全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 03线段问题（含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 03线段问题（含答案解析版），共17页。试卷主要包含了横竖线段，斜线段等内容，欢迎下载使用。

二、斜线段（化斜为直）
一、横竖线段
例1．（2024秋•绥中县期中）如图，二次函数y＝x2﹣4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B（1，﹣3），与y轴交于点C．
（1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标；
（2）点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．当时，求m的值．
【解答】解：（1）对于y＝x2﹣4x，当y＝0时，﹣x2+4x＝0，
解得x1＝0，x2＝4．
则点A的坐标为：（4，0），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x﹣4，
则点C（0，﹣4）；
（2）由题意可知：点P，D的坐标分别为 P（m，m2﹣4m），D（m，m﹣4），
∵点C的坐标为（0，4），
则OC＝4，
则PD＝CO＝2，
即|m2﹣4m﹣m+4|＝2，
解得：m＝或2或3（不合题意的值已舍去）．
对应练习：
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）写出线段CE的长（用含有m的代数式表示）；
（3）若PE＝5EF，求m的值；
【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），即y＝﹣x2+4x+5；
（2）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则C（0，3），
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝4，则D（4，0），
所以CD＝＝5，
设P（m，﹣m2+4m+5），则E（m，﹣m+3），F（m，0），
∵EF∥OC，
∴CE：OF＝CD：OD，即CE：m＝5：4，
∴CE＝m（0＜m＜5）；
（3）存在．
PE＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m+2，EF＝|﹣m+3|，
∵PE＝5EF，
∴﹣m2+m+2＝5|﹣m+3|，
当﹣m2+m+2＝5（﹣m+3），解得m1＝6.5（舍去），m2＝2，
当﹣m2+m+2＝﹣5（﹣m+3），解得m1＝（舍去），m2＝，
综上所述，m的值为2或；
2．（2024•咸丰县模拟）综合与探究
如图，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．若点P在线段BC上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m．
（1）求点A，B，C的坐标，并直接写出直线BC的函数解析式．
（2）若PF＝2PE，求m的值．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣4，
将点B代入可得4k﹣4＝0，
解得k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4；
（2）∵点P的横坐标为m，
∴P（m，m﹣4），则E（m，m2﹣3m﹣4），F（m，0），
∴PF＝4﹣m，PE＝﹣m2+4m，
∵PF＝2PE，
∴4﹣m＝2（﹣m2+4m），
解得m＝4（舍）或m＝；
3．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是抛物线在第四象限上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F
（1）用含m的代数式表示线段PF的长度，并求出其最大值；
（2）若EF：FP＝2：3，求点P的坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
当y＝0时，有x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
∵点P的横坐标为m，
∴P（m，m2﹣2m﹣3）．
当x＝m时，y＝m﹣3（0＜m＜3），
∴F（m，m﹣3）．
∴PF＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m．
∵PF＝﹣m2+3m＝﹣+，﹣1＜0，
∴PF＝﹣m2+3m（0＜m＜3），当m＝时，PF取最大值．
（2）∵F（m，m﹣3），FE⊥x轴，
∴EF＝﹣（m﹣3）＝3﹣m，
∵＝＝，
∴m＝，
此时点P的坐标为（，﹣）．
4．（2024秋•西岗区校级月考）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接BC．
（1）求该二次函数和直线BC的解析式；
（2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，作PQ⊥x轴于点Q，交BC于点H，当PH的长度最大时，求点P的坐标；
【解答】解：（1）把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣3，
当y＝0，即x2﹣x﹣3＝0；
解得：x1＝﹣1，x2＝6，
∴点B的坐标为（6，0），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，代入得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣3；
（2）由（1）知直线BC的解析式为y＝﹣3；
设P（m，m2﹣m﹣3），
∵PQ⊥x轴于点Q，交BC于点H，
∴H（m，m﹣3），
∴PH＝m﹣3﹣m2+m+3＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣3）2+，
∵＜0，
∴当m＝3时，PH的长度最大，
∴P（3，﹣6）；
例2．（2024•重庆模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0）交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接AC，BC，点P为线段AC下方抛物线上一动点，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，过点Q作QH∥x轴交BC于点H，求的最大值以及点P的坐标；
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）利用待定系数法分别求得：直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，直线BC的解析式为y＝3x﹣3，设P（t，t2+2t﹣3），则Q（t，﹣t﹣3），H（﹣t，﹣t﹣3），进而可得PQ+QH＝﹣（t+2）2+4，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）将二次函数沿射线AC平移一定的单位长度，相当于向右平移m个单位，向下平移m个单位，可设新抛物线的解析式为y＝（x+1﹣m）2﹣4﹣m，将点（1，﹣4）代入求得m＝1或4，当m＝1时，新抛物线的解析式为y＝x2﹣5，则C′（1，﹣4），在x轴上取点L（﹣1，0），连接C′L交新抛物线于点G，过点L作LJ⊥AC于J，则∠AC'G＝∠OCB，运用待定系数法求得直线C′L的解析式为y＝﹣2x﹣2，联立即可求得点G的横坐标；在y轴上取点S（0，﹣），连接C′S交新抛物线于点G，过点S作ST⊥AC于点T，则∠AC'G＝∠OCB，运用待定系数法求得直线C′S的解析式，同理可得点G的横坐标；当m＝4时，同理可求得点G的横坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3交y轴于点C，
∴C（0，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝kx+d，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）分别代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
同理可得：直线BC的解析式为y＝3x﹣3，
设P（t，t2+2t﹣3），则Q（t，﹣t﹣3），
∴PQ＝﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t，
∵QH∥x轴，
∴点H的纵坐标为﹣t﹣3，代入y＝3x﹣3，
得﹣t﹣3＝3x﹣3，
解得：x＝﹣t，
∴H（﹣t，﹣t﹣3），
∴QH＝﹣t﹣t＝﹣t，
∴PQ+QH＝﹣t2﹣3t+×（﹣t）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当t＝﹣2时，PQ+QH取得最大值4，此时，点P的坐标为（﹣2，﹣3）；
对应练习：
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为 （﹣1，0），点B坐标为（3，0），
∴．
（2）当x＝0时，，
∴C（0，2），
设直线BC为y＝kx+2，
∴3k+2＝0，
解得，
∴直线BC为，
设，
∴，
∴2PD+PE＝＝，
当时，有最大值，
此时．
二、斜线段
例3．（2024•江汉区校级模拟）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且AB＝8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点D为抛物线在第四象限的一点，连AD交线段BC于点E，且AE＝6ED，求点D的坐标；
【解答】（1）解：令y＝（x﹣1）2﹣m＝0，
化简得：（x﹣1）2＝m2，
解得：x1＝1﹣m，x2＝1+m，
∴A（1﹣m，0），B（1+m，0），
∴AB＝（1+m）﹣（1﹣m）＝2m＝8，
解得：m＝4，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣x﹣，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣；
（2）解：如图1，过点D作DF∥x轴交直线BC于点F，
在y＝x2﹣x﹣中，令x＝0，得y＝﹣，
∴C（0，﹣），
令y＝0，得x2﹣x﹣＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝5，
∴A（﹣3，0），B（5，0），
∴AB＝5﹣（﹣3）＝8，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B、C的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣，
设D（t，t2﹣t﹣），
∵DF∥x轴，
∴点F的纵坐标为t2﹣t﹣，
则t2﹣t﹣＝x﹣，
解得：x＝t2﹣t，
∴F（t2﹣t，t2﹣t﹣），
∴DF＝t﹣（t2﹣t）＝﹣t2+t，
∵DF∥AB，AE＝6ED，
∴△DEF∽△AEB，
∴＝＝，
∴DF＝AB，
即﹣t2+t＝×8，
解得：t1＝1，t2＝4，
当t＝1时，t2﹣t﹣＝﹣﹣＝﹣4，
当t＝4时，t2﹣t﹣＝×42﹣×4﹣＝﹣，
∴点D的坐标为（1，﹣4）或（4，﹣）；
对应练习：
1．（2024•绥化三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，顶点坐标为（1，﹣4）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直线BC与OD相交于点E，当D为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标；
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），（1，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣3，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交CB于点P，
当y＝x2﹣2x﹣3＝0时，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴B（3，0），
当x＝0时，得y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC解析式为y＝mx+n，
代入B（3，0），C（0，﹣3），
得，
解得，
∴直线BC解析式为y＝x﹣3，
设D（t，t2﹣2t﹣3），则P（t，t﹣3），
∴DP＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t，
∵DF∥OC，
∴△DEP∽△OEC，
∴，
∴，
解得t＝1或t＝2，
∴D（1，﹣4）或（2，﹣3）；
2．（2024•达州模拟）如图，抛物线（m为常数）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，点D的坐标为．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）若点P为x轴上任意一点；在（2）的结论下，当的值最小时，请直接写出点P的坐标和此时的最小值．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0）
∵抛物线和一次函数y＝kx+b的图象都经过点A、D
∴，，
解得：，，
∴抛物线解析式为：，一次函数解析式为：，
（2）如图1，过E作EM⊥x轴，交x轴于点F，交AD于点M，
设，则，
∴，
AF＝a+1，
∴S△ACE＝S△AME﹣S△MCE
＝
＝
＝，
＝
＝，
∴当时，△ACE面积最大，最大值为，
此时，即点；
（3）如图2，过E作EM⊥x轴，交x轴于点F，交AD于点M，过P作PG⊥AD于点G，
由（2）可知：，
∴，
∴，
由得：当x＝0时，，
∴，
则有，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：，
∴，
∴在Rt△AGP中，，
则当点G，P，E三点共线时有最小值GE，
由（1）得：A（﹣1，0），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∵，
∴，
∵∠EFP＝∠EGM＝90°，∠FEP＝∠GEM，
∴△EFP∽△EGM，
∴，
∴，
∴，
∴点．
1.横线段
∵AB//x轴
∴AB=|xA-xB|
2.竖线段
∵AB//y轴
∴AB=|yA-yB|
1.勾股转化：
2.特殊角转化：
∵∠OBC=45°
∴
3.相似三角形转化：
∵DF∥OC，
∴△DEP∽△OEC，
∴