贵州省贵阳市2023_2024学年高三数学上学期高考适应性月考试题含解析

这是一份贵州省贵阳市2023_2024学年高三数学上学期高考适应性月考试题含解析，共26页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解分式不等式，再运用集合的交运算即可.
【详解】由题意知，，
又因为，所以，
所以.
故选：A.
2. 若，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】当时可由基本不等式推得；当时解不等式可得，则可判定它们之间的逻辑关系.
【详解】当时由基本不等式可得，当且仅当时取得“=”
当时，则，
可得即，
解得；
所以“”是“”的充要条件.
故选：
3. 若随机变量，则下列选项错误的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态分布曲线的对称性即可结合选项逐一求解,
【详解】根据随机变量可知正态分布曲线对称轴为，均值为2，方差为4，
所以，故A正确，，故B正确，
，C正确，
，故D错误，
故选：D
4. 函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可排除C；根据的符号可排除A；利用导数说明不是函数的极值点，即可排除D.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故排除C；
因为，故排除A；
当时，，则，
因为，所以不是函数的极值点，故排除D.
故选：B.
5. 若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由求解.
【详解】解：因为二次函数在上为减函数，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：D
6. 若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】不妨设双曲线的一个焦点为，渐近线为，从而可得过点且与直线垂直的直线方程，令，求出，再结合已知条件，根据离心率公式即可得解.
【详解】不妨设双曲线的一个焦点为，渐近线为，
则过点且与直线垂直的直线方程为，
令，则，
则，所以，
所以此双曲线的离心率是.
故选：C.
7. 若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知不等式变形可得，构造函数，其中，分析函数在上的单调性，可得出，结合函数的单调性可得出，再结合对数函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为，
令，其中，
因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
因为，即，故，则，
所以，，则，A错B对；
无法确定与的大小，故与的大小无法确定，CD都错.
故选：B.
8. 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，构造函数，由其单调性求解不等式，即可得到结果.
【详解】构造函数，因为对任意的，都有，
则，所以函数在上单调递减，
又，所以，
由可得，即，所以.
故选：A
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是（）
A. B.
C. 事件与事件相互独立D. ，，两两互斥
【答案】BD
【解析】
【分析】根据已知得出，然后即可根据概率的乘法公式以及全概率公式，得出答案.
【详解】由已知可得，，，，，，.
对于A项，由全概率公式可得，，故A项错误；
对于B项，根据已知，即可计算，故B项正确；
对于C项，由已知可得，，，故C项错误；
对于D项，由已知可知，，，两两互斥，故D项正确.
故选：BD.
10. 提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6…表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离（以天文单位AU为单位）.现将数列的各项乘以10后再减4，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）
A. 数列的第2023项为B. 数列的通项公式为
C. 数列前10项和为157.3D. 数列的前项和
【答案】CD
【解析】
【分析】由题意可得数列由此可得数列从第2项起构成公比为2的等比数列，从而可求出其通项公式，判断选项A，由于，所以可求出数列的通项公式，从而可判断B，对于C，利用分组求和可求出数列的前项和，对于D，利用错位相减法可求出数列的前项和.
【详解】数列各项乘以后再减得到数列
故该数列从第项起构成公比为的等比数列，所以，
则，故A错误；
从而，故B错误；
设数列的前项和为，
当时，；
当时
，
当时，也符合上式，所以，
所以，故C正确；
因为，所以当时，
当时，，
两式相减得
，
所以，
又当时也满足上式，所以，故D正确.
故选：CD.
11. 定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（）
A. B. 为奇函数
C. 为增函数D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对A，令，即可判断；对B，先令得，再以代，得：，二者联立，即可判断函数的奇偶性；对C，根据定义证明即可；对D，根据单调性可以判断．
【详解】对于A，令，得，所以，故A正确；
对于B，令得：，
再以代，得：，
两式相加得：，
，即，
定义在上的函数为奇函数，故B正确；
对于C，函数为定义在上的奇函数，且当时，，
不妨设，则，
因为，所以且
因此，
所以，
则，即，
故函数在上为增函数，C正确；
对于D，令，因为，
则，即，
因为，且函数在上为增函数，
所以，
即，故D错误.
故选：ABC.
12. 双曲线具有如下光学性质：如图，，是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（）
A. 射线所在直线的斜率为，则
B. 当时，
C. 当过点时，光线由到再到所经过的路程为5
D. 若点坐标为，直线与相切，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出双曲线渐近线方程，可判断A选项；利用勾股定理以及双曲线的定义可判断B选项；利用双曲线的定义可判断C选项；利用角平分线定理结合双曲线的定义可判断D选项.
【详解】在双曲线中，，，则，故、，
设，，
对于A选项，因为双曲线的渐近线方程为，
当点在第一象限内运动时，随着的增大，射线慢慢接近于直线，
此时，
同理可知当点在第四象限内运动时，，
当点为双曲线的右顶点时，，
综上所述，，A对；
对于B选项，当时，，
，
所以，B错；
对于C选项，，
故过点时，光由到再到所经过的路程为
，C对；
对于D选项，若，，
因为，
且，
所以，
即，解得，D对.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：掌握双曲线的定义及理解双曲线的下光学性质是解决本题的关键.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 展开式中含项的系数为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用二项展开式的展开方法求解.
【详解】展开式中含的项为，
故答案为:.
14. 已知函数（且）过定点，且定点在直线上，则的最小值为______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据对数型函数过定点可得，即可由不等式乘“1”法求解最值.
【详解】由于（且）过点，故，
将代入中可得，
由于，所以，
当且仅当时，即时等号成立，故最小值为，
故答案为：
15. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】要使函数有两个极值点，只需要有两个变号根，通过分离参数，研究函数的单调性、极值，作出函数图象，结合图象即可得解.
【详解】，
要使函数有两个极值点，
只需要有两个变号根，
即方程有两个变号根，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，，当时，且，
作出函数的大致图象，如图所示，
因为方程有两个变号根，
所有，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
16. “雪花曲线”是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图2是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.
如图，若第1个图中三角形的边长为1，则第3个图形的周长为______；第个图形的面积为______.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】设第n个图形为，边长为，边数，周长为，面积为，分析出，，从而求出，即可求出第3个图形的周长，易得，再利用累加法求解即可.
【详解】记第n个图形为，边长为，边数，周长为，面积为，
有条边，边长；
有条边，边长；
有条边，边长；
，
分析可知，即；，即，
当第1个图中的三角形的边长为1时，即，，
所以，
当时，；
由图形可知是在每条边上生成一个小三角形，即，
即，
，
，
，
利用累加法可得，
又，，
所以
.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题考查数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到等比数列，求数列通项公式常用的方法：
（1）由与的关系求通项公式；
（2）累加法；
（3）累乘法；
（4）两边取到数，构造新数列法.
四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知数列的首项为，且满足.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求满足条件的最大整数.
【答案】（1）证明见解析
（2）9
【解析】
【分析】（1）变形整理得到，从而证明出结论；
（2）在（1）的基础上，求出，利用等比数列求和公式和分组求和，得到，从而得到不等式，结合单调递增及特殊值的大小，求出答案.
【小问1详解】
两边取倒数得，，
即，
又，
故为首项为2，公比为2的等比数列；
【小问2详解】
由（1）得，
故，
所以
，
故，则，
由于单调递增，且，
，
故满足条件的最大整数为9.
18. 某网红冰淇淋公司计划在贵阳市某区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记表示在5个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和.
（1）该公司经过初步判断，可用经验回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程；
（2）如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据：第一分店每天的顾客平均为300人，其中180人会购买该品牌冰淇淋，第二分店每天的顾客平均为200人，其中150人会购买该品牌冰淇淋.依据小概率值的独立性检验，分析两个店的顾客购买率有无差异.
附：
参考公式：，，，.
【答案】（1）
（2）有
【解析】
【分析】（1）利用最小二乘法求解即可；
（2）根据已知条件得出列联表，再根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论.
【小问1详解】
，
则，
，
所以，，
所以关于的经验回归方程为；
【小问2详解】
由题意，得出列联表如下表：
则，
所以依据小概率值的独立性检验，两个店的顾客购买率有差异.
19. 如图，已知圆柱的轴截面为正方形，，为圆弧上的两个三等分点，，为母线，，分别为线段，上的动点（与端点不重合），经过，，的平面与线段交于点.
（1）证明：；
（2）当时，求平面与圆柱底面所成夹角的正弦值的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知可证得平面，平面.进而根据面面平行的判定定理得出平面平面.然后即可根据已知，结合面面平行的性质定理得出答案；
（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，写出点的坐标，表示出向量的坐标.求出平面以及底面的法向量，表示出向量的夹角的余弦值，根据二次函数的性质，即可得出答案.
【小问1详解】
因为，为圆弧上的两个三等分点，
所以.
因为平面，所以平面.
同理可得，平面.
因为，平面，
所以，平面平面.
又平面平面，平面平面，
所以.
【小问2详解】
不妨设圆柱底面半径为2，
如图，以点为坐标原点，在底面过点作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
则，，，.
设，则，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则，取.
易知圆柱底面的一个法向量为，
则，
当时，取得最大值为，
所以，平面与圆柱底面所成夹角的正弦值的最小值.
20. 已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；
（3）请问过点，，，，分别存在几条直线与曲线相切？（请直接写出结论，不需要证明）
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义得出斜率，求出切点坐标，即可得出答案；
（2）设切点为，根据导数的几何意义表示出切线方程.结合已知可得.构造函数，求出导函数以及函数的极值，即可得出答案；
（3）结合（2）的思路，设出切点，求出切线方程，将题中给出的切线上的点代入方程，根据方程解的个数，即可得出答案.
【小问1详解】
因为，所以.
又，
根据导数的几何意义可知，函数在处的切线的斜率为，
所以，切线方程为.
【小问2详解】
设切点为，则，
切线方程为，
整理可得，.
又点在切线上，则.
要使过点存在3条直线与曲线相切，则该方程有个解.
令，则.
解，可得，所以在上单调递增；
解，可得或，所以在上单调递减，在上单调递减.
所以，在处取得极小值，在处取得极大值.
又，，由题意可知，.
【小问3详解】
设切点为，则，
切线方程为.
①当点在切线上时，有，此时，即点为切点.
由（1）知，切线为1条；
②当点在切线上时，
由（2）知，在处取得极小值，且，
所以，此时，只有1个解，即只存在1条切线；
③当在切线上时，
由（2）知，，解得或.
所以此时存在2条切线；
④设切线过
此时有.
令，则.
解，可得，所以在上单调递增；
解，可得或，所以在上单调递减，在上单调递减.
所以，在处取得极小值，在处取得极大值.
又，，
所以，当时，有3条切线.
所以，过点的切线有3条.
又方程，可化为，
解得或，
所以，过点的切线有2条.
21. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.
（1）求，和，；
（2）证明：为等比数列（且）；
（3）求的期望（用表示，且）.
【答案】（1）
（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）列举出所有交换的情况，分别求出概率即可求解，
（2）由根据独立事件的概率乘法公式，分类逐一讨论，即可求解，，由等比数列的定义即可求证；
（3）利用等比数列的通项求解，进而根据期望的计算公式即可求解．
【小问1详解】
若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，乙盒为2白，概率为，
所以，
①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时：
若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为，
若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，
②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时：
若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，
综上可知：，.
【小问2详解】
经过次这样的操作.记甲盒子恰有2个黑1白的概率为，恰有1黑2白的概率为，3白的概率为，
①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时：
若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为，
若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，
②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时：
若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，
③当甲盒中3白，乙盒2黑，概率为，此时：
若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
故.
，
因此，
因此为等比数列，且公比为.
【小问3详解】
由（2）知为等比数列，且公比为，首项为，
故，所以，
.
【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望.
（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，
可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）．
22. 已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点A，，当直线的倾斜角为时，.
（1）求抛物线的标准方程和准线方程；
（2）记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为
（2）证明见解析，定点坐标为或
【解析】
【分析】（1）根据已知得出直线的方程，与抛物线联立，根据过焦点的弦长公式，列出关系式，即可得出；
（2）设，联立方程根据韦达定理得出的关系.进而表示出的方程，求出，的坐标，得出圆的方程.取，即可得出定点坐标.
小问1详解】
由已知可得，抛物线的焦点坐标为，直线的方程为.
联立抛物线与直线的方程可得，
.
设，，由韦达定理可得，
则，所以.
所以，抛物线的方程为，准线方程为.
【小问2详解】
设直线，
联立直线与抛物线的方程可得，.
所以，，.
又，，所以.
同理可得.
设圆上任意一点为，则由可得，
圆方程为，
整理可得，.
令，可得或，
所以，以为直径的圆过定点，定点坐标为或.
【点睛】思路点睛：直线或圆过定点问题，先根据已知表示出直线或圆的方程，令变参数为0，得出方程，求解即可得出求出定点的坐标.
（个）
1
2
3
4
5
（千万元）
1
1.6
2
2.4
3
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
买
不买
总计
分店一
180
120
300
分店二
150
50
200
总计
330
170
500