河南省商丘市多校联考2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份河南省商丘市多校联考2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下面图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列长度的线段能构成三角形的是（ ）
A．3，2，1B．2，1，1C．5，3，4D．3，2，6
3．（3分）如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝70°，∠C＝50°，则∠ABD等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
4．（3分）如图，△ABC≌△EDC，B、C、D在同一直线上，且CE＝2cm，CD＝3cm，则BD的长为（ ）
A．1.5cmB．2cmC．4.5cmD．6cm
5．（3分）如图，∠C＝∠DFE＝90°，下列条件中，不能判定△ACB与△DFE全等的是（ ）
A．∠A＝∠D，AB＝DEB．AC＝DF，BC＝EF
C．AB＝DE，BC＝EFD．∠A＝∠D，∠ABC＝∠E
6．（3分）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是16，则△ABE的面积是（ ）
A．16B．8C．4D．2
7．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，其中说明△O′C′D′≌△OCD的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
8．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．1cm
9．（3分）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠1＝35°，则∠A+∠C＝（ ）
A．30°B．40°C．17.5°D．35°
10．（3分）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．47.5°
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于 °．
12．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，则∠EAC的度数＝ °．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，BC＝9cm，DA⊥BA，垂足为A，那么AD＝ cm．
14．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为 ．
15．（3分）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝8，则AB的长为 ．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（9分）△ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，求△ABC的各内角的度数．
17．（9分）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°．
（1）求线段AE的长．
（2）求∠DBC的度数．
18．（9分）已知一个正多边形的边数为n．
（1）若这个正多边形的一个内角为135°，求n的值；
（2）若这个多边形的内角和为其外角和的4倍，求n的值．
19．（9分）已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1各顶点坐标；
（3）求△ABC的面积．
20．（9分）如图，△ABC，
（1）在△ABC中，按要求完成尺规作图；
①求作BC边上一点D，使∠BAD＝∠DAC；
②求作线段AC的对称轴直线l，交AD于点G；
③连接GC；
（2）（1）中得到的图形中，若∠B＝40°，∠BCA＝2α，则∠AGC＝ .（用含α的式子表示）．
21．（9分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题：
（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形；
（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形．
23．（11分）[问题情境]如图1，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线AE是经过点A的直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，则△ADB≌△CEA．
（1）[类比训练]如图2，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线AE是经过点A的任一直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，证明：BD＝DE+CE．
（2）[问题创设]如图3，在△ABC中，AB＝AC，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果∠BAC＝∠ADB＝∠AEC，那么（1）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，BD，DE，CE三条线段之间有怎样的数量关系？直接写出结论．
（3）[情境更换]如图4，把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，已知直角顶点H在y轴正半轴上，顶点G在第一象限且使其横、纵坐标始终相等，
①若另一顶点K（a，﹣3a+10）落在第四象限，求a的值；
②直接写出顶点K的横、纵坐标的关系．
2024-2025学年河南省商丘市多校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下面图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，正确记忆轴对称的概念是解题关键．
2．（3分）下列长度的线段能构成三角形的是（ ）
A．3，2，1B．2，1，1C．5，3，4D．3，2，6
【答案】C
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知．
【解答】解：A、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、1+1＝2，不够组成三角形，故此选项不符合题意；
C、3+4＞5，能组成三角形，故此选项符合题意；
D、2+3＜6，不能组成三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形中三边的关系，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形，难度适中．
3．（3分）如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝70°，∠C＝50°，则∠ABD等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【答案】C
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答即可．
【解答】解：∵∠ABD是△ABC的外角，∠A＝70°，∠C＝50°，
∴∠ABD＝∠A+∠C＝70°+50°＝120°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
4．（3分）如图，△ABC≌△EDC，B、C、D在同一直线上，且CE＝2cm，CD＝3cm，则BD的长为（ ）
A．1.5cmB．2cmC．4.5cmD．6cm
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△EDC，
∴BC＝DC＝3cm，
∴BD＝BC+CD＝6cm，
故选：D．
【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答．
5．（3分）如图，∠C＝∠DFE＝90°，下列条件中，不能判定△ACB与△DFE全等的是（ ）
A．∠A＝∠D，AB＝DEB．AC＝DF，BC＝EF
C．AB＝DE，BC＝EFD．∠A＝∠D，∠ABC＝∠E
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．
【解答】解：A、∵∠A＝∠D，AB＝DE，∠C＝∠DFE＝90°，根据AAS判定△ACB与△DFE全等，不符合题意；
B、∵AC＝DF，BC＝EF，∠C＝∠DFE＝90°，根据SAS判定△ACB与△DFE全等，不符合题意；
C、∵AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠DFE＝90°，根据HL判断Rt△ACB与Rt△DFE全等，不符合题意；
D、∵∠A＝∠D，∠ABC＝∠E，∠C＝∠DFE＝90°，由AAA不能判定△ACB与△DFE全等，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（3分）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是16，则△ABE的面积是（ ）
A．16B．8C．4D．2
【答案】C
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出△ABE的面积．
【解答】解：∵AD是BC上的中线，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴S△ABE＝S△BED＝S△ABD，
∴S△ABE＝S△ABC，
∵△ABC的面积是24，
∴S△ABE＝×16＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．
7．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，其中说明△O′C′D′≌△OCD的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【答案】A
【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
【解答】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
在△OCD与△O′C′D′，，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
显然运用的判定方法是SSS．
故选：A．
【点评】此题是一道综合题，不但考查了学生对作图方法的掌握，也是对全等三角形的判定的方法的考查．
8．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．1cm
【答案】B
【分析】过P作PD⊥OB于D，根据等腰三角形的性质和已知条件求出MD，根据含30°角的直角三角形的性质求出OD，再求出答案即可．
【解答】解：过P作PD⊥OB于D，
∵PM＝PN，MN＝2cm，
∴MD＝ND＝1（cm），
∵PD⊥OB，
∴∠PDO＝90°，
∵∠POB＝60°，
∴∠OPD＝30°，
∴OD＝OP，
∵OP＝8cm，
∴OD＝4（cm），
∴OM＝OD﹣MD＝3（cm），
故选：B．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半．
9．（3分）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠1＝35°，则∠A+∠C＝（ ）
A．30°B．40°C．17.5°D．35°
【答案】D
【分析】连接OB，同理得AO＝OB＝OC，由等腰三角形的性质得∠A＝∠ABO，∠C＝∠CBO，进而得到∠A+∠C＝∠ABC，由等腰三角形三线合一得∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，由平角的定义得∠DOE＝145°，最后由四边形内角和定理可得结论．
【解答】解：连接OB，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，
∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，∠A＝∠ABO，∠C＝∠CBO，
∴∠A+∠C＝∠ABC，
∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝35°，
∴∠DOE＝145°，
∴∠ABC＝360°﹣∠DOE﹣∠BDO﹣∠BEO＝35°；
故选：D．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．（3分）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．47.5°
【答案】C
【分析】如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．证明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此时∠MBN即可解决问题．
【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴△ABM≌△CHN（SAS），
∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，
∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBM＝15°，
∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于 52 °．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【解答】解：在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于90°﹣38°＝52°．
故答案为52．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键．
12．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，则∠EAC的度数＝ 45 °．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠BAC，然后根据∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°．
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝70°．
∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC＝70°﹣25°＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，BC＝9cm，DA⊥BA，垂足为A，那么AD＝ 3 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】由等腰三角形的性质可求∠B的度数，利用含30°角的直角三角形的性质结合等腰三角形的判定可求得BC＝3AD，进而可求解AD的长．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DA⊥AB，
∴BD＝2AD，∠DAC＝30°，
∴AD＝CD，
∴BC＝3CD＝3AD，
∵BC＝9cm，
∴AD＝3（cm）．
故答案为3．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，含30°角的直角三角形的性质，灵活运用相关性质求解标出BC＝3AD是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为 30° ．
【答案】见试题解答内容
【分析】可设∠C＝x，根据等腰三角形的性质可得∠EBC＝x，则∠DBE＝130°﹣x，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得，再根据三角形内角和为180°，列出方程即可求解．
【解答】解：设∠C＝x，
∵BE＝EC，
∴∠EBC＝∠C＝x，
∴∠DBE＝130°﹣x，
∵DB＝BE，
∴，
∵DA＝DE，
∴，
∴，
解得x＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到方程是解本题的关键．
15．（3分）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝8，则AB的长为 11 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】作E点关于CD的对称点E′，PE′，则当E′，P，F三点共线，且E′F⊥AB时，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE′B＝30°，则BE′＝2BF，再由BF＝8，BE＝6，可得16＝2CE+6，解得CE＝5，可求BC＝11，即可求解．
【解答】解：作E点关于CD的对称点E′，连接PE′，
∴PE＝PE′，
∴EP+FP＝PE′+PF，
∴当E′，P，F三点共线，且E′F⊥AB时，此时PE'+PF的值最小，即EP+FP的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵E′F⊥AB，
∴∠FE′B＝30°，
∴BE′＝2BF，
∵BF＝8，
∴E′B＝16，
∵BE＝6，CE＝CE′，
∴16＝2CE+BE＝2CE+6，
∴CE＝5，
∴AB＝BC＝BE+CE＝11，
故答案为：11．
【点评】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（9分）△ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，求△ABC的各内角的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】将第一个等式代入第二等式用∠A表示出∠C，再根据三角形的内角和等于180°列方程求出∠A，然后求解即可．
【解答】解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，
∴∠C＝∠A+10°+10°＝∠A+20°，
由三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，
所以，∠A+∠A+10°+∠A+20°＝180°，
解得∠A＝50°，
所以，∠B＝50°+10°＝60°，
∠C＝50°+20°＝70°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠A表示出∠C然后列出关于∠A的方程是解题的关键．
17．（9分）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°．
（1）求线段AE的长．
（2）求∠DBC的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，结合图形计算，得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝10，BC＝4，
∴AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝6；
（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝10°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
18．（9分）已知一个正多边形的边数为n．
（1）若这个正多边形的一个内角为135°，求n的值；
（2）若这个多边形的内角和为其外角和的4倍，求n的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据多边形的内角和与正多边形的性质列得方程，解方程即可；
（2）根据多边形的内角和与外角和列得方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意可得（n﹣2）•180°＝135°n，
整理得：180n﹣360＝135n，
解得：n＝8；
（2）由题意可得（n﹣2）•180°＝360°×4，
整理得：180n﹣360＝1440，
解得：n＝10．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，正多边形的性质，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
19．（9分）已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1各顶点坐标；
（3）求△ABC的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据轴对称变换的性质作图；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点解答；
（3）根据矩形的面积公式和三角形的面积公式计算．
【解答】解：（1）所作图形如图所示；
（2）A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；
（3）S△ABC＝3×4﹣×2×3﹣×4×1﹣×2×2＝12﹣3﹣2﹣2＝5．
【点评】本题考查的是轴对称变换的性质，掌握轴对称变换中坐标的变化特点是解题的关键，注意坐标系中不规则图形的面积的求法．
20．（9分）如图，△ABC，
（1）在△ABC中，按要求完成尺规作图；
①求作BC边上一点D，使∠BAD＝∠DAC；
②求作线段AC的对称轴直线l，交AD于点G；
③连接GC；
（2）（1）中得到的图形中，若∠B＝40°，∠BCA＝2α，则∠AGC＝ 40°+2α .（用含α的式子表示）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①作∠BAC的角平分线交BC于D，D即为所求；
②作AC的垂直平分线即可；
③直接连接GC即可；
（2）根据三角形的内角和、角平分线的性质及线段的垂直平分线的性质求解．
【解答】解：（1）如图：
①点D即为所求；
②直线l即为所求；
③连接GC；
（2）∵∠B＝40°，∠BCA＝2α，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣2α＝140°﹣2α，
∴∠BAD＝∠DAC＝70°﹣α，
∵点A，C关于直线l对称，
∴AG＝CG，
∴∠GAC＝∠ACG＝70°﹣α，
∴∠AGC＝180°﹣2（70°﹣α）＝40°+2α，
故答案为：40°+2α．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，掌握三角形的内角和、角平分线的性质及线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
21．（9分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据同角的余角相等，可证∠BCE＝∠CAD，再利用AAS证明△ACD≌△CBE；
（2）由△ACD≌△CBE，得CD＝BE，AD＝CE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠ACE+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）解：AD＝BE+DE，理由如下：
∵△ACD≌△CBE，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∵CE＝CD+DE，
∴AD＝BE+DE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟悉基本几何图形是解题的关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题：
（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形；
（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等边三角形的性质列出方程求出t的值；
（2）分两种情况讨论：①当∠DEC为直角时，②当∠EDC为直角时，分别利用30度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出t的值．
【解答】解：（1）根据题意可得 AD＝t，CD＝6﹣t，CE＝2t
∵，∠B＝30°，AC＝6cm
∴BC＝2AC＝12cm，
∵∠C＝90°﹣∠B＝30°＝60°，△DEC为等边三角形，
∴CD＝CE，
6﹣t＝2t，
t＝2，
∴当t为2时，△DEC为等边三角形；
（2）①当∠DEC为直角时，∠EDC＝30°，
∴CE＝，
2t＝（6﹣t），
t＝；
②当∠EDC为直角时，∠DEC＝30°，
CD＝CE，
6﹣t＝•2t，
t＝3．
∴当t为或3时，△DEC为直角三角形．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握30度角的直角三角形的边角关系是解题的关键．
23．（11分）[问题情境]如图1，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线AE是经过点A的直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，则△ADB≌△CEA．
（1）[类比训练]如图2，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线AE是经过点A的任一直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，证明：BD＝DE+CE．
（2）[问题创设]如图3，在△ABC中，AB＝AC，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果∠BAC＝∠ADB＝∠AEC，那么（1）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，BD，DE，CE三条线段之间有怎样的数量关系？直接写出结论．
（3）[情境更换]如图4，把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，已知直角顶点H在y轴正半轴上，顶点G在第一象限且使其横、纵坐标始终相等，
①若另一顶点K（a，﹣3a+10）落在第四象限，求a的值；
②直接写出顶点K的横、纵坐标的关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由“AAS”可证△ABD≌△CAE，可得BD＝AE，AD＝CE，可得结论；
（2）由“AAS”可证△ABD≌△CAE，可得BD＝AE，AD＝CE，可得结论；
（3）由“AAS”可证△GHN≌△HKP，可得NG＝HP，NH＝PK，列出等式可求解．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AE
∴∠BAC＝∠ADB＝90°
∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD+DE，
∴BD＝DE+CE；
（2）结论不成立，DE＝CE+BD，理由如下：
∵∠ABD+∠ADB＝∠BAE＝∠BAC+∠CAE，∠BAC＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵DE＝AD+AE，
∴DE＝CE+BD；
（3）①如图4，过点G作GN⊥y轴于N，过点K作KP⊥y轴于P，
设OH＝b，
∴∠GNH＝∠KPH＝∠GHK＝90°，
∴∠HGN+∠GHN＝∠GHN+∠KHP＝90°，
∴∠NGH＝∠KHP，
又∵HG＝HK，
∴△GHN≌△HKP（AAS），
∴NG＝HP，NH＝PK，
∵顶点G在第一象限且使其横、纵坐标始终相等，顶点K（a，﹣3a+10）落在第四象限，
∴GN＝NO，PK＝a，OP＝3a﹣10，
∴NH＝PK＝a，HP＝3a﹣10+b＝NG，
∴a+b＝3a﹣10+b，
∴a＝5．
②设K（x，y），
由①得GN＝NO，PK＝x，OP＝﹣y，
∴NH＝PK＝x，HP＝﹣y+b＝NG，
∴x+b＝﹣y+b，
∴x+y＝0，
∴横纵坐标互为相反数．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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