四川省成都市龙泉驿区东竞高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份四川省成都市龙泉驿区东竞高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知两平行直线和，则与的距离为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、班级、座号、准考证号填写在试卷和答题卡上．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接写在答题卡对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域无效．
第Ⅰ卷（选择题58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l经过，两点，则l的斜率为（ ）
A．2B．C．D．
2．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，…，的平均数为10，标准差为2，则，，…，的平均数和标准差分别为（ ）
A．19和2B．19和4C．19和8D．19和16
4．分别郑两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（ ）
A．A与B，A与C均相互独立B．A与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥D．A与B互斥，A与C相互独立
5．已知两平行直线和，则与的距离为（ ）
A．1B．C．D．2
6．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（ ）．
A．0.25B．0.4C．0.6D．0.75
7．设点，，直线l过点，且与线段AB相交，则直线l的斜率取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有多选、错选的得0分．
9．在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（ ）
A．该班级此次练习数学成绩的均分为118
B．该班级此次练习数学成绩的方差为16.625
C．利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生
D．从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为
10．在四面体PABC中，下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若Q为的重心，则
C．若，，则
D．若四面体PABC的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则
11．直线的方程为，若在x轴上的截距为，且．则下列说法正确的是（ ）
A．直线与的交点坐标为，直线在y轴上的截距是
B．已知直线经过与的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，的方程为
C．已知动直线经过与的交点，当原点到距离最大时，到距离为
D．直线，，若，则或2
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卡相应位置上．
12．已知直线经过，则该直线过定点__________．（写出该定点坐标）
13．数据3.2，3.6，4.5，2.4，4.6，6.4，7.8，7.9，8.0，8.1，8.4，8.6的上四分位数是__________．
14．在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，Q是棱上一点，且，，N为线段AQ的中点，给出下列命题：
①C，M，N，Q四点共面；
②三棱锥的体积与的取值有关；
③当时，；
④当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为．
其中正确的有__________（填写序号）．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）A，B，C三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立．已知A闯关成功的概率是，A，B，C三人闯关都成功的概率是，A，B，C三人闯关都不成功的概率是．
（1）求B，C两人各自闯关成功的概率；
（2）求A，B，C三人中恰有两人闯关成功的概率；
（3）求A，B，C三人中至少一人闯关成功的概率．
16．（15分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线l的方程为，．
（1）若，求过点且与直线l平行的直线方程；
（2）已知原点O到直线l的距离为4，求a的值；
（3）已知直线l在两条坐标轴上截得的截距相等，求a的值．
17．（15分）已知是边长为2的正方体，点E为的中点，点F为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面EFC与平面BFC夹角的余弦值．
（3）求点到直线的距离．
18．（17分）《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）．
（1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
（2）设表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，s精确到个位，，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？
19．（17分）
如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，E、F分别为DC、BC的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）边BC上是否存在点M，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】直接代入两点的斜率公式，计算即可得出答案．
【详解】，故选A．
【点睛】本题考查两点的斜率公式，属于基础题．
2．B
【分析】根据共面向量的推论得到，解方程即可．
【详解】因为点M在平面ABC内，所以点M，A，B，C四点共面，
所以，解得．故选：B．
3．B
【分析】根据平均数和方差的性质求解．
【详解】已知，，…，的平均数为10，标准差为2，方差为4，
则，，…，的平均数为，方差为，标准差为4．
故选：B．
4．A
【分析】结合相互独立事件的概念直接判断即可
【详解】因为事件A是否发生对事件B、C是否发生不产生影响，
所以A与B，A与C均相互独立．互独立．故选：A
5．A
【分析】根据，求得，得到的方程，解两平行线间的距离公式，即可求解．
【详解】由题意，两直线和，
因为，可得，即，所以，
把直线化为，
根据两平行线间的距离公式，可得，即两平行线间的距离为1．故选：A．
6．D
【分析】根据题意分析随机数中没有1，2，3，4中的数的个数，再根据对立事件的概率求解即可．
【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，
随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，
故三只豚鼠都没被感染的概率为，
则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为．故选：D
7．C
【分析】利用直线斜率定义数形结合即可求得直线l的斜率取值范围．
【详解】，
直线l过点，且与线段AB相交，则直线l的斜率取值范围是．故选：C
8．A
【分析】建立空间直角坐标系，写出，的坐标，由夹角公式可得结果．
【详解】如图，以C为坐标原点，CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为．故选：A．
9．BCD
【分析】利用均值、方差、分层随机抽样、古典概型等知识逐项判断即可．
【详解】对于A，该班级此次练习数学成绩的均分，故A错误；
对于B，该班级此次练习数学成绩的方差
，故B正确；
对于C，利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取的男生人数为，C正确；
对于D，从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率，故D正确．故选BCD．
10．ABC
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量运算逐项计算判断即得．
【详解】对于A，由，
得，A正确；
对于B，由Q为的重心，得，
则，
于是，即，B正确；
对于C，若，，
则
，C正确；
对于D，由四面体PABC的各棱长都为2，得，
，
则，
D错误．故选：ABC
11．AC
【分析】求出直线方程，解出两直线交点判断A，根据截距的关系求出直线方程判断B，根据条件求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解判断C，根据直线平行求出a再检验即可判断D．
【详解】由，，可知，由在x轴上的截距为知过点，
所以直线的方程为，即，
对A，联立，解得，即直线与的交点坐标为，
由可得，即直线在y轴上的截距是，故A正确；
对B，当直线经过与的交点且过原点时，方程为，即，满足题意，
当直线不过原点时，设直线方程为，代入点可得，
所以直线方程为，综上满足条件的直线为或，故B错误；
对C，由题意过点的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和连线所在直线垂直，
故所求直线的斜率为，所以直线为，即，
所以到距离为，故C正确；
对D，因为，所以，解得或2，
当时，直线与平行，
当时，直线与重合，故D错误．故选：AC
12．
【分析】将直线化为，即可确定定点坐标．
【详解】由可化为，即直线恒过点．故答案为：
【点睛】本题考查了直线过定点的坐标求法，属于基础题．
13．8.05
【分析】根据百分位数的定义即可求解．
【详解】由题意可得，将12位同学的身高从小到大排列为：
2.4，3.2，3.6，4.5，4.6，6.4，7.8，7.9，8.0，8.1，8.4，8.6，
故这组数据的上四分位数为第9和第10个数据的平均数，即．故答案为：8.05．
14．①③
【分析】对于①，根据相交直线确定唯一平面即可判断；
对于②，转化顶点即可判断；
对于③，建立空间直角坐标系，当时，即可判断；
对于④，当时，Q为的中点，过Q作且，则易证，
易得过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形ACPQ，再计算等腰梯形ACPQ的面积即可判断．
【详解】
对于①，易知，
因为，所以C，M，N，Q四点共面，故①正确；
对于②，因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
又易知N到底面的距离等于定值，而的面积一定，
所以三棱锥的体积为定值，故②错误；
对于③，建立如图所示空间直角坐标系，
所以由题知，，，，，
所以，，
因为，所以，所以，
当时，，解得，
所以Q与重合，所以，故③正确；
对于④，当时，Q为的中点，过Q作且，则易证，
所以易得过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形ACPQ，
又易知，，从而可得等腰梯形ACPQ的高为，
所以截面等腰梯形ACPQ的面积为，故④错误，故答案为：①③
15．（1）B，C两人各自闯关成功的概率都是．
（2）（3）
【分析】（1）记A，B，C三人各自闯关成功分别为事件D，E，F，三人各自独立闯关，
由题意结合独立事件的概率公式可列出方程组，从而解得B，C两人各自闯关成功的概率；
（2）三人中恰有两人闯关成功为事件，
利用独立事件和互斥事件的概率公式计算即可．
【详解】（1）记A，B，C三人各自闯关成功分别为事件D，E，F，
三人闯关成功与否得相互独立，且满足
解得，，所以B，C两人各自闯关成功的概率都是．
（2）设A，B，C三人中恰有两人闯关成功为事件H，
则，
所以三人中恰有两人闯关成功的概率为．
（3）略
16．（1）（2）（3）或．
【分析】（1）代入计算出斜率，利用点斜式写出直线方程；
（2）列出点到直线的距离公式，建立等式求解可求出a的值；
（3）求在两条坐标轴上截得的截距，建立等式求解即可．
【详解】（1）当时，直线l的方程为，斜率为，
则过点且与直线l平行的直线方程为，即．
（2）原点O到直线l的距离为，解得：．
（3）时，不满足条件；
当时，令，，令，，则有，解得：或．
17．（1）证明过程见解析
（2）（3）
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到，求出垂直关系；
（2）求出两平面的法向量，利用面面角的余弦夹角公式得到答案；
（3）利用点到直线距离向量公式求出答案．
【详解】（1）以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，，，，，
故，故，所以；
（2）由图可知，平面BFC的法向量为，
设平面EFC的法向量为，
令得，，故，
平面EFC与平面BFC夹角的余弦值为；
（3），，，
点到直线的距离为
18．（1）61，241；
（2）可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
【分析】（1）利用表格中的数据，根据平均数和方差的计算公式计算即可；
（2）根据题中公式，计算出区间并判断数据落在该区间的概率，计算出区间并判断段数据落在该区间的概率，与题中条件比较即可得出结论．
【详解】（1）略
（2）由知，，则，，
该抽样数据落在内的频率约为；
又，，
该抽样数据落在内的频率约为，
可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
19．（1）详见解析；（2）；（3）存在点M，此时．
【分析】（1）建立空间直角坐标系后，用直线的方向向量和平面的法向量垂直，即可证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系后，用点到平面的距离公式即可求解；
（3）假设存在，列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：因为平面ABCD，以点O为坐标原点，
，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则
令，则，
因为，所以，所以，
又因为平面，所以平面；
（2）解：由（1）知，，
所以点到平面的距离为；
（3）解：假设边BC上存在点满足条件，，则，
设直线与平面所成角为，
由题意可得，
化简得，则或（舍去），
即存在点M符合题意，此时．质量指标值
产品
60
100
160
300
200
100
80
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
A
A
D
C
A
BCD
ABC
题号
11
答案
AC