全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 07平行四边形存在性问题（含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 07平行四边形存在性问题（含答案解析版），共17页。试卷主要包含了，与y轴交于点C等内容，欢迎下载使用。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）若点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，试探究是否存在以点E，D，P，Q为顶点的平行四边形．若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），OC＝3OA，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
把点A（﹣1，0）、C（0，﹣3）和B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC解析式为：y＝kx+b，
把B（3，0）、C（0，﹣3）代入得：
，
解得：，
∴y＝x﹣3；
（3）存在，设p（a，a2﹣2a﹣3），
∴Q（a，a﹣3），
∵抛物线的顶点为D，
∴D（1，﹣4），
∵E（1，0），
∴|PQ|＝|yQ﹣yP|＝|a2﹣3a|，PQ∥ED，
若E、D、P、Q为平行四边形，
∴PQ＝ED，
∵D（1，﹣4），E（1，0），
∴ED＝4，PQ＝4，
∴|a2﹣3a|＝4，
∴a2﹣3a＝4或a2﹣3a＝﹣4，
当a2﹣3a＝4时，解得：a1＝4，a2＝﹣1；
当a2﹣3a＝﹣4，时，Δ＜0，无解，
∴P1（4，5），P2（﹣1，0），
∴存在，点P坐标为（4，5）或（﹣1，0）．
2．（2024秋•长沙期中）如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，当B、C、P、Q为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出Q的坐标．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+2中，令x＝0，得y＝2，
∴B（0，2），
令y＝0，得﹣x+2＝0，
解得：x＝4，
∴C（4，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0），
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图，过点P作PE∥y轴交BC于点E，
设P（t，﹣+t+2），则E（t，﹣t+2），
∴PE＝﹣+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，
∴S△BCP＝PE•BC＝×（﹣+2t）×4＝﹣（t﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，S△BCP有最大值，最大值为4，此时，点P的坐标为（2，3）；
（3）设Q（m，n），又B（0，2），C（4，0），P（2，3），
当BC、PQ为对角线时，BC与PQ的中点重合，
则，
解得：，
∴Q（2，﹣1）；
当BP、CQ为对角线时，BP与CQ的中点重合，则，
解得：，
∴Q（﹣2，5）；
当BQ、CP为对角线时，BQ与CP的中点重合，则，
解得：，
∴Q（6，1）；
综上所述，Q的坐标为（2，﹣1）或（﹣2，5）或（6，1）．
3．（2024秋•阜阳期中）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求b、c的值；
（2）若点P是抛物线BC段上的一点，当△PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；
（3）点F是抛物线上的动点，作EF∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把点A（﹣2，0）和点B（6，0）代入，得：
，
解得，
∴；
（2）当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
∴CO＝6，
方法一：如图1，连接OP，
设点，
∴，，
∵，
∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC
＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC
＝
＝，
∴当m＝3时，，此时；
方法二：如图2，作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，
设BC解析式为：y＝kx+t，将B（6，0），C（0，﹣6）代入得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，
∴D（m，m﹣6），
∴，
∴，
∴当m＝3时，，此时；
（3）如图3，
当四边形ACFE为平行四边形时，AE∥CF，
∵抛物线对称轴为直线：x＝2，C（0，﹣6），
∴F1点的坐标：（4，﹣6）；
如图4，当四边形ACEF为平行四边形时，AC＝EF，
作FG⊥AE于G，
∴∠FGO＝∠COA＝90°，
∵AC∥FE，
∴∠CAO＝∠FEG，
在△AOC和△FEG中，
，
∴△AOC≌△EGF（AAS），
∴FG＝OC＝6，
当y＝6时，，
∴，，
∴，，
综上所述：F（4，﹣6）或或．
4．（2023•成都模拟）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C．点D在y轴上，其坐标为（0，1）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）已知在线段AC下方的抛物线上有一动点P，直线PC与直线BD交于点Q，连接AQ，AP．当△APQ的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣3沿射线AC平移个单位长度，得到新的抛物线（如图2），点R在新抛物线的对称轴上．在直线上有一点S，使得以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点R的坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数 y＝ax2+bx﹣3的图象与 x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），
∴
解得
∴该二次函数的表达为y＝x2+2x﹣3；
（2）如图1，连接AD．
∵抛物线与y轴交于点 C，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
∴直线AC的函 数表达式为y＝﹣x﹣3．
∵点B的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，1），
∴直线BD的函数表达式为y＝﹣x+1．
∴AC∥BD，CD＝4．
∴S△ACQ＝S△ACD＝×4×3＝6．
∴S△APQ＝S△APC+S△ACQ＝S△APC+S△ACD＝S△APC+6．
过点P作PE∥y轴交AC于点E，
设点P的横坐标为t，
则P（t，t2+2t﹣3），E（t，﹣t﹣3），
∴PE＝﹣t2﹣3t．
∴S△APQ＝S△APC+6
＝×3×（﹣t2﹣3t）+6
＝﹣（t+）2+．
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣时，△APQ有最大值，为，
此时P（﹣，﹣）；
（3）由平移的性质可知，抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4沿射线AC平移2个单位长度，即向右平移2个单位，向下平移2个单位，
∴平移后的抛物线为：y1＝（x﹣1）2﹣6＝x2﹣2x﹣5．
∵点R在新抛物线对称轴上，
∴点R的横坐标为x＝1．
若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，根据题意，需要分以下两种情况：
①当PD为平行四边形的边时，xP﹣xD＝xR﹣xS或xP﹣xD＝xS﹣xR，
∴﹣﹣0＝1﹣xS或﹣﹣0＝xS﹣1，
解得xS＝或xS＝﹣．
∴S（，）或（﹣，﹣）．
∵yP﹣yD＝yR﹣yS或yP﹣yD＝yS﹣yR，
∴﹣﹣1＝yR﹣或﹣﹣1＝﹣﹣yR，
∴yR＝﹣+或yR＝﹣，
∴R（1，﹣+）或（1，﹣）；
②当PD为平行四边形的对角线时，xP+xD＝xR+xS，
∴﹣+0＝1+xS，
解得xS＝﹣，
∴S（﹣，﹣）；
∵yP+yD＝yR+yS，
∴﹣+1＝yR+（﹣），
∴yR＝﹣+．
∴R（1，﹣+）．
综上，若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，点R的坐标为：（1，﹣+）或（1，﹣）或（1，﹣+）．
5．（2023•怀远县校级模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），C（3，0），与y轴交于点B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线的对称轴与BC交于点D，连接OD，点F在x轴上，抛物线上是否存在点E，使得以O，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），C（3，0）代入y＝ax2+bx+4（a≠0），得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在，点E的坐标为或或或；
抛物线的对称为直线，
∵抛物线的对称轴与BC交于点D，
∴点E的坐标为，
①当以OF为平行四边形的一边时，此时DE∥OF，即DE∥x轴，
过点D作E1E2∥x轴，交抛物线于点E1，E2，
∴点E1，E2的纵坐标为，
∴，
解得或，
∴点E的坐标为或；
②当以OF为平行四边形的对角线时，此时DE也为平行四边形的对角线，
设点E的坐标为，点F的坐标为（n，0），
∴，
解得或，
∴点E的坐标为或，
综上，点E的坐标为或或或．
6．（2024春•莱芜区期中）已知二次函数的图象过原点，顶点坐标为．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，在x轴下方作x轴的平行线l，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求A点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，作直线AC，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，当以A、E、F、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝a（x﹣4）2﹣，
将原点的坐标代入上式得：0＝a（0﹣4）2﹣，
解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝（x﹣4）2﹣＝x2﹣x；
（2）设直线l的表达式为：y＝m，
当y＝m时，m＝x2﹣x，
解得：x＝4±，
∴点A的坐标为（4﹣，m），点B的坐标为（4+，m），
∴点D的坐标为（4﹣，0），点C的坐标为（4+，0）．
∵矩形ABCD为正方形，
∴4+﹣（4﹣）＝m，
解得：m1＝16（舍去），m2＝﹣4．
∴m＝4，
即点A（2，﹣4）；
（3）以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．
由（2）可知：点A的坐标为（2，﹣4），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（6，0），点D的坐标为（2，0）．
设直线AC的解析式为y＝kx+a（k≠0），
由点A、C的坐标得，直线AC的解析式为y＝x﹣6．
当x＝2+t时，y＝t2﹣t﹣4，y＝﹣x+6＝﹣t+4，
∴点E的坐标为（2+t，t2﹣t﹣4），点F的坐标为（2+t，﹣t+4）．
∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ∥EF，
∴AQ＝EF，分三种情况考虑：
①当0＜t≤4时，AQ＝t，EF＝t2﹣t﹣4+（t﹣4）＝﹣t2+t，
∴t＝﹣t2+t，
解得：t1＝0（舍去），t2＝4；
②当4＜t≤7时，AQ＝8﹣t，EF＝t2﹣t，
∴8﹣t＝t2﹣t，
解得：t3＝4（舍去），t4＝6；
③当7＜t≤8时，AQ＝8﹣t，EF＝t2﹣t，
∴8﹣t＝t2﹣t，
解得：t5＝2﹣2（舍去），t6＝2+2．
综上所述：当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6或2+2．
7．（2024•阳西县一模）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B（﹣1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为A（1，4），
∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+4，
又∵B（﹣1，0），
∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4（或y＝﹣x2+2x+3）；
（2）①∵点P在x轴正半轴上，
∴m＞0，
∴BP＝m+1，
由旋转可得：BD＝2BP，AC＝2AP，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴BD＝2（m+1），
过点A（1，4）作AE⊥x轴于点E，
∴BE＝2，AE＝4，
在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2＝22+42＝20，
当四边形ABCD为矩形时，AD⊥AB，
∴∠BAD＝∠BEA＝90°，
又∠ABE＝∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴AB2＝BE⋅BD，
∴4（m+1）＝20，
解得m＝4；
②由题可得点A（1，4）与点C关于点P（4，0）成中心对称，
∴C（7，﹣4），
∵点M在直线x＝4上，
∴点M的横坐标为4，
存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
1）当以BC为边时，平行四边形为BCMQ，点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，
∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（﹣4，y1）代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：y1＝﹣21，
∴Q（﹣4，﹣21），
2）当以BC为边时，平行四边形为BCQM，点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，
∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（12，y2）代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：y2＝﹣117，
∴Q（12，﹣117），
3）当以BC为对角线时，点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（2，y3）代入y＝﹣x2+2x+3，
得：y3＝3，
∴Q（2，3），
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为（﹣4，﹣21）或（2，3）或（12，﹣117）．