上海市宝山中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(无答案)

这是一份上海市宝山中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(无答案)，共4页。

考生注意：
1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2．本考试分设试卷和答题纸，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸的相应位置，在试卷上作答一律不得分．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．在空间内，异面直线所成角的取值范围是______．
2．已知向量，则向量的单位向量______．
3．过直线外一点有______条直线与该直线垂直．
4．已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为______．
5．将边长分别为1cm和2cm的矩形，绕边长为2cm的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为______．
6．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则______．
7．平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为______．
8．若正四面体的棱长为2，则它的体积为______．
9．在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为______．
10．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______．
11．若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则______．
第10题图
12．如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13．设空间中有四个点，则“其中三点共线”是“四点共面"的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
14．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，且则B．若，且则
C．若，且则D．若，且则
15．如图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，与的位置关系为（ ）
A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直
16．已知异面直线、所成角为，为空间一定点，则过点且与、所成角都是的直线有且仅有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．6条
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分）
已知空间中三点，，，设，．
（1）求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数的值．
18．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分）
如图，正方体棱长为，、分别为、的中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
19．（本题满分16分，共有2个小题，第1小题8分，第2小题8分）
如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20．（本题满分16分，共有2个小题，第1小题8分，第2小题8分）
如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，且该几何体有半径为1的外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上），外接球球心为．
（1）若圆柱的底面圆半径为，求几何体的体积；
（2）若，求几何体的表面积．
21．（本题满分18分，共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
长方体中，，，、分别为棱、上的动点，且．
（1）当时，求证：直线平面；
（2）当，且的面积取得最大值时，求点到平面的距离；
（3）当，时，求从点经此长方体表面到达点最短距离．