全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 16定值问题 （含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 16定值问题 （含答案解析版），共41页。

1. 根据题目条件，设出二次函数的一般形式。
2. 利用题目给出的条件（如定点、定值等），建立方程或不等式。
3. 解方程或不等式，找出满足条件的值或点。
1．（2024秋•工业园区校级月考）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）、与y轴交于点C，顶点为D．过点D且平行于y轴的直线与x轴交于点E、与直线BC交于点F，连接AD，交直线BC于点G．
（1）填空：点A的坐标为 （﹣1，0） ，点B的坐标为 （3，0） ；
（2）试探究是否为定值，如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由；
（3）若点P为二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a＜0）位于第一象限图象上一点，连接AP，交直线BC于点Q，试求的最大值，并求出此时点P的横坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，得 ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得 x1＝3或 x2＝﹣1，
∵点A在点B左侧，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），
故答案为：（﹣1，0），（3，0）；
（2）是定值；理由如下：
把x＝0代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，得y＝﹣3a，
∴点C的坐标为（0，﹣3a），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入B（3，0），C（0，﹣3a），
∴，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝ax﹣3a，
过点A作AH∥y轴交直线BC于点H，
∵AH∥DF，
∴△DFG∽△AHG，
∴，
∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴H（﹣1，﹣4a），
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点为D（1，﹣4a），
∴F（1，﹣2a），
∴，
∴是定值，这个定值为；
（3）过点A作AH∥y轴交直线BC于点H，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，如图2，
∵A（﹣1，﹣4a），
设P（m，am2﹣2am﹣3a），则M（m，am﹣3a），
∴PM＝am2﹣2am﹣3a﹣am+3a＝am2﹣3am，
∵AH∥y轴，PM∥y轴，
∴△PMQ∽△AHQ，
∴，
∴当时，的最大值为 ，此时点P的横坐标为．
2．（2024秋•花都区校级月考）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），点M为抛物线顶点，点E为AB中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点．
①若点F与点C重合，D（m，﹣12），且m＞1，求证：D，E，F三点共线；
②若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【解答】（1）解：将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①证明：点F与点C重合，则F（0，3），
∵点E为AB中点，A（﹣1，0），B（3，0），
∴E（1，0）．
设直线EF的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入E（1，0），F（0，3），
∴，
解得：，
∴y＝﹣3x+3，
联立，
解得：或，
∴D（5，﹣12），在直线EF上，
即D，E，F三点共线；
②解：设D（x1，y1），F（x2，y2），
∵D，E，F三点共线；E（1，0），
∴设DF的解析式y＝k（x﹣1），
联立，
消去y得：﹣x2+（2﹣k）x+（3+k）＝0，
∴x1+x2＝2﹣k，x1x3＝﹣3﹣k，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
设直线AD解析式为y＝k1（x+1），直线BF的解析式为y＝k2（x﹣3），
联立，
解得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴
＝
＝
＝8，
而不为定值，
∴P在直线y＝8上运动，
∴P到x轴的距离为定值8，
∵直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，P到AM，EM的距离是变化的，如图，
∴△ABP的面积为是定值．
3．（2024•龙岩模拟）如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）求出点A，B，C的坐标；
（2）以AB为直径作⊙D，交y轴正半轴于点E，直线DP平分∠EDB，交y轴于点F，△IDB1与△ODE关于直线DP对称．求证：点B，I，F三点共线．
（3）点D是抛物线y＝﹣x2+2x+3对称轴与x轴的交点，点R是线段DB上的动点（除B，D外），过点R作x轴的垂线交抛物线y＝﹣x2+2x+3于点K，直线AK，BK分别与抛物线对称轴交于M，N两点．试问：DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，说明理由．
【解答】（1）解：令y＝0，得0＝﹣x2+2x+3，
∴x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
令x＝0，得y＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）；
（2）证明：由（1）可知AB＝4，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴DE＝2，OD＝2﹣1＝1，
在Rt△ODE中，sin∠OED＝＝，OE＝＝，
∴∠OED＝30°，
∴∠ODE＝60°，
∴∠EDB＝120°，
∵直线DP平分∠EDB，
∴∠EDP＝∠BDP＝∠ODF＝60°，
∴OF＝sin∠ODF×DF＝×2＝，
∴，
∵△IDB1与△ODE关于直线DP对称，直线DP平分∠EDB，
∴点B1与点B重合，△IDB≌△ODE，
∴ID＝OD＝1，
过点I作IH⊥x轴于H，如图1，
∵∠DBI＝∠DEO＝30°，IB＝OE＝，
∴IH＝1×sin∠60°＝，DH＝1×cs∠60°＝，
∴BH＝，OH＝+1＝，
∴，
设直线BI的解析式为y＝kx+b，
把，B（3，0）代入得：
，
解得，
∴直线BI的解析式为，
当x＝0时，，
∴点在直线BI上，
∴点B，L，F三点共线；
（3）解：DM+DN是定值，DM+DN＝8．理由如下：
如图2，
设K（m，﹣m2+2m+3）（1＜m＜3），
设直线AK的解析式为y＝k1x+b1，则有：
，
解得：，
∴直线AK的解析式为y＝（3﹣m）x+（3﹣m），
同理可得直线BK的解析式为y＝﹣（m+1）x+3（m+1）．
令x＝1得yM＝6﹣2m，yN＝2m+2，
∴DM＝6﹣2m，DN＝2m+2，
∴DM+DN＝8是定值．
4．（2024•无锡二模）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0，n＞0）与二次函数y＝x2的图象交于A、D两点（点A在点D左侧）、与二次函数y＝2x2的图象交于B、C两点．（点B在点C左侧）
（1）如图1，若m＝1，n＝1，请求出AB：CD的值．
（2）如图1，若m＝1，点B与A的横坐标之差为1，试探究AB：CD的值是否为定值？如果是，请求出这个比值；如果不是，请说明理由．
（3）如图2，若AB：CD＝2，求BC：AD的值．
【解答】解：（1）若m＝1，n＝1，则一次函数解析式为y＝x+1，
联立y＝x+1与y＝x2得，
解得：，，
∴A（，），D（，），
联立y＝x+1与y＝2x2得，
解得：或，
∴B（﹣，），C（1，2），
∴AB＝＝，
CD＝＝；
∴AB：CD＝：＝．
（2）当m＝1时，一次函数解析式为y＝x+n，
联立y＝x+n与y＝x2得，
解得：xA＝，xD＝，
联立y＝x+n与y＝2x2得，
解得：xB＝，xC＝，
如图，过点A、B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F、G、H；过点A作AP⊥BF于点P，过点C作CQ⊥DH于点Q，
∵BF⊥x轴，DH⊥x轴，
∴BF∥DH，
∴∠ABP＝∠CDQ，
又AP⊥BF，CQ⊥DH，
∴∠APB＝∠CQD＝90°，
∴△ABP∽△CDQ，
∴AB：CD＝AP：CQ，
∵点B与点A的横坐标之差为1，
∴AP＝1，即xB﹣xA＝1，
∴﹣＝1，
整理得：2﹣＝5，
∵CQ＝xD﹣xC＝﹣＝＝，
∴AB：CD＝AP：CQ＝1：＝，
故AB：CD的值为定值．
（3）方法一：联立y＝mx+n与y＝x2得，
解得：xA＝，xD＝，
联立y＝mx+n与y＝2x2得，
解得：xB＝，xC＝，
由（2）可得：AB：CD＝＝2，
∴＝2，
整理得：2﹣＝﹣3m，
如图2，
∵一次函数y＝mx+n的图象经过第一、二、四象限，
∴m＜0，n＞0，
两边都除以﹣m得：2﹣＝3，
令＝t，则2﹣＝3，
解得：t＝6，
∴＝6，
∴BC：AD＝＝＝＝＝＝．
方法二：设A、B、C、D的横坐标分别为a、b、c、d，
则A（a，a2），B（b，2b2），C（c，2c2），D（d，d2），
联立y＝mx+n与y＝x2得：x2﹣mx﹣n＝0，
∴a+d＝m，ad＝﹣n，
联立y＝mx+n与y＝2x2得：2x2﹣mx﹣n＝0，
∴b+c＝m，bc＝﹣n，
∴BC：AD＝＝＝＝＝，
由方法一得：＝6，
∴BC：AD＝．
5．（2024•湖南）已知二次函数y＝﹣x2+c的图象经过点A（﹣2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1+3，求证：的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，x2＝﹣2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1﹣1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
【解答】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：5＝﹣4+c，
则c＝9，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+9；
（2）证明：令y＝﹣x2+9，则x＝±3，则点B（3，0），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P、Q、D的表达式分别为：（x1，﹣+9）、（x2，﹣+9）、（x1，﹣x1+3），
则S△PDQ＝PD×（xQ﹣xP）＝（﹣+9+x1﹣3）（x2﹣x1）＝（﹣+x1+6），
同理可得：S△ADC＝CD×（xD﹣xA）＝（﹣+x1+6），
则＝3为定值；
（3）解：点P、Q的坐标分别为：（x1，﹣+9）、（﹣2x1，﹣4+9），
由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为：y＝x1（x﹣x1）﹣+9＝xx1﹣2+9，
则MN＝yM＝（x1﹣1）x1﹣2+9＝﹣（x1+）2+≤，
故MN的最大值为：．
6．（2024•兴化市三模）已知，二次函数y＝﹣（x+1）（x﹣m）（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数图象上的一个动点．
（1）如图1，当m＝2时，点D在第一象限内；
①求点C的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
②连接BD、DC，若△ABC面积是△BDC面积的4倍，求点D的坐标；
（2）如图2，过点D作DE∥BC交抛物线于点E（DE与BC不重合），连接CD，BE，直线CD与BE交于点F，点F的横坐标为t，试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不为定值，请说明理由．
【解答】解：（1）当m＝2时，二次函数为y＝﹣（x+1）（x﹣2），
①令x＝0，y＝﹣（0+1）x（0﹣2）＝2，
∴点C的坐标为（0，2），
令y＝0，则﹣（x+1）（x﹣2）＝0，
解得x＝﹣1或x＝2，
∴A（﹣1，0），B（2，0），
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∵直线BC过点B（2，0），C（0，2），
∴，
解得，
∴直线BC的函数表达式y＝﹣x+2．
②如图，过点D作平行于y轴的直线，交线段BC于点E，
∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），
∴AB＝3，CO＝2，
∴，
由△ABC面积是△BDC面积的4倍，得，
设D（a，﹣a2+a+2），则点E（a，﹣a+2），
∴，
解得，
∴或．
（2）∵二次函数y＝﹣（x+1）（x﹣m）＝﹣x2+（m﹣1）x+m，
令x＝0，则y＝m，
∴C（0，m），
令y＝0，则﹣（x+1）（x﹣m）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝m，
∴A（﹣1，0），B（0，m），
设点D的坐标为（t，﹣t2+（m﹣1）t+m），点E的坐标为（s，﹣s2+（m﹣1）s+m），
∵直线DE与BC不重合，DE∥BC，
∴t≠0且t≠m，s≠0且s≠m，s≠1，
∵B（m，0），点C（0，m），
∴OC＝OB，
如图，过点D作y轴的平行线，过点E作x轴的平行线，两平行线相交于点G，
∴∠DGE＝90°＝∠COB，
设DE交y轴于点H，
∵DE∥BC，DG∥y轴，
∴∠OHE＝∠OCB，∠BDE＝∠OHE，
∴∠GDE＝∠OCB，
∴GDE∽OCB，
∴，
∴DG＝EG，
∴s﹣t＝﹣t2+mt﹣t+m﹣（﹣s2+ms﹣s+m）
＝﹣t2+mt﹣t+m+s2﹣ms+s﹣m
＝s2﹣t2+mt﹣ms+s﹣t
＝（s+t）（s﹣t）﹣m（s﹣t）+（s﹣t），
∴（s+t﹣m）（s﹣t）＝0，
∵s≠t，
∴s+t＝m，
∴点E的坐标为（m﹣t，﹣（m﹣t+1）（m﹣t﹣m）），
设直线CD的表达式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线CD 的表达式为y＝（﹣t+m﹣1）x+m，
同理直线BE的表达式为y＝﹣（﹣t+m+1）x+m（﹣t+m+1），
∴﹣（﹣t+m+1）x+m（﹣t+m+1）＝（﹣t+m﹣1）x+m，
解得，
∵点F的横坐标为t，
∴，
∴，为定值．
7．（2024春•天河区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝x2﹣2ax﹣3a2（a≠0），点A在抛物线G的对称轴上，且在x轴上方．
（1）求抛物线G与x轴交点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在抛物线对称轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值，如果是，求出这个值：如果不是，请说明理由；
【解答】解：（1）当y＝0，则x2﹣2ax﹣3a2＝0，即（x﹣3a）（x+a）＝0，
解得：x1＝3a，x2＝﹣a，
∴抛物线G与x轴交点的坐标（3a，0）或（﹣a，0）；
（2）由（1）可得对称轴为直线，
当B，D在对称轴的右侧时，如图：连接AC、BD交点为E，过B作MN⊥y轴于M，过C作CN⊥MN于N，
由正方形的性质可知，E为AC、BD的中点，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBN＝90°＝∠CBN+∠BCN，
∴∠ABM＝∠BCN，
在△AMB和△BNC中，
，
∴△AMB≌△BNC（AAS），
∴AM＝BN，BM＝CN，
由题意知：B（m，（m﹣3a）（m+a）），D（n，（n﹣3a）（n+a）），m＞0，n＞0，则，M（a，（m﹣3a）（m+a）），
设A（a，q），则C（m+n﹣a，（m﹣3a）（m+a）+（n﹣3a）（n+a）﹣q），N（m+n﹣a，（m﹣3a）（m+a）），
∴AM＝q﹣（m﹣3a）（m+a），BN＝n﹣a，BM＝m﹣a，CN＝（n﹣3a）（n+a）﹣q，
∴q﹣（m﹣3a）（m+a）＝n﹣a，m﹣a＝（n﹣3a）（n+a）﹣q，
∴n﹣a+（m﹣3a）（m+a）＝（n﹣3a）（n+a）﹣m+a，
即n﹣a+m2﹣2am﹣3a2＝n2﹣2an﹣3a2﹣m+a，
n2﹣m2+2am﹣2an﹣m﹣n+2a＝0，
∴（n﹣m）（n+m）﹣2a（n﹣m）﹣（m+n）+2a＝0，
∴（n+m）（n﹣m﹣1）﹣2a（n﹣m﹣1）＝0，
∴（n﹣m﹣1）（n+m﹣2a）＝0，
∵点B、D在对称轴的同侧，对称轴为直线x＝a，且点B在点D的左侧，
∴m+n≠2a，
∴n﹣m＝1，
∴n﹣m是定值，且值为1；
根据对称性可得当B，D在对称轴的左侧时，同理可得n﹣m是定值，且值为1；
8．（2024•青岛三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，连接AP、AC、BP、BC，线段AC与BP交于点Q，设△PAQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2取最大值时，求点P的坐标；
（3）当﹣1≤x＜m时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）将A（4，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣4（a≠0），
得：，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）由（1）知y＝x2﹣3x﹣4，
当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵A（4，0），B（﹣1，0），
∴AB＝4﹣（﹣1）＝5；
∵，
∴二次函数图象的顶点坐标为；
S1﹣S2＝（S1+S△ABQ）﹣（S2+S△ABQ）＝S△ABP﹣S△ABC＝AB•（|yP|﹣OC）＝×5×（|yP|﹣4），
当点P与二次函数图象的顶点重合时，|yP|取最大值，S1﹣S2取最大值，
此时点P的坐标为；
（3）由（2）得y＝x2﹣3x﹣4＝﹣，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
①当﹣1＜m＜时，x＝﹣1，y有最大值0，
x＝m，y有最小值m2﹣3m﹣4，
最大值与最小值的差为：0﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+3m+4，不是定值，不合题意；
②当m＝时，，y有定值，
x＝﹣1，y有最大值0，
最大值与最小值的差为：，是定值，符合题意；
③当＜m≤4时，，y有最小值，
x＝﹣1，y有最大值0，
最大值与最小值的差为：，是定值，符合题意；
④当m＞4时，，y有最小值，
x＝m，y有最大值m2﹣3m﹣4，
最大值与最小值的差为：＝，不是定值，不合题意；
综上可知，当≤m≤4时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值．
9．（2024春•海州区期中）如图1，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C．
（1）①b＝ ，②顶点坐标为 ；
（2）如图2，坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及图象的一段，分别记为P′，L′．移动该胶片，使L′所在抛物线对应的函数恰为y＝x2+2．求点P移动的最短路程；
（3）如图3，M是抛物线上一点，N为射线CB上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线AM同侧的不同两点，tan∠AMN＝1，点M到x轴的距离为a，△AMN的面积为2a，且∠ANB＝∠MBN，请问MN的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线的表达式得：1﹣b﹣3＝0，
解得：b＝﹣2，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
则抛物线的顶点坐标为：（1，﹣4），
故答案为：﹣2，（1，﹣4）；
（2）抛物线L′的顶点坐标为：（0，2），
原抛物线的顶点坐标为：（1，﹣4），
∴点P移动的最短路径即为两个顶点之间的距离：＝；
（3）MN为定值4，理由：
由抛物线的表达式知，点B（3，0），则AB＝4，
则S△ABM＝AB×a＝2a＝S△AMN，
则上述两个三角形同底，
则高相等，
则MN∥BC，
则∠AMB＝∠NBM，∠BNC＝∠MAN，∠AMB＝∠OBC＝45°，
∵∠ANB＝∠MBN，
∴∠MAN＝∠BMA，
∵tan∠AMN＝1，则∠AMN＝45°＝BMA，
在△MAB和△AMN中，
∵∠MAN＝∠AMB，AM＝AM，∠MAB＝∠AMN，
∴△MAB≌△AMN（ASA），
∴MN＝AB＝4为定值．
10．（2024•姑苏区一模）如图，二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（其中m＞1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点D为△ABC的外心．
（1）填空：点A的坐标为 ，∠ABC＝ °；
（2）记△ACD的面积为S1，△ABD的面积为S2，试探究S1﹣S2是否为定值？如果是，求出这个定值；
（3）若在第一象限内的抛物线上存在一点E，使得以B、D、C、E为顶点的四边形是菱形，则m＝ ．
【解答】解：（1）∵0＝﹣x2+（m﹣1）x+m，
∴x1＝﹣1，x2＝m，
∴点A（﹣1，0），点B（m，0），
∴OB＝m，
当x＝0时，y＝m，
∴点C（0，m），
∴OB＝OC＝m，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°，
故答案为（﹣1，0），45；
（2）S1﹣S2＝为定值，理由：
∵点D为△ABC的外心，∠ABC＝45°，则∠ADC＝90°，
则∠ACD＝90°，则AD＝CD＝BD，
过点D作y轴的平行线交过点C和x轴的平行线于点M，交x轴于点N，
设点D（x，y），
则CM＝x，DN＝y，AN＝x+1，DM＝m﹣y，
∵∠CDM+∠ADN＝90°，∠ADN+∠DAN＝90°，
∴∠ADM＝∠DAN，
∵∠AND＝∠DMC＝90°，DA＝DC，
∴△AND≌△DMC（AAS），
则AN＝DM，CM＝DN，
即x＝y且x+1＝m﹣y，
解得：x＝y＝（m﹣1），
则S2＝AB•DN＝（m+1）（m﹣1）＝（m2﹣1）；
∵△ACD为等腰直角三角形，
则S1＝AC2＝（m2+1），
则S1﹣S2＝为定值；
（3）由（2）知，点D（，），设点E（t，﹣t2+（m﹣1）t+m），
当BC为对角线时，
由中点坐标公式和BD＝CD得：
，解得：m＝2（不合题意的值已舍去）；
当BD或BE为对角线时，
同理可得：
或，
解得：m＝（不合题意的值已舍去）；
综上，m＝，
故答案为：．
11．（2024•烟台一模）（1）如果四个点（0，0），（0，3），（2，4），（﹣2，4）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上．
①a＝ ；
②如图1，已知菱形ABCD的顶点B，C，D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形ABCD的顶点B，D在该二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值：如果不是，请说明理由；
（2）已知正方形ABCD的顶点B，D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，直接写出m，n满足的等量关系式．
【解答】解：（1）①在y＝ax2中，令x＝0得y＝0，
∴（0，0）在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上，（0，3）不在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上，
∵四个点（0，0）、（0，3）、（2，4）、（﹣2，4）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上，
∴二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上的三个点是（0，0）、（2，4）、（﹣2，4），
把（2，4）代入y＝ax2得：4＝4a，
解得：a＝1，
故答案为：1；
②设BC交y轴于E，如图：
设菱形的边长为2t，则AB＝BC＝CD＝AD＝2t，
∵B，C关于y轴对称，
∴BE＝CE＝t，
∴B（﹣t，t2），
∴OE＝t2，
∵AE＝＝t，
∴OA＝OE+AE＝t2+t，
∴D（2t，t2+t），
把D（2t，t2+t）代入y＝x2得：
t2+t＝4t2，
解得t＝或t＝0（舍去），
∴菱形的边长为；
③n﹣m是为定值，理由如下：
过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，如图：
∵点B、D的横坐标分别为m、n，
∴B（m，m2），D（n，n2），
∴BF＝m，OF＝m2，DE＝n，OE＝n2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB，
∴∠FAB＝90°﹣∠EAD＝∠EDA，
∵∠AFB＝∠DEA＝90°，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴m＝n2﹣AF﹣m2，AF＝n，
∴m＝n2﹣n﹣m2，
∴m+n＝（n﹣m）（n+m），
∵点B、D在y轴的同侧，
∴m+n≠0，
∴n﹣m＝1；
当正方形在y轴的左侧，
同理可得：n﹣m＝1；
（2）过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，
∵点B、D的横坐标分别为m、n，
∴B（m，am2），D（n，an2），
①当B，D在y轴左侧时，如图：
∴BF＝﹣m，OF＝am2，DE＝﹣n，OE＝an2，
同理可得△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴﹣m＝am2﹣AF﹣an2，AF＝﹣n，
∴﹣m＝am2+n﹣an2，
∴m+n＝a（n﹣m）（n+m），
∵m+n≠0，
∴n﹣m＝；
②当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，如图：
∴BF＝﹣m，OF＝am2，DE＝n，OE＝an2，
同理可得△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴﹣m＝am2+AF﹣an2，AF＝n，
∴﹣m＝am2+n﹣an2，
∴m+n＝a（n+m）（n﹣m），
∴m+n＝0或n﹣m＝；
③当B，D在y轴右侧时，如图：
∴BF＝m，OF＝am2，DE＝n，OE＝an2，
同理可得△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝DE，
∴m＝an2﹣AF﹣am2，AF＝n，
∴m＝an2﹣n﹣am2，
∴m+n＝a（n+m）（n﹣m），
∵m+n≠0
∴n﹣m＝；
综上所述，m、n满足的等量关系式为m+n＝0或n﹣m＝．
12．（2024•利州区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求二次函数解析式；
（2）如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得∠ACD＝45°，求点D的坐标；
（3）如图2，平面上一点E（3，2），过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，则OM与ON的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）设y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝（x﹣3）（x+1）＝x2﹣2x﹣3；
（2）抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3，则点C（0，﹣3），
过A作AK⊥AC交CD于点K，作KH⊥x轴于点H，如图1，
∵∠ACD＝45°，
∴△CAK是等腰直角三角形，
∴AC＝AK，
∵∠AOC＝∠KHA＝90°，∠ACO＝90°﹣∠OAC＝∠KAH，
∴△OAC≌△HKA（AAS），
∴AH＝CO＝3，KH＝OA＝1，
∴K（2，1），
设直线CD的解析式为y＝kx﹣3，
∴2k﹣3＝1，
∴k＝2，
∴直线CD的解析式为y＝2x﹣3，
联立，
解得x＝0（舍去），或x＝4，
∴D（4，5）；
（3）OM与ON的积是定值，理由如下：
∵过点E（3，2）作一直线交抛物线于P、Q两点，
设直线PQ的解析式为y＝ax+n，P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴2＝3a+n，
∴n＝2﹣3a，
∴直线PQ的解析式为y＝ax+2﹣3a①，
∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3②，
联立①②得：x2+（1﹣3﹣a）x+3a﹣5＝0，
∴x1+x2＝a+2，x1•x2＝3a﹣5，
如图2，作PS⊥x轴于点S，作QT⊥x轴于点T，
则△AMO∽△APS，
∴＝，
即＝，
∴OM＝x1﹣3，
同理，ON＝﹣（x2﹣3），
∴OM•ON＝﹣（x1﹣3）（x2﹣3）＝﹣[x1•x2﹣3（x1+x2）+9]＝﹣[3a﹣5﹣3（a+2）+9]＝2，为定值．
13．（2024•高新区二模）如图（1），已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣3m2（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．连接CD，BC．
（1）点B的坐标为 （3m，0） ，点D的坐标为 （m，﹣4m2） ；（用含有m的代数式表示）
（2）如图（2），若CB平分∠OCD，若点P是二次函数图象上的点，且在直线BC下方．
①若对称轴与直线BC交于点M，试说明DC与DM相等；
②求二次函数的表达式；
③点P到直线BC距离的最大值为 ；
④直线AP、BP分别交y轴于点E、F，问3OE+OF是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由．
【解答】解：（1）把y＝0代入y＝x2﹣2mx﹣3m2，得x2﹣2mx﹣3m2＝0，
解得x1＝3m，x2＝﹣m，
∵m＞0，
∴点A的坐标为（﹣m，0），点B的坐标为（3m，0），
由抛物线解析式为y＝x2﹣2mx﹣3m2，
得，，
则顶点D的坐标为（m，﹣4m2），
故答案为：（3m，0），（m，﹣4m2）；
（2）①根据题意作图，
∵CB平分∠OCD，
∴∠OCB＝∠BCD，
∵对称轴与直线BC交于点M，
∴DM在抛物线对称轴上，
∴DM∥y轴，
∴∠OCB＝∠CMD，
∴∠BCD＝∠CMD，
∴DC＝DM；
②把x＝0代入y＝x2﹣2mx﹣3m2，得y＝﹣3m2，
∴点C的坐标为（0，﹣3m2），
∵点D的坐标为（m，﹣4m2），
∴CD2＝（m﹣0）2+（﹣4m2+3m2）＝m4+m2，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（3m，0），C（0，﹣3m2）代入y＝kx+b，
得直线BC的解析式为y＝mx﹣3m2，
把x＝m代入y＝mx﹣3m2，得y＝﹣2m2，
∴点M的坐标为（m，﹣2m2），
∴DM＝2m2，
∵DC＝DM，
∴DC2＝DM2，即m4+m2＝（2m2）2，
解得，
∵m＞0，
∴，
∴二次函数的表达式为；
③设点P的坐标为，点P到直线BC的距离为h，
过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，
由直线BC的解析式为，得点Q的坐标为，
∵点P是二次函数图象上的点，且在直线BC下方，
∴PQ＝，
由，即当△PBC的面积取最大值时，h取最大值，
由＝，
当时，S△PBC取得最大值，
即，得，
∴点P到直线BC距离的最大值为；
故答案为：；
④3OE+OF是定值，理由如下：
过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，
由点P的坐标为，则点G的坐标为（a，0），
∵PG⊥x轴，
∴PG∥y轴，
∴△AOE∽△AGP，
∴，即，
得，
∵PG∥y轴，
∴△FOB∽△PGB，
∴，即，
得，
∴3OE+OF＝．
14．（2024春•靖江市月考）二次函数y＝x2﹣tx（t＞0）图象交x轴于O、A两点，点C（m，n）为点A右侧图象上一动点，过点C作CB⊥x轴于点B．点D（p，q）为该函数x轴上方图象上一动点（不与点C重合），直线CD交y轴于点E，连接AD、BE．
（1）如图，当t＝3，CD∥x轴：
①若n＝4，判断∠OAD与∠OBE的数量关系，并说明理由；
②若p＜0，在点C、D运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）在点C、D在运动的过程中，试探究∠OAD与∠OBE的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）①∠OAD＝∠OBE，理由如下：
当t＝3时，y＝x2﹣3x，
令y＝0得x＝0或x＝3，
∴A（3，0），
在y＝x2﹣3x中，令y＝4得x＝﹣1或x＝4，
∴D（﹣1，4），C（4，4），
∵CD∥x轴，CB⊥x轴，
∴E（0，4），B（4，0），
∴DE＝1，AB＝1，
∴DE＝AB，且DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD∥BE，
∴∠OAD＝∠OBE；
②∵D（p，p2﹣3p），C（m，m2﹣3m），CD∥x轴，
∴CE＝m，DE＝﹣p，BC＝m2﹣3m，
∵抛物线y＝x2﹣3x的对称轴为x＝，
∴，
∴p＝3﹣m，
∴DE＝m﹣3．
∴．
∴是定值，且定值为1；
（2）∠OAD＝∠OBE或∠OAD+∠OBE＝180°，理由如下：
过点D作DG⊥x轴，
①m＜0．如图，
由C（m，m2﹣tm），D（p，p2﹣tp）得直线CD的解析式为y＝（m+p﹣t）x﹣mp，
在y＝（m+p﹣t）x﹣mp中，令x＝0得y＝﹣mp，
∴E（0，﹣mp），
∴B（m，0），
在y＝x2﹣tx得A（t，0），
∴tan∠DAG＝＝＝﹣p，
tan∠OBE＝＝＝﹣p，
∴tan∠DAG＝tan∠OBE，
∴∠DAG＝∠OBE，
∴∠OAD＝∠OBE；
②m＞t，如图，
同①可得∠DAG＝∠OBE，
∵∠OAD+∠DAG＝180°，
∴∠OAD+∠OBE＝180°，
综上所述，∠OAD＝∠OBE或∠OAD+∠OBE＝180°．
15．（2024•昆都仑区校级三模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出点F的坐标；
（3）如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（4，0），代入 y＝ax2+bx+4得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）∵点A（﹣2，0），B（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线l：，
设直线l与x轴交于点G，过点E作 ED⊥l于点D，
当F在x轴上方时，如图：
∵以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，
∴EF＝BF，
∵∠DFE＝90°﹣∠BFG＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF＝90°，
∴△DFE≌△GBF（AAS），
∴GF＝DE，GB＝FD，
设F（1，m），则DE＝m，DG＝DF+FG＝GB+FG＝3+m，
∴E（1+m，3+m），
∵E点在抛物线y＝﹣x2+x+4上，
∴，
解得：m＝﹣3（舍去）或m＝1，
∴F（1，1）；
当F在x轴下方时，如图：
同理可得△DFE≌△GBF（AAS），GF＝DE，GB＝FD，
设F（1，n），则E（1﹣n，n﹣3），
把E（1﹣n，n﹣3）代入y＝﹣x2+x+4得：
n﹣3＝﹣（1﹣n）2+（1﹣n）+4，
解得n＝3（舍去）或n＝﹣5，
∴F（1，﹣5）；
当E点与A点重合时，如图所示，
∵AB＝6，△ABF是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，
∴，
此时 F（1，﹣3），
由对称性可得，点F'（1，3）也满足条件，
综上所述，F（1，1）或（1，﹣5）或（1，﹣3）或（1，3）；
（3）OM+ON为定值6，理由如下：
设P（s，t），直线AP的解析式为 y＝dx+f，BP的解析式为 y＝gx+h，
∵点A（﹣2，0），B（4，0），P（s，t），
∴，，
解得：，，
∴直线AP的解析式为 ，BP的解析式为y＝x+，
在中，令 x＝0 得，
∴，
在中，令x＝0得，
∴N（0，），
∵P（s，t） 在抛物线上，
∴t＝﹣s2+s+4＝﹣（s﹣4）（s+2），
∴OM+ON＝+×＝＝＝6，
∴OM+ON为定值6．