且边长为3，
∴P1P2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
16．（3分）如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形ABC，使△ABC≌△DEF，则这样的格点三角形最多可以画 7 个．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．
【解答】解：如图所示，可作7个全等的三角形．
故答案为：7．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键．
17．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AD⊥BD，若BE＝5，则AD的长为 ．
【答案】．
【分析】由△ADE和△BCE间角的关系可得∠DAE＝∠EBC，延长AD，BC交于点F，由ASA证得△ACF≌△BCE，求出AF＝BE＝5，再由ASA证得△ABD≌△FBD，得到AD＝FD＝AF，从而求出AD的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AD⊥BD，
∴∠ADE＝∠BDF＝∠BCE＝90°，
∵∠AED＝∠BEC，
∴90°﹣∠AED＝90°﹣∠BEC，
即∠DAE＝∠EBC，
延长AD，BC交于点F，
在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴AF＝BE＝5，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠FBD，
在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD（ASA），
∴AD＝FD＝AF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形等知识，延长AD，BC构造全等三角形是解题的关键．
18．（3分）如图，O为△ABC内角平分线交点，过点O的直线交AB、BC于M、N，已知BN＝MN＝5，BM＝6，则点O到AC的距离为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OB，过点N作ND⊥AB于D，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，设OE＝x，则OE＝OF＝OH＝x，根据等腰三角形的性质得BD＝MD＝3，进而可求出DN＝4，则S△BMN＝12，然后根据S△BMN＝S△OBM+S△OBN得×6x+×5x＝12，据此解出x即可．
【解答】解：连接OB，过点N作ND⊥AB于D，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，如图所示：
设OE＝x，
∵点O为△ABC内角平分线交点，
∴OE＝OF＝OH＝x，
∵BN＝MN＝5，BM＝6，ND⊥AB，
∴BD＝MD＝BM＝3，
在Rt△BND中，BN＝5，BD＝3，
由勾股定理得：DN＝＝4，
∴S△BMN＝BM•ND＝×6×4＝12，
又∵S△BMN＝S△OBM+S△OBN＝2BM•OE+BN•OF，
∴×6x+×5x＝12，
解得：x＝，
∴OH＝x＝，
∴点O到AC的距离为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等，熟练掌握角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分.）
19．（8分）如图，AB，CD相交于点O，连接AD，BC，AD＝CB，∠A＝∠C．求证：OA＝OC．
【答案】证明见解答过程．
【分析】由∠AOD＝∠COB，∠A＝∠C，AD＝CB，根据“AAS”证明△AOD≌△COB，则OA＝OC．
【解答】证明：在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴OA＝OC．
【点评】此题重点全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明△AOD≌△COB是解题的关键．
20．（8分）如图，DC是AB的垂直平分线，交AB于点C，∠A＝40°，求∠B的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵DC是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠A＝40°，
故∠B的度数为40°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
21．（8分）如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨BD＝CD，AB＝AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．请你说明其中的理由．
【答案】证明见解析．
【分析】证△ABD≌△ACD（SSS），得∠BAD＝∠CAD，即可得出结论．
【解答】证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AP平分∠BAC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（8分）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A′B′C′．
（2）若网格中最小正方形的边长为1，△ABC的面积是 ．
（3）点P在直线MN上，当△PAC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．
【答案】（1）见解析
（2）．
（3）见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求出三角形的面积即可．
（3）连接A'C交直线MN于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）△ABC的面积为＝＝．
故答案为：．
（3）如图，连接A'C交直线MN于点P，连接AP，
此时AP+CP＝A'P+CP＝A'C，为最小值，
即△PAC周长最小，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分.）
23．（10分）如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥BF，EC∥FD，AB＝CD．求证：EC＝FD．
【答案】见试题解答内容
【分析】由平行线的性质得∠A＝∠FBD，∠ACE＝∠D，再证AC＝BD，然后证△AEC≌△BFD（ASA），即可得出结论．
【解答】证明：∵EA∥BF，EC∥FD，
∴∠A＝∠FBD，∠ACE＝∠D，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（ASA），
∴EC＝FD．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝20，求△ABC的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，进而可得出∠ADB＝∠ADC＝90°，由勾股定理求出CD的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：在△ABD中，AB＝13，AD＝12，BD＝5，
∵AD2+BD2＝122+52＝169，AB2＝132＝169，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2．
∴CD2＝202﹣122＝256，
∵CD＞0，
∴CD＝16．
∴S△ABC＝×BC×AD＝×（5+16）×12＝126．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
25．（10分）已知：如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）AB＝6，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得ED＝EB＝AB，DF＝FC＝AC，再由AB＝6，AC＝8，可得答案；
（2）根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线证明．
【解答】（1）解：∵AD是高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴ED＝EB＝AB，DF＝FC＝AC，
∵AB＝6，AC＝8，
∴AE+ED＝6，AF+DF＝8，
∴四边形AEDF的周长为6+8＝14；
（2）证明：EF⊥AD，
理由：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴点E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF⊥AD．
【点评】本题考查了三角形中位线，掌握三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
26．（10分）义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒ABCD放倒（如图所示）后变成AB'C'D'，通过不同的方法计算梯形B'C'CD的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程．
【答案】见解答．
【分析】连接AC，AC'，设AD＝B'C'＝a，CD＝AB'＝b，AC＝AC'＝c，用两种不同的方法表示梯形B'C'CD的面积，再整理即可证明结论．
【解答】证明：连接AC，AC'，由旋转的性质，知∠CAC'＝90°，
由旋转的性质和矩形的性质，知AC＝AC'，AD＝AD'＝B'C'，CD＝AB'，
设AD＝B'C'＝a，CD＝AB'＝b，AC＝AC'＝c，
∵S直角梯形B'C'CD＝（a+b）（a+b），
S直角梯形B'C'CD＝S等腰直角三角形ACC'+2S直角三角形ACD＝c2+2×ab，
∴（a+b）（a+b）＝c2+2×ab，
∴（a+b）2＝c2+2ab，
∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2．
【点评】本题考查勾股定理的证明，能够根据“S直角梯形B'C'CD＝S等腰直角三角形ACC'+2S直角三角形ACD”列出等式是解题的关键．
五、解答题（本大题共2题，每题12分，共24分.）
27．（12分）如图，已知点C、D分别在OA、OB上，AD、BC相交于点P，且OA＝OB，OC＝OD．
（1）求证：△APC≌△BPD；
（2）点P在∠AOB的平分线上吗？为什么？
【答案】（1）见解析；
（2）点P在∠AOB的平分线上，理由见解析．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）连接OP，由（1）知，△APC≌△BPD，求得PC＝PD，根据全等三角形的性质得到∠COP＝∠DOP，根据角平分线的定义得到点P在∠AOB的平分线上．
【解答】（1）证明：在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠A＝∠B，
∵AO﹣OC＝BO＝OD，
∴AC＝BD，
在△APC与△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD（AAS）；
（2）解：点P在∠AOB的平分线上，
理由：连接OP，
由（1）知，△APC≌△BPD，
∴PC＝PD，
在△PCO与△PDO中，
，
∴△PCO≌△PDO（SSS），
∴∠COP＝∠DOP，
∴点P在∠AOB的平分线上．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
28．（12分）【阅读】
如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是中线，求AD的取值范围．小明同学的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA，得到BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即8﹣6＜2AD＜8+6，所以1＜AD＜7；
【理解】
如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点E，连接BE，使得BE＝AC，延长BE交AC于点F．求证：AF＝EF；
【运用】
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，∠EDF＝90°，求证：BE2+CF2＝EF2．
【答案】【理解】见解析过程；
【运用】见解析过程．
【分析】【理解】由SAS可证△BDE≌△CDG（SAS），可得BE＝CG，∠BED＝∠G，可证∠AFE＝∠GAC，可得AE＝EF；
【运用】同上可证△BDG≌△CDF，可得∠C＝∠DBG，CF＝BG，由勾股定理可求解．
【解答】证明：【理解】延长AD到点G，使DG＝DE，连接CG．
∵AD是中线，
∴BD＝DC．
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE＝CG，∠BED＝∠G，
∵∠AEF＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠G．
∵BE＝AC，
∴AC＝CG，
∴∠G＝∠GAC，
∴∠AFE＝∠GAC，
∴AE＝EF；
【运用】：如图3，延长FD至G，使DG＝DF，连接EG，BG，
∵∠EDF＝90°，
∴ED是FG的垂直平分线，
∴EF＝EG，
同理可证：△BDG≌△CDF，
∴∠C＝∠DBG，CF＝BG，
∵∠A＝90°，
∴∠EBC+∠C＝90°，
∴∠EBC+∠DBG＝90°，
∴EG2＝BE2+BG2，
∴BE2+CF2＝EF2．
【点评】本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．
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