全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 16定值问题 （不含答案版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 16定值问题 （不含答案版），共15页。

解决这类问题的一般步骤是：
1. 根据题目条件，设出二次函数的一般形式。
2. 利用题目给出的条件（如定点、定值等），建立方程或不等式。
3. 解方程或不等式，找出满足条件的值或点。
1．（2024秋•工业园区校级月考）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）、与y轴交于点C，顶点为D．过点D且平行于y轴的直线与x轴交于点E、与直线BC交于点F，连接AD，交直线BC于点G．
（1）填空：点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）试探究是否为定值，如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由；
（3）若点P为二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a＜0）位于第一象限图象上一点，连接AP，交直线BC于点Q，试求的最大值，并求出此时点P的横坐标．
2．（2024秋•花都区校级月考）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），点M为抛物线顶点，点E为AB中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点．
①若点F与点C重合，D（m，﹣12），且m＞1，求证：D，E，F三点共线；
②若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
3．（2024•龙岩模拟）如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）以AB为直径作⊙D，交y轴正半轴于点E，直线DP平分∠EDB，交y轴于点F，△IDB1与△ODE关于直线DP对称．求证：点B，I，F三点共线．
（3）点D是抛物线y＝﹣x2+2x+3对称轴与x轴的交点，点R是线段DB上的动点（除B，D外），过点R作x轴的垂线交抛物线y＝﹣x2+2x+3于点K，直线AK，BK分别与抛物线对称轴交于M，N两点．试问：DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，说明理由．
4．（2024•无锡二模）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0，n＞0）与二次函数y＝x2的图象交于A、D两点（点A在点D左侧）、与二次函数y＝2x2的图象交于B、C两点．（点B在点C左侧）
（1）如图1，若m＝1，n＝1，请求出AB：CD的值．
（2）如图1，若m＝1，点B与A的横坐标之差为1，试探究AB：CD的值是否为定值？如果是，请求出这个比值；如果不是，请说明理由．
（3）如图2，若AB：CD＝2，求BC：AD的值．
5．（2024•湖南）已知二次函数y＝﹣x2+c的图象经过点A（﹣2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1+3，求证：的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，x2＝﹣2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1﹣1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
6．（2024•兴化市三模）已知，二次函数y＝﹣（x+1）（x﹣m）（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数图象上的一个动点．
（1）如图1，当m＝2时，点D在第一象限内；
①求点C的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
②连接BD、DC，若△ABC面积是△BDC面积的4倍，求点D的坐标；
（2）如图2，过点D作DE∥BC交抛物线于点E（DE与BC不重合），连接CD，BE，直线CD与BE交于点F，点F的横坐标为t，试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不为定值，请说明理由．
7．（2024春•天河区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝x2﹣2ax﹣3a2（a≠0），点A在抛物线G的对称轴上，且在x轴上方．
（1）求抛物线G与x轴交点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在抛物线对称轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值，如果是，求出这个值：如果不是，请说明理由；
8．（2024•青岛三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，连接AP、AC、BP、BC，线段AC与BP交于点Q，设△PAQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2取最大值时，求点P的坐标；
（3）当﹣1≤x＜m时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m的取值范围．
9．（2024春•海州区期中）如图1，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C．
（1）①b＝ ，②顶点坐标为 ；
（2）如图2，坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及图象的一段，分别记为P′，L′．移动该胶片，使L′所在抛物线对应的函数恰为y＝x2+2．求点P移动的最短路程；
（3）如图3，M是抛物线上一点，N为射线CB上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线AM同侧的不同两点，tan∠AMN＝1，点M到x轴的距离为a，△AMN的面积为2a，且∠ANB＝∠MBN，请问MN的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
10．（2024•姑苏区一模）如图，二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（其中m＞1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点D为△ABC的外心．
（1）填空：点A的坐标为 ，∠ABC＝ °；
（2）记△ACD的面积为S1，△ABD的面积为S2，试探究S1﹣S2是否为定值？如果是，求出这个定值；
（3）若在第一象限内的抛物线上存在一点E，使得以B、D、C、E为顶点的四边形是菱形，则m＝ ．
11．（2024•烟台一模）（1）如果四个点（0，0），（0，3），（2，4），（﹣2，4）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上．
①a＝ ；
②如图1，已知菱形ABCD的顶点B，C，D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形ABCD的顶点B，D在该二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值：如果不是，请说明理由；
（2）已知正方形ABCD的顶点B，D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，直接写出m，n满足的等量关系式．
12．（2024•利州区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求二次函数解析式；
（2）如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得∠ACD＝45°，求点D的坐标；
（3）如图2，平面上一点E（3，2），过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，则OM与ON的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
13．（2024•高新区二模）如图（1），已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣3m2（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．连接CD，BC．
（1）点B的坐标为 ，点D的坐标为 ；（用含有m的代数式表示）
（2）如图（2），若CB平分∠OCD，若点P是二次函数图象上的点，且在直线BC下方．
①若对称轴与直线BC交于点M，试说明DC与DM相等；
②求二次函数的表达式；
③点P到直线BC距离的最大值为 ；
④直线AP、BP分别交y轴于点E、F，问3OE+OF是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由．
14．（2024春•靖江市月考）二次函数y＝x2﹣tx（t＞0）图象交x轴于O、A两点，点C（m，n）为点A右侧图象上一动点，过点C作CB⊥x轴于点B．点D（p，q）为该函数x轴上方图象上一动点（不与点C重合），直线CD交y轴于点E，连接AD、BE．
（1）如图，当t＝3，CD∥x轴：
①若n＝4，判断∠OAD与∠OBE的数量关系，并说明理由；
②若p＜0，在点C、D运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）在点C、D在运动的过程中，试探究∠OAD与∠OBE的数量关系，并说明理由．
15．（2024•昆都仑区校级三模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出点F的坐标；
（3）如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．