全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 15定点问题（含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 15定点问题（含答案解析版），共30页。试卷主要包含了其中，正确的结论有，，有下列结论，x+4m，，已知二次函数y＝ax2+等内容，欢迎下载使用。

（1）y＝x2﹣2x+m；
（2）y＝x2﹣2mx+1；
（3）y＝mx2﹣2x+1；
（4）y＝mx2﹣2mx﹣3m；
（5）y＝mx2﹣2mx﹣3．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，其图象如图①所示：
①开口向上，开口方向和开口大小不变；②对称轴直线x＝1不变；③顶点坐标（1，m﹣1）随m的变化上下移动；④图象不过定点；⑤函数图象随m的变化上下平移；
（2）y＝x2﹣2mx+1＝（x﹣m）2+1﹣m2，其图象如图②所示：
①开口向上，开口方向和开口大小不变；②对称轴直线x＝m随m的变化左右平移；③顶点坐标（m，1﹣m2）随m的变化而变化；④图象过定点（0，1）；⑤函数图象随m的变化上下左右平移；
（3）y＝mx2﹣2x+1，其图象如图③所示：
①开口方向和开口大小随m的变化而变化；②对称轴直线x＝随m的变化而变化；③顶点坐标随m的变化而变化；④图象过定点（0，1）；⑤函数图象随m的变化上下左右平移；
（4）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣3）（x+1），其图象如图④所示：
①开口方向和开口大小随m的变化而变化；②对称轴直线x＝1不变；③顶点坐标（1，﹣4m）随m的变化上下平移；④图象过x轴上两定点（﹣1，0）和（3，0）；⑤函数图象随m的变化而变化；
（5）y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣3﹣m，其图象如图⑤所示：
①开口方向和开口大小随m的变化而变化；②对称轴直线x＝1不变；③顶点坐标（1，﹣3﹣m）随m的变化上下平移；④图象过定点（0，﹣3）和（2，﹣3）；⑤函数图象随m的变化而变化．
对应练习：
1.（2024•呼和浩特二模）二次函数，有下列结论：
①该函数图象过定点（﹣1，2）；
②当m＝1时，函数图象与x轴无交点；
③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；
④当时，点P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲线上两点，若﹣3＜x1＜﹣2，，则y1＞y2．其中，正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：把x＝﹣1，y＝2代入y＝x2+（2m﹣1）x+2m，
左边＝2，右边＝2，
∴该函数图象过定点（﹣1，2），
故①正确；
当m＝1时，y＝x2+x+2，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，
∴函数图象与x轴无交点，故②正确；
抛物线的对称轴为：，
∵，
∴，
∴当时，﹣m＜0，对称轴在y轴左侧，
当时，﹣m＞0，对称轴在y轴右侧，
故③错误；
∵，
∴，
∵﹣3＜x1＜﹣2，，
∴P（x1，y1）在对称轴左侧，Q（x2，y2）在对称轴右侧，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，
∴当x＝﹣2时，y1最小＝y＝4﹣4m+2+2m＝﹣2m+6，
当x＝0时，y2最大＝2m，
此时，y1﹣y2＝﹣4m+6，
∵，
∴﹣4m+6＞0，
∴y1＞y2，
故④正确，
故选：C．
2.已知y关于x的二次函数y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m，下列结论中：①当m＝﹣1时，函数图象的顶点坐标为（，）；②当m≠0时，函数图象总过定点；③当m＞0时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①③C．②③D．①②
【解答】解：①当m＝﹣1时，y＝﹣2x2+2x＝﹣2（x﹣）2+，
∴顶点坐标为（，），故①正确．
②当m≠0时，y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m＝（2x2﹣x﹣1）m+x﹣1，
当2x2﹣x﹣1＝0时，y的值与m无关，
此时x1＝1，x2＝﹣，
当x1＝1，y＝0；当x2＝﹣时，y2＝﹣，
∴函数图象总经过两个定点（1，0），（﹣，﹣），故②正确；
③当m＞0时，由y＝0得：Δ＝（1﹣m）2﹣4×2m（﹣1﹣m）＝（3m+1）2，
∴x＝．
∴x1＝1，x2＝﹣﹣．
∴|x1﹣x2|＝+＞，
∴函数图象截x轴所得的线段长度大于，故③正确．
故选：A．
3．（2024•从江县校级一模）小明在学习二次函数知识的时候，发现二次函数图象和一次函数图象的交点个数有3种情况：有2个交点，有1个交点和没有交点，带着这样的结果，小明提问：若过定点（0，1）的一次函数y＝kx+b与二次函数y＝x2+2x+3的图象有2个交点，则k的取值范围是（ ）
A．，且k≠0B．
C．D．或
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象过定点（0，1），
∴b＝1，
把y＝kx+1代入y＝x2+2x+3得：
kx+1＝x2+2x+3，
整理得x2+（2﹣k）x+2＝0，
Δ＝（2﹣k）2﹣8
当Δ＝0时，两函数图象有一个交点，
即（2﹣k）2﹣8＝0，
解得k＝2±2．
∴一次函数y＝kx+b与二次函数y＝x2+2x+3的图象有2个交点，k的取值范围是k＜2﹣2或k＞2+2．
故选：D．
4．（2024春•鄞州区校级期末）无论m为何实数，二次函数y＝x2+（m﹣1）x+m的图象总是过定点 （﹣1，2） ．
【解答】解：∵y＝x2+（m﹣1）x+m
＝x2+mx﹣x+m，
＝m（x+1）+x2﹣x，
∴无论m为何实数，当x+1＝0，
即x＝﹣1时，y＝1﹣（﹣1）＝1+1＝2，
即图象总是过定点（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
5．（2023•无锡）二次函数y＝x2+（2m﹣1）x+2m（m≠），有下列结论：
①该函数图象过定点（﹣1，2）；
②当m＝1时，函数图象与x轴无交点；
③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；
④当1＜m＜时，点P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲线上两点，若﹣3＜x1＜﹣2，﹣＜x2＜0，则y1＞y2．
其中，正确结论的序号为 ①②④ ．
【解答】解：y＝x2+（2m﹣1）x+2m＝x2+2mx﹣x+2m＝2m（x+1）+x2﹣x，
当x＝﹣1时，y＝2，
∴该函数图象过定点（﹣1，2），故①正确；
当m＝1时，y＝x2+x+2，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，
∴函数图象与x轴无交点，故②正确；
抛物线的对称轴为：x＝，
∵m≠，
∴，
∴当m＞时，对称轴在y轴左侧，当m＜时，对称轴在y轴右侧，故③错误；
∵，
∴﹣1＜﹣m＜﹣，
∵﹣3＜x1＜﹣2，﹣＜x2＜0，
∴P（x1，y1）在对称轴左侧，Q（x2，y2）在对称轴右侧，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，
∴当x＝﹣2时，y1最小＝y＝4﹣4m+2+2m＝﹣2m+6，
当x＝0时，y2最大＝2m，
此时，y1﹣y2＝﹣4m+6，
∵，
∴﹣4m+6＞0，
∴y1＞y2，故④正确，
故答案为：①②④．
6．（2023秋•淮阴区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣3（m为常数）．
（1）不论m为何值，该函数图象恒过定点 （1，﹣2） ；
（2）已知点A（﹣3，y1），B（2，y2）在二次函数图象上，若y1＞y2，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+2m﹣3＝x2﹣（2x﹣2）m﹣3，
∴当2x﹣2＝0，即x＝1时，y＝x2﹣（2x﹣2）m﹣3＝1﹣3＝﹣2，此时不论m为何值，该函数图象恒过定点，定点为（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）；
（2）∵y＝x2﹣2mx+2m﹣3，
∴二次函数的对称轴为直线，
当m＜﹣3时，此时点A（﹣3，y1），B（2，y2）在二次函数的对称轴的右半部分，此时y随x的增大而增大，则y1＜y2，不符合题意，舍去；
当m＞2时，此时点A（﹣3，y1），B（2，y2）在二次函数的对称轴的左半部分，此时y随x的增大而减小，则y1＞y2，符合题意；
当﹣3≤m≤2时，此时点A（﹣3，y1），B（2，y2）在二次函数的对称轴的两侧，由y1＞y2得出点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴m﹣（﹣3）＞2﹣m，
解得：；
综上所述，m的取值范围为．
7．（2024•浙江模拟）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+ax﹣1﹣2a（a是实数）．
（1）若函数图象经过点A（﹣1，2），求该二次函数的表达式及图象的对称轴．
（2）求证：二次函数图象过定点（1，﹣2）．
（3）若a＞1时，二次函数的最小值为s，求s的取值范围．
【解答】（1）解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2+ax﹣1﹣2a（a是实数）图象经过点（﹣1，2），
∴2＝（a﹣1）×（﹣1）2+a×（﹣1）﹣1﹣2a，
∴2＝a﹣1﹣a﹣1﹣2a，
解得：a＝﹣2，
∴y＝﹣3x2﹣2x+3，
∴对称轴为直线x＝．
（2）证明：把x＝1代入二次函数y＝（a﹣1）x2+ax﹣1﹣2a，
得y＝a﹣1+a﹣1﹣2a＝﹣2，
∴二次函数图象过定点（1，﹣2）．
（3）解：∵y＝（a﹣1）x2+ax﹣1﹣2a
＝ax2﹣x2+ax﹣1﹣2a
＝（x2+x﹣2）a﹣x2﹣1，
又∵x2+x﹣2＝0时，x1＝1，x2＝﹣2，
当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣2时，y＝﹣5，
∴二次函数过定点（1，﹣2），（﹣2，﹣5）．
∵a＞1，
∴a﹣1＞0，
如图所示，抛物线开口向上，且（﹣2，﹣5）为纵坐标最大的点，
∴s≤﹣5．
8．（2023秋•拱墅区校级月考）已知y关于x的二次函数y＝﹣x2+（m﹣4）x+4m，
（1）若二次函数图象与x轴有且只有一个公共点，求m的值；
（2）无论m取何值，函数图象恒过定点A，求点A的坐标．
【解答】解：（1）当y＝0，即﹣x2+（m﹣4）x+4m＝0，
∵图象与x轴有且只有一个公共点，
∴Δ＝（m﹣4）2﹣4×（﹣1）×4m＝（m+4）2＝0，
解得：m＝﹣4；
（2）由y＝﹣x2+（m﹣4）x+4m＝﹣x2+m（x+4）﹣4x，
当x+4＝0，即x＝﹣4时，函数图象恒过定点，
此时y＝﹣（﹣4）2+m（﹣4+4）﹣4×（﹣4）＝0，
∴定点A的坐标为A（﹣4，0）．
9．（2023秋•淮阴区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣3（m为常数）．
（1）不论m为何值，该函数图象恒过定点 （1，﹣2） ；
（2）已知点A（﹣3，y1），B（2，y2）在二次函数图象上，若y1＞y2，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+2m﹣3＝x2﹣（2x﹣2）m﹣3，
∴当2x﹣2＝0，即x＝1时，y＝x2﹣（2x﹣2）m﹣3＝1﹣3＝﹣2，此时不论m为何值，该函数图象恒过定点，定点为（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）；
（2）∵y＝x2﹣2mx+2m﹣3，
∴二次函数的对称轴为直线，
当m＜﹣3时，此时点A（﹣3，y1），B（2，y2）在二次函数的对称轴的右半部分，此时y随x的增大而增大，则y1＜y2，不符合题意，舍去；
当m＞2时，此时点A（﹣3，y1），B（2，y2）在二次函数的对称轴的左半部分，此时y随x的增大而减小，则y1＞y2，符合题意；
当﹣3≤m≤2时，此时点A（﹣3，y1），B（2，y2）在二次函数的对称轴的两侧，由y1＞y2得出点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴m﹣（﹣3）＞2﹣m，
解得：；
综上所述，m的取值范围为．
10．已知二次函数y＝ax2+（a+1）x+1（a≠0）．
（1）不论a为何值时，求函数图象所过定点的坐标；
（2）若函数有最大值1，求此时a的值．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+（a+1）x+1＝（ax+1）（x+1），
∴不论a为何值时，函数图象所过定点的坐标（0，1），（﹣1，0）；
（2）∵函数有最大值1，
∴＝1，
解得a＝﹣1．
所以此时a的值为﹣1．
11．（2024秋•赣州月考）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+ax﹣1﹣2a（a是实数）．
（1）若函数图象经过点A（﹣1，2），求该二次函数的表达式及图象的对称轴．
（2）求证：二次函数图象过定点（1，﹣2）．
【解答】解：（1）把A（﹣1，2）代入函数得：2＝a﹣1﹣a﹣1﹣2a，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣3x2﹣2x+3，
∴对称轴为直线；
（2）证明：在y＝（a﹣1）x2+ax﹣1﹣2a中，当x＝1时，y＝a﹣1+a﹣1﹣2a＝﹣2，
∴二次函数图象过定点（1，﹣2）．
例2．（2024•永州二模）定义：对于一个函数，当自变量x＝x0时，函数值y＝x0，则实数x0叫做这个函数的一个不动点值．根据定义完成下列问题：
（1）求出反比例函数的不动点值；
（2）若二次函数y＝ax2+b有﹣1和2两个不动点值．
①求该二次函数的表达式；
②将该二次函数图象平移，使其顶点为（t，2t+2），若平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值x1，x2，记，求z的取值范围；
③若该二次函数图象与y轴交于点M，过点M作MA⊥MB分别交抛物线于A，B两点．（点A在y轴左侧），试探究直线AB是否恒过定点．如过定点，请求出该定点坐标．不过定点，请说明理由．
【解答】解：（1）当x＝x0，y＝x0时，，
解得x0＝±1，
∴反比例函数的不动点值为1和﹣1；
（2）①∵二次函数y＝ax2+b有﹣1和2两个不动点值，
将（﹣1，﹣1），（2，2）代入解析式得，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2；
②根据题意可得y＝（x﹣t）2+2t+2，
∵平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值x1，x2，
∴，
即（x﹣t）2+2t+2＝x，
∴x2﹣（2t+1）x+2t+2+t2＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2t+1）2﹣4×（2t+2+t2）＞0，
即，
∵x1，x2为方程x2﹣（2t+1）x+2t+2+t2＝0的两个不相等的实数根，
∴x1+x2＝2t+1，x1x2＝2t+2，
∴，
∵当时，z随x的增大而减小，
当，，
∴z＞．
③如图所示，过点M作x轴的平行线EF，过点A作AE⊥EF于点E，过点B作BF⊥EF于点F，
则∠AEM＝∠MFB＝90°，
设点A的坐标为（m，m2﹣2），
则AE＝m2﹣2﹣（﹣2）＝m2，EM＝0﹣m＝﹣m，
设点B的坐标为（n，n2﹣2），
则BF＝n2﹣2﹣（﹣2）＝n2，FM＝n﹣0＝n，
∵∠AME+∠BMF＝180°﹣∠AMB＝90°，∠MBF+∠BMF＝180°﹣∠BFM＝90°，
∴∠AME＝∠MBF，
∴△AME∽△MBF，
∴，
∴，
∴mn＝﹣1，
∴，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
即直线AB的解析式为，
当x＝0时，y＝﹣1，即过定点（0，﹣1）．
对应练习：1．（2024春•开福区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若平行于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，与抛物线的对称轴交于H点，若点H到x轴的距离是线段MN的，求线段MN的长；
（3）抛物线的顶点为D，过定点Q的直线y＝kx﹣k+3与二次函数交于E、F，△DEF外接圆的圆心在一条抛物线上运动，求该抛物线的解析式．
【解答】解：（1）∵二次函数图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）可得3＝a×1×（﹣3），
解得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）根据题意设设点H纵坐标为h，M（m，h），N（n，h），
则m、n是﹣x2+2x+3＝h两根；
∴m+n＝2，mn＝h﹣3，Δ＝22﹣4（h﹣3）≥0即h≤4，
∵点H到x轴的距离是线段MN的，
∴；
∴；
∴；
解得；
∴；
（3）y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线DK：x＝1，顶点D（1，4），
过E作EK⊥DK于K，过F作FG⊥DK于G，
设E（e，﹣e2+2e+3）、F（f，﹣f2+2f+3），
∴，
，
∵直线y＝kx﹣k+3与二次函数交于E、F，
∴e、f是kx﹣k+3＝﹣x2+2x+3两根，整理得x2+（k﹣2）x﹣k＝0，
∴e+f＝2﹣k，ef＝﹣k，
∴（e﹣1）（f﹣1）＝ef﹣（e+f）+1＝﹣k﹣2+k+1＝﹣1，
∴，
∴tan∠DEK＝tan∠FDG，
∴∠DEK＝∠FDG，
∵∠DEK+∠EDK＝90°，
∴∠FDG+∠EDK＝90°，即∠FDE＝90°，
∴△DEF外接圆的圆心为线段EF的中点R，
∵E（e，ke﹣k+3）、F（f，kf﹣k+3），
∴EF的中点R坐标为，
∵e+f＝2﹣k，
∴
令，消去k得y＝﹣2x2+4x+1，
∴△DEF外接圆的圆心在一条抛物线上运动，求该抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+1．
2．（2023秋•梁溪区期末）已知二次函数y＝ax2﹣（a+b）x+b（a、b是常数，a≠0）．
（1）若M（﹣4，m）（m＞0）在该二次函数的图象上，当a＜0时，试判断代数式a+b的正负性；
（2）已知对于任意的常数a、b（a≠0），二次函数的图象始终过定点P，求证：一次函数y＝（k2+3）x+3k（x≥1）图象上所有的点都高于点P．
【解答】（1）解：由题意，y＝ax2﹣（a+b）x+b＝（ax﹣b）（x﹣1），
又M（﹣4，m）（m＞0）在该二次函数的图象上，
∴（﹣4a﹣b）×（﹣5）＞0．
∴﹣4a﹣b＜0．
∴﹣4a＜b．
∴﹣4a+a＜a+b．
∴a+b＞﹣3a．
又a＜0，
∴a+b＞﹣3a＞0，即a+b为正．
（2）证明：由（1）y＝ax2﹣（a+b）x+b＝（ax﹣b）（x﹣1），
∴对于任意的常数a、b，都有当x＝1时，y＝0．
∴二次函数始终过定点P（1，0）．
对于一次函数y＝（k2+3）x+3k（x≥1），
∴当x＝1时，y＝k2+3+3k
＝k2+3k++
＝（k+）2+．
∴对于任意的k，当x＝1时都有y≥＞0．
∴一次函数y＝（k2+3）x+3k（x≥1）图象上所有的点都高于点P（1，0）．
3．（2024•雅安模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c图象C交x轴于点（﹣1，0）和（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线C1向上平移n个单位得抛物线C2，点P为抛物线C2的顶点，C（0，4），过C点作x轴的平行线交抛物线C2于点A，点B为y轴上的一动点，若存在∠ABP＝90°有且只有一种情况，求此时n的值；
（3）如图2，恒过定点（1，1）的直线QN交抛物线C1于点Q，N两点，过Q点的直线y＝﹣2x+t的直线交抛物线C1于M点，作直线MN，求MN恒过的定点坐标．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3向上平移n个单位得新抛物线，
∴y＝（x﹣1）2﹣4+n，
∵点P为抛物线的顶点，
∴P（1，n﹣4），
∵C（0，4），CA∥x轴，
∴CA⊥y轴，
过点P作PT⊥y轴于点T，
∵∠ABP＝90°，
∴△ABC∽△APT，
∵存在∠ABP＝90°有且只有一种情况，
∴△ABC≌△APT，
∴CB＝PT＝1，
∴B（0，3），
∴AC＝BT＝3，
∴A（3，4），
∴A点在抛物线上，
∴n＝4；
（3）∵MN恒过定点，
∴y＝﹣2x+t中t为任意值都满足条件，
令t＝1，
联立﹣2x+1＝x2﹣2x﹣3，
∴x＝2或x＝﹣2，
∴Q（﹣2，5），M（2，﹣3），
设过定点（1，1）的直线QN解析式为y＝k（x﹣1）+1，
将点Q入，得5＝k（﹣2﹣1）+1，
∴k＝﹣，
∴y＝﹣x+，
联立x2﹣2x﹣3＝﹣x+，
∴x＝﹣2或x＝，
∴N（，﹣），
由点M、N
∴y＝x﹣；
令t＝6，y＝﹣2x+6，
联立﹣2x+6＝x2﹣2x﹣3，
∴x＝3或x＝﹣3，
∴Q（﹣3，12），M（3，0），
设过定点（1，1）的直线NQ解析式为y＝k（x﹣1）+1，
将点Q代入得12＝k（﹣3﹣1）+1，
∴k＝﹣，
∴y＝﹣x+，
联立x2﹣2x﹣3＝﹣x+，
∴x＝﹣3或x＝，
∴N（，﹣），
由点M、N的坐标得，MN的解析式为y＝x﹣，
联立x﹣＝x﹣，
解得x＝，
直线MN经过定点（，﹣）．
4．（2024春•亭湖区校级月考）【阅读理解】函数过定点的含义就是：不管参数（即待定系数）取什么值，函数都过的这个点就是定点；如函数y＝kx+1经过定点（0，1），因为无论k取什么值，函数一定经过点（0，1），因此函数经过的定点就是（0，1）；
因此，我们可以把函数过定点的问题转化为与参数无关的问题进行解决．
【尝试运用】（1）二次函数y＝kx2﹣2kx+1的图象必经过定点坐标为 （2，1）或（0，1） ；
（2）试说明抛物线y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；
【思维拓展】
（3）如图1，若A、B是抛物线y＝x2上的动点，OA⊥OB，且它们的横坐标分别为a、b，连接A、B．
①证明：直线AB过定点D；
②如图2，BE∥AF∥x轴，EF∥y轴，若，BE＝n．要使过原点O的直线恰好平分四边形ABEF面积，请直接写出n的最小值，及此时这条直线的解析式．
【解答】（1）解：如函数y＝kx+1经过定点（0，1），因为无论k取什么值，函数一定经过点（0，1），因此函数经过的定点就是（0，1）；据此可得：
y＝kx2﹣2kx+1＝kx（x﹣2）+1，
当x（x﹣2）＝0时，无论k取什么值都有y＝1，
∴图象必经过定点（2，1）或（0，1），
故答案为：（2，1）或（0，1）；
（2）解：由y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m＝mx2+x﹣2mx+1﹣3m
＝mx2﹣2mx﹣3m+x+1
＝m（x2﹣2x﹣3）+x+1
当x2﹣2x﹣3＝0时，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴无论k取什么值都会经过定点（3，4），（﹣1，0），
∵P是非坐标轴上的点，
∴P（3，4）；
（3）①证明：若A、B是抛物线y＝x2上的动点，OA⊥OB，且它们的横坐标分别为a、b，
过A作AE⊥x轴于点E，过B作BF⊥x轴于点F，如图1，
∴∠AEO＝∠OFB＝90°，
∴∠AOE+∠EAO＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
∴∠EAO＝∠FOB，
∴△EAO∽△FOB，
∴，即，
∴ab（ab+1）＝0，
∵ab≠0，
∴ab+1＝0，
设直线AB解析式为y＝kx+m，
∴，
∵ab≠0
∴，
∴直线AB解析式为y＝（a+b）x+1，
则AB经过定点D（0，1）；
②要使过原点O的直线恰好平分四边形ABEF面积，n的最小值为0，此时这条直线的解析式．理由如下：
由①AB经过定点D（0，1），直线AB解析式为y＝（a+b）x+1，
∵，
∴直线AB解析式为，
联立，
解得，，
∴，B（2，4），
∵BE∥AF∥x轴，EF∥y轴，BE＝n，
∴，，
∴四边形ABEF面积为，
设平分四边形ABEF面积的直线为y＝dx，且交AF于点H，
∴，，，
∴n最小值可以为0，此时四边形ABEF为△ABG，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴H点横坐标为，
∴，代入y＝dx得，
则解析式为，
∴n的最小值为0，此时这条直线的解析式．
5．（2024秋•西湖区校级月考）已知二次函数y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m为非零实数）．
（1）当m＝2时，求二次函数图象与x轴的交点坐标；
（2）不论m为何值，该函数图象都会经过两个定点，求这两个定点坐标；
（3）若二次函数有最小值，求证：当x≤1时，y随x的增大而减小．
【解答】（1）解：当m＝2时，y＝2x2﹣6x+4，
当y＝0时，即2x2﹣6x+4＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
∴二次函数图象与x轴交于（1，0）和（2，0 ）；
（2）解：y＝mx2﹣2（m+1）x+4＝mx2﹣2mx﹣2x+4＝mx（x﹣2）﹣2x+4，
∵函数图象都会经过两个定点，
∴x＝0或2，
两个定点为（0，4），（2，0）；
（3）证明：∵若二次函数有最小值，
∴m＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣＝1+，
∴x≤1在对称轴的左侧，开口向上，y随x的增大而减小．
6．（2024秋•高新区校级月考）已知二次函数y＝mx2+2x﹣4m﹣2（m为常数，m≠0）．
（1）当m＝1时，求该函数的图象的顶点坐标；
（2）当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标；
（3）已知A（m，2），B（4，2）．若该函数的图象与线段AB恰有1个公共点，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）将m＝1代入二次函数y＝mx2+2x﹣4m﹣2（m为常数，m≠0）中可得：
y＝x2+2x﹣6＝（x+1）2﹣7，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣7）；
（2）∵y＝mx2+2x﹣4m﹣2＝m（x2﹣4）+2x﹣2，
∴当x2﹣4＝0时，即x＝±2时，y的值与m无关，
∴当x＝2时，y＝2，x＝﹣2时，y＝﹣6，
∴定点坐标为（2，2），（﹣2，﹣6）．
（3）当y＝2时，2＝mx2+2x﹣4m﹣2，
mx2+2x﹣4m﹣4＝0，
Δ＝4﹣4m（﹣4m﹣4）＝4（2m+1）2，
当Δ＝0时，该图象与AB恰有一个公共点，是定点（2，2），
∴4（2m+1）2＝0，
∴．
当Δ＞0时，x1＝2，，
∴两交点坐标为（2，2），，2）．
①m＞0时，抛物线开口向上，过（2，2），（﹣2，﹣6）两点，
∴．
（m，2）在（2，2）的左边，
∴该函数的图象与线段AB恰有1个公共点．是定点（2，2），
∴此时：0＜m≤2
②m＜0时，抛物线开口向下，过点（2，2）在线段AB上，
∴抛物线与直线AB的另一个交点在B的右侧，
∴x＝4时，y＞2，
16m+8﹣4m﹣2＞2，
∴．
∴，该函数的图象与线段AB恰有1个公共点．
∴当0＜m≤2或或时，该函数的图象与线段AB恰有1个公共点．
7.（2024•鼓楼区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在直线y＝2x﹣9上，求证：直线MN必经过一个定点，并求该定点坐标．
【解答】（1）解：对于y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴点C（0，﹣3）；
（2）证明：如图2，设点M（xM，yM），N（xN，yN），
直线MN：y＝k′x+b′，直线CM：y＝k1x+b1，直线BN：y＝k2x+b2，
将点C（0，﹣3）代入直线CM的解析式得：b1＝﹣3，
将点B（3，0）代入直线BN的解析式得：b2＝﹣3k2，
联立直线MN与抛物线的解析式得：，
整理得：x2﹣（k′+2）x﹣b′﹣3＝0，
则xM+xN＝k′+2，xM•xN＝﹣b′﹣3，
同理：xM+xC＝k1+2，xN+xB＝k2+2，
∵xC＝0，xB＝3，
∴xM＝k1+2，xN＝k2﹣1，
∴k′＝xM+xN﹣2＝k1+2+k2﹣1﹣2＝k1+k2﹣1，
b′＝﹣xM•xN﹣3＝﹣（k1+2）（k2﹣1）﹣3＝﹣k1k2﹣2k2+k1+2﹣3＝﹣k1k2﹣2k2+k1﹣1，
联立直线CM与直线BN的解析式得：，
解得：，
∵直线BN与直线CM的交点始终在直线y＝2x﹣9上，
∴2×﹣9＝，
化简得：k1k2＝3k1﹣2，
∴b′＝﹣k1k2﹣2k2+k1﹣1＝﹣3k1+2﹣2k2+k1﹣1＝﹣2k1﹣2k2+1＝﹣2（k1+k2）+1＝﹣2（k′+1）+1＝﹣2k′﹣1，
∴直线MN：y＝k′x﹣2k′﹣1＝k′（x﹣2）﹣1，
∴不论k′为何值，均有x＝2时，y＝﹣1，
即：直线MN恒过定点P（2，﹣1）．
8．（2024•永州二模）定义：对于一个函数，当自变量x＝x0时，函数值y＝x0，则实数x0叫做这个函数的一个不动点值．根据定义完成下列问题：
（1）求出反比例函数的不动点值；
（2）若二次函数y＝ax2+b有﹣1和2两个不动点值．
①求该二次函数的表达式；
②将该二次函数图象平移，使其顶点为（t，2t+2），若平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值x1，x2，记，求z的取值范围；
③若该二次函数图象与y轴交于点M，过点M作MA⊥MB分别交抛物线于A，B两点．（点A在y轴左侧），试探究直线AB是否恒过定点．如过定点，请求出该定点坐标．不过定点，请说明理由．
【解答】解：（1）当x＝x0，y＝x0时，，
解得x0＝±1，
∴反比例函数的不动点值为1和﹣1；
（2）①∵二次函数y＝ax2+b有﹣1和2两个不动点值，
将（﹣1，﹣1），（2，2）代入解析式得，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2；
②根据题意可得y＝（x﹣t）2+2t+2，
∵平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值x1，x2，
∴，
即（x﹣t）2+2t+2＝x，
∴x2﹣（2t+1）x+2t+2+t2＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2t+1）2﹣4×（2t+2+t2）＞0，
即，
∵x1，x2为方程x2﹣（2t+1）x+2t+2+t2＝0的两个不相等的实数根，
∴x1+x2＝2t+1，x1x2＝2t+2，
∴，
∵当时，z随x的增大而减小，
当，，
∴z＞．
③如图所示，过点M作x轴的平行线EF，过点A作AE⊥EF于点E，过点B作BF⊥EF于点F，
则∠AEM＝∠MFB＝90°，
设点A的坐标为（m，m2﹣2），
则AE＝m2﹣2﹣（﹣2）＝m2，EM＝0﹣m＝﹣m，
设点B的坐标为（n，n2﹣2），
则BF＝n2﹣2﹣（﹣2）＝n2，FM＝n﹣0＝n，
∵∠AME+∠BMF＝180°﹣∠AMB＝90°，∠MBF+∠BMF＝180°﹣∠BFM＝90°，
∴∠AME＝∠MBF，
∴△AME∽△MBF，
∴，
∴，
∴mn＝﹣1，
∴，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
即直线AB的解析式为，
当x＝0时，y＝﹣1，即过定点（0，﹣1）．