全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 04铅垂法求面积（含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 04铅垂法求面积（含答案解析版），共26页。试卷主要包含了求三角形面积最值，求四边形面积最值等内容，欢迎下载使用。

一、求三角形面积最值
例1．如图，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A、B点，直线l：y＝kx﹣3k+4与抛物线交于E，F两点．
（1）直线l 过定点： （3，4） ；
（2）求S△BEF的最小值．
【解答】解：（1）∵y＝kx﹣3k+4，
∴k（x﹣3）＝y﹣4，
∵k为任意不为0的实数，
∴x﹣3＝0，y﹣4＝0，解得x＝3，y＝4，
∴直线l 过定点（3，4）；
故答案为（3，4）；
（2）设E、F点的横坐标分别为x1，x2，
则x1，x2为方程x2﹣x+＝kx﹣3k+4的两根，
整理得x2﹣4（k+1）x+12k﹣13＝0，
∴x1+x2＝4（k+1），x1x2＝12k﹣13，
∴x2﹣x1＝＝＝，
当k＝时，x2﹣x1有最小值，最小值为8，
当y＝0时，x2﹣x+＝0，解得x1＝1，x2＝3，则B（3，0），
作BD∥y轴交直线EF于D，如图，则D（3，4），
∴S△BEF＝S△BDE+S△BDF＝×4×（x2﹣x1），
∴S△BEF的最小值为×4×8＝16．
例2．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+1和y轴交于点A，与它的对称轴直线x＝1交于点B，过定点的直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与该抛物线交于点M，N．若△BMN的面积等于1，求k的值．
【解答】解：令x＝0，解得：y＝1，
∴A的坐标为（0，1）；
∵一次函数可化为：y＝kx﹣k+4＝k（x﹣1）+4，
∴当x＝1时，y＝4，即该直线所过定点E坐标为（1，4）．
由（1）知抛物线L的解析式为 y＝﹣x2+2x+1，
∴y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
∴点B（1，2），
∴BE＝4﹣2＝2．
S△BMN＝1，即S△BNE﹣S△BME＝BE•xN﹣BE•xM＝1，
∴xN﹣xM＝1，
由 得：x2+（k﹣2）x﹣k+3＝0，
解得：x＝＝，
则xN＝，xM＝，
由xN﹣xM＝1得：＝1，
∴k＝±3．
∵直线经过一二四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣3．
对应练习：
1．（2024•凉州区二模）如图，已知：关于y的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式．
（2）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达B点时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出面积．
【解答】解：（1）由C（0，6）的坐标知，c＝6，
即抛物线的表达式为：y＝x2+bx+6，
将点A的坐标代入上式得：4+2b+6＝0，
解得：b＝﹣5，
则二次函数的表达式为：y＝x2﹣5x+6；
（2）如图2，
设A运动时间为t，由AB＝1，得BM＝1﹣t，则DN＝2t，
∴S△MNB＝×（1﹣t）×2t＝﹣t2+t＝﹣（t﹣ ）2+，
当t＝ 时，S△MNB面积最大，最大面积为 ；
即当M（ ，0）、N（ ，1）或（ ，﹣1）时，△MNB面积最大，最大面积是 ．
2．（2024•沂源县一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值及点P的坐标；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣5，0）、B（﹣4，﹣3）代入抛物线y＝ax2+bx+5，
得：，
解得：，
∴该抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①；
（2）①令y＝0，得x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5，
∴点C（﹣1，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，将点B、C的坐标代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x+1…②，
如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），
∴PG＝t+1﹣（t2+6t+5）＝﹣t2﹣5t﹣4，
∴S△PBC＝PG•（xC﹣xB）＝×（﹣t2﹣5t﹣4）×3＝﹣t2﹣t﹣6＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为，此时P（﹣，﹣）；
②∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
∴顶点D（﹣3，﹣4），
设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴点H在BC的中垂线上，
∵线段BC的中点坐标为（﹣，﹣），
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣，﹣）
代入上式得﹣＝﹣（﹣）+m，
解得：m＝﹣4，
∴直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，
设直线CD的解析式为y＝k′x+b′，把C（﹣1，0），D（﹣3，﹣4）代入得：，
解得：，
∴直线CD的解析式为：y＝2x+2…④，
联立③④得：，
解得：，
∴点H（﹣2，﹣2），
设直线BH的解析式为y＝k″x+b″，则，
解得：，
∴直线BH的解析式为：y＝x﹣1…⑤，
联立①⑤得，
解得：，（舍去），
故点P（﹣，﹣）；
当点P（P′）在直线BC上方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，
即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），
故点P（0，5）；
综上所述，点P的坐标为P（﹣，﹣）或（0，5）．
3．（2024•鼓楼区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，PD⊥BC于点D，求PD的最大值；
【解答】（1）解：对于y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴点C（0，﹣3）；
（2）解：过点P作PE⊥x轴于E，交BC于点F，如图1：
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将点B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设P（x，x2﹣2x﹣3），则F（x，x﹣3），
∴PF＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∵PE⊥x轴，
∴PE∥y轴，
∴∠PFD＝∠BCO，
∵∠PDF＝∠BOC＝90°，
∴△PDF∽△BCO，
∴＝，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝3，OC＝3，
∴BC＝3，
∴＝，
∴PD＝﹣x2+x，
∴当x＝﹣＝时，PD最大为；
4．（2023•翠屏区校级模拟）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，当△ACE面积的最大值时，求出此时点E的坐标；
【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，
∴，
∴抛物线的解析式为，即．
令y＝0，则，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0）；
∴AB＝OA+OB＝4，
∵△ABD的面积为5，
∴，
∴，
∴，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴．
设直线AD的解析式为y＝kx+b，则有
，
解得：，
∴直线AD的解析式为．
（2）如图，过点E作EM∥y轴交AD于M，
设，则，
∴，
∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME
＝
＝
＝
＝．
∴当此时E点坐标为．
5．（2024秋•长沙期中）如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；
【解答】解：（1）在y＝﹣x+2中，令x＝0，得y＝2，
∴B（0，2），
令y＝0，得﹣x+2＝0，
解得：x＝4，
∴C（4，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0），
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图，过点P作PE∥y轴交BC于点E，
设P（t，﹣+t+2），则E（t，﹣t+2），
∴PE＝﹣+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，
∴S△BCP＝PE•BC＝×（﹣+2t）×4＝﹣（t﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，S△BCP有最大值，最大值为4，此时，点P的坐标为（2，3）；
6．（2024秋•阜阳期中）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求b、c的值；
（2）若点P是抛物线BC段上的一点，当△PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；
【解答】解：（1）把点A（﹣2，0）和点B（6，0）代入，得：
，
解得，
∴；
（2）当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
∴CO＝6，
方法一：如图1，连接OP，
设点，
∴，，
∵，
∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC
＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC
＝
＝，
∴当m＝3时，，此时；
方法二：如图2，作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，
设BC解析式为：y＝kx+t，将B（6，0），C（0，﹣6）代入得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，
∴D（m，m﹣6），
∴，
∴，
∴当m＝3时，，此时；
7．（2024秋•西岗区校级月考）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接BC．
（1）求该二次函数和直线BC的解析式；
（2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，作PQ⊥x轴于点Q，交BC于点H，当PH的长度最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为 ．
【解答】解：（1）把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣3，
当y＝0，即x2﹣x﹣3＝0；
解得：x1＝﹣1，x2＝6，
∴点B的坐标为（6，0），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，代入得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣3；
（2）由（1）知直线BC的解析式为y＝﹣3；
设P（m，m2﹣m﹣3），
∵PQ⊥x轴于点Q，交BC于点H，
∴H（m，m﹣3），
∴PH＝m﹣3﹣m2+m+3＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣3）2+，
∵＜0，
∴当m＝3时，PH的长度最大，
∴P（3，﹣6）；
（3）由（1）知，直线BC的解析式为y＝﹣3，点B的坐标为（6，0），
作PQ⊥x轴于点Q，交BC于点H，如图，
设点P（m，m2﹣m﹣3），则点H的坐标为（m，m﹣3），
∴PH＝m﹣3﹣m2+m+3＝﹣m2+3m，
∴S△PBC＝PD•OB＝×6×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣3）2+，
∴△PBC最大为，
∴PN＝＝，
故答案为：．
8．（2024秋•吉林月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求点A的坐标；
（3）连接CP、BP，当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值；
【解答】解：（1）将C（0，3）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）令0＝﹣x2+2x+3，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A的坐标（﹣1，0）；
（3）当，即点时，S△BCP有最大值；理由如下：
设直线BC的解析式为：y＝kx+3，
将B（3，0）代入y＝kx+3得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1；
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
过点P作PD∥y轴，如图1所示：
设点P（m，﹣m2+2m+3），则D（m，﹣m+3）（0＜m＜3），
＝
＝，
∴当，即点时，S△BCP有最大值，且最大值为；
9．（2023秋•大丰区月考）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴相交于点C（0，4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P．连接AP，CP，当三角形ACP的面积最大时，求此时点P的坐标；
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过A（﹣4，0）与点C（0，4），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）设直线AC解析式为y＝kx+n，
则有，解得：，
即直线AC解析式为y＝x+4；
设点P坐标为（m，﹣m2﹣3m+4），
∵PD⊥x轴，
∴点Q的坐标为（m，m+4），
∴PQ＝﹣m2﹣3m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∵，OA＝4，
∴，
当m＝﹣2时，面积有最大值，此时﹣m2﹣3m+4＝6，
即此时点P的坐标为（﹣2，6）；
10．（2024•深圳三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点C（0，3），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值；
【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）设P（x，﹣x2+2x+3），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设Q（x，﹣x+3），
∴，
当时，△CPB的面积最大，
，
此时，点的坐标为，△CPB的面积最大值为．
二、求四边形面积最值
例3．（2024•南召县开学）综合与探究
如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴相交于点C（0，4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，当四边形AOCP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AOCP面积的最大值．
【解答】解：（1）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴相交于点C（0，4），代入得：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式y＝﹣x2﹣3x+4．
（2）如图：连接AP，CP，
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴OA＝4，OC＝4，
∴，
设P（t，﹣t2﹣3t+4），则Q（t，t+4），
∴PQ＝﹣t2﹣3t+4﹣（t+4）＝﹣t2﹣4t，
∴，
∴四边形AOCP的面积＝，
∵﹣2＜0，
∴当t＝﹣2时，四边形AOCP的面积最大为16，
此时P（﹣2，6）．
对应练习：
1．（2023秋•新会区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点M为该二次函数图象在第四象限内的一个动点，当四边形ACMB的面积最大时求出此时点M的坐标及四边形ACMB面积的最大值；
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于点C（0，﹣2），代入得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）如图，连接MC，MB，BC，作MN∥y轴交BC于点N，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，将点B和点C的坐标代入y＝mx+n，
代入得：，
解得，
∴y＝x﹣2，
∴设点M的坐标为（x，x2﹣x﹣2），N的坐标为（x，x﹣2），
∴MN＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x，
∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），
∴OA＝1，OB＝2，OC＝2，
∴S四边形ACMB＝S△ABC+S△MBC
＝
＝
＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＝1时，四边形ACMB的面积取得最大值，
此时y＝x2﹣x﹣2＝﹣2，
∴M（1，﹣2），
∴当点M的坐标为（1，﹣2）时，四边形ACMB的面积最大，最大值为4；
2．（2024春•江北区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D，连接BD．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，点P在第一象限内的抛物线上，连接PB、PC，当四边形BPCD的面积最大时，求出此时点P的坐标以及S四边形BPCD的最大值；
【解答】解：（1）由题意，设二次函数的解析式：y＝a（x+1）（x﹣4），
由题意：﹣4a＝3，
∴，
∴；
（2）过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，
∵AD∥BC，
∴，
∴S四边形BPCD＝S△BCD+S△PBC
＝，
∵B（4，0）、C（0，3），
∴BC的解析式为：，
设，，
∴，
∵，对称轴：直线m＝2，
∴当m＝2时，PQ最大＝3，
此时，S四边形BPCD的最大值为13.5；
3．（2024•吐鲁番市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积；
【解答】解：（1）由点C的坐标得，抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，
将点B的坐标代入上式得：0＝9+3b﹣3，
解得：b＝﹣2，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，
作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，
∵四边形ABPC的面积＝△ABC的面积+△BCP的面积，
而△ABC的面积不变，
∴当△BCP的面积最大时，四边形ABPC的面积也最大．
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，又OC＝3，
∴．
BC的解析式为y＝x﹣3，设E（m，m﹣3），P（m，m2﹣2m﹣3）．
，
＝，当时，，
而，此时，
∴此时四边形ABPC的面积也最大，
．
∴此时点P的坐标为，四边形ABPC的最大面积为．
铅垂法1：
铅垂法2：
铅垂法3：