全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 12直角三角形存在性问题（不含答案版）

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一、几何法：两线一圆得坐标
（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）
二、构造三垂直：
构造三垂直步骤：
①过直角顶点作一条水平或竖直的直线；
②过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．
三、代数法：表示线段构勾股
（1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；
（2）表示线段：，，；
（3）分类讨论：当为直角时，；
（4）代入得方程：，解得：．
小结：
几何法：（1）“两线一圆”作出点；
（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．
代数法：（1）表示点A、B、C坐标；
（2）表示线段AB、AC、BC；
（3）分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²；
（4）代入列方程，求解．
如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等．
例．（2024•酒泉二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．点D为直线BC上的一动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图2，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
对应练习：
1．（2024春•兰山区校级月考）如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024•富顺县二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上是否存在点M，使三角形ACM是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024•秭归县模拟）在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（1，﹣5），求抛物线L2对应的函数关系式；
（2）是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线L2对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．
4.（2024•遂宁）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P、Q为抛物线上的两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当P、C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；
5．（2024•锦江区校级模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），连接线段AC和线段BC．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若动点E从A点出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动；同时，动点F从点B出发以每秒个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点停止运动，设动点运动时间为t秒，求当t为何值时，△BEF为直角三角形．
6．（2024春•威远县校级期中）已知：二次函数y＝x2+bx+c的顶点P在直线y＝﹣4x上，并且图象经过点A（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）D是线段BP上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E，E点的坐标为（a，0）.在BP上是否存在点D，使△DCE为直角三角形？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
7．（2023秋•新会区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）二次函数的对称轴上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？如果存在，请直接写出答案，如果不存在，请说明理由．
8．（2024•凉州区二模）如图，已知：关于y的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式．
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为直角三角形．若存在，请求出点P的坐标．
9．（2023秋•伊通县校级月考）如图①，二次函数y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于点A、C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连接AB．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求直线AB的解析式；
（3）如图②，点P是x轴下方、抛物线对称轴右侧图象上的一动点，连接PB，过点P作PQ∥AB，与抛物线的另一个交点为Q，M、N为AB上的两点，且PM∥y轴，QN∥y轴．
①当△BPM为直角三角形时，求点P的坐标；
10．（2024•娄底模拟）如图，抛物线C：y＝ax2+6ax+9a﹣8与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D．
（1）求a的值及顶点D的坐标；
（2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C1，记抛物线C1的顶点为E，抛物线C1与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线C1的表达式；
（3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标．