福建省部分优质高中2024-2025学年高一上学期期中联考模拟练习数学试题

这是一份福建省部分优质高中2024-2025学年高一上学期期中联考模拟练习数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知全集，集合，，则如图所示阴影区域表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
3．若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，若，则取值的集合为( )
A．B．C．D．或
6．函数的图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A．B．0C．2D．4
8．若正实数x、y、z满足，则当最大时，的最大值是（ ）
A．B．1C．D．2
二、多选题（本大题共3小题，共18分）
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．的最小值是2
B．“方程有一正一负根”的充要条件是“”
C．不等式的解集为
D．命题“”的否定为“”
10．已知，若正实数、满足，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
11．对，，若，使得，都有，则称在上相对于满足“-利普希兹”条件，下列说法正确的是（ ）
A．若，则在上相对于满足“2-利普希兹”条件
B．若，在上相对于满足“-利普希兹”条件，则的最小值为
C．若在上相对于满足“4-利普希兹”条件，则的最大值为
D．若在非空数集上相对于满足“1-利普希兹”条件，则
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．已知，不等式的解集为P，若，则a的取值范围为 .
13．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为 .
14．定义在上的函数满足：，当时，有，且．设，，则实数m与－1的大小关系是 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15．设，，求，.
16．定义在上的函数满足f1=0，且当时，．
(1)求，的值，并判断函数的奇偶性；
(2)判断并用定义证明函数在上的单调性.
17．某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量不小于30百件时，；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（利润总收入成本）
(1)求年利润（万元）关于年产量（百件的函数关系式；
(2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？
18．设实数，若满足，则称比更接近.
(1)设比更接近0，求的取值范围；
(2)判断“”是“比更接近”的什么条件？并说明理由；
(3)设且，，试判断与哪一个更接近.
19．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列条件：
①在内是单调的，
②在内的取值范围也是，
则称是函数的“优美区间”.
(1)判断函数是否存在“优美区间”，并说明理由；
(2)若是函数的一个“优美区间”，求的最大值.
参考答案：
1．D
【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，
，
因此，.
故选：D.
2．B
【分析】根据图求反应出所表示的集合的关系可得选项.
【详解】全集，集合，，，
如图所示阴影区域表示的集合为：．
故选：B．
3．B
【分析】分析可知“对任意的整数，恒成立”是真命题，对实数的取值进行分类讨论，解不等式，结合已知条件可得出关于的等式或不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】“存在整数使不等式成立”是假命题，
则“对任意的整数，恒成立”是真命题，
当时，则对任意的整数恒成立，不合乎题意；
当且时，原不等式化为.
因为，则不等式的解集为或，
所以，，即，解得且；
当时，则有对任意的整数恒成立，合乎题意；
当时，，不等式的解集为，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
4．C
【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案.
【详解】解：因为命题“，”为真命题，
所以，命题“，”为真命题，
所以，时，，
因为，，
所以，当时，，当且仅当时取得等号.
所以，时，，即实数的取值范围是
故选：C
5．D
【分析】分和两种情况讨论，结合函数，可得满足的x的取值集合.
【详解】当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
取值的集合为或，
故选：D.
6．B
【解析】判断函数的单调性，利用排除法可得．
【详解】由已知，时，，函数上递减，在上递增，这样排除ACD．只有B符合．
故选：B．
7．B
【分析】根据题意求得函数是以8为周期的周期函数，进而求得，结合周期性，即可求解.
【详解】解：由函数是定义域为的奇函数，可得，
又由，可得，
所以，可得，
所以函数是以8为周期的周期函数，且，
因为函数为奇函数，可得，所以，
又由，可得，即，
，
所以，
所以 .
故选：B.
8．A
【分析】由条件等式求出，将化成，利用基本不等式可求得其最大值，得出等号成立条件：和，代入所求式，整理成二次函数，即可求出其最大值.
【详解】由，可得，
则，
因，，
当且仅当时，即时，等号成立，
此时，取得最大值为3.
由，
即当时，取得最大值.
故选：A.
9．BD
【分析】分和两种情况结合基本不等式即可判断A选项；方程有一正一负根的充要条件是，
解该不等式即可判断B选项；原不等式可化为，由分式不等式的方法求解可以判断C选项；由全称量词命题的否定可以判断D选项.
【详解】对于A，当时， ，当且仅当时取等号；
当时，有，当且仅当时取等号，
所以只有当时，的最小值才是2，故A错误；
对于B，方程有一正一负根的充要条件是，
解得，故B正确；
对于C，不等式等价于，即，即，
即为，解得，所以原不等式的解集为，故C错误；
对于D，“”的否定为“”故D正确.
故选：BD
10．BD
【分析】分析函数的单调性与奇偶性，结合已知条件求出，利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为函数的定义域为R，
，即函数为奇函数，
且，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数在R上单调递增，
由得，
所以，，即，且、都为正数，
对于A选项，由基本不等式可得，得，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A错；
对于B选项，因为，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，B对；
对于C选项，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
但为正数，故等号不成立，即，C错；
对于D选项，因为，则，即，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为，D对.
故选：BD.
11．BC
【分析】利用特例可判断A，利用参变分离法求函数最值可判断BC，由题可得为增函数，利用复合函数单调性判断D.
【详解】对于A，∵的定义域为，
令，则，
又，
∴，即在上相对于不满足“2-利普希兹”条件，故A错误；
对于B，由题知，均有成立，
当时显然成立，
不妨设，则，
又，，
∴，，
故，故B正确；
对于C，由题知，均有成立，
即，
当时显然成立，
当时，则恒成立，又，，
∴，即，所以的最大值为，故C正确；
对于D，由题可得在非空数集上恒成立，
当时显然成立，
不妨设，则，
∴成立，
令，则函数在非空数集上单调递增，
∵，
当时，，单调递增，单调递减，又单调递增，所以在上单调递减，故D错误.
故选：BC.
12．
【分析】将代入分式不等式得到相反结论，同时注意分母为0的情况，解出即可.
【详解】或,解得或,
故答案为：.
13．/
【分析】由题意，结合一次函数与二次函数的单调性，可得的等量关系，整理函数，可得答案.
【详解】由函数在上单调递增，且在上恒成立，
则函数在上单调递减，即，
令，可得，则，可得，
，
当时，取得最小值.
故答案为：.
14．
【分析】根据推导函数的单调性和奇偶性及其值域等性质，再把变形为两项差的形式，从而求出的表达式，进而判断与的大小关系
【详解】∵函数满足，令得；令得．
∴在为奇函数
当时，.因为在时，，则在时．又，故，所以，故，所以在上单调递减.
∵，且，
故
故答案为：
15．；
【分析】利用集合的交集，并集运算即可求解.
【详解】因为，，
所以，.
故答案为：；.
16．(1)，，偶函数
(2)函数在上单调递增，证明见解析
【分析】（1）由f1=0得，由得，根据定义可判断函数为偶函数.
（2）由定义法可证明函数在上单调递增．
【详解】（1）∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，定义域为，
∵f-x=fx，∴函数为偶函数.
（2）函数在上单调递增．证明如下：
.
，且，
则，
∵，∴，即，
∴在上单调递增．
17．(1)
(2)当年产量为百件时，获利最大.
【分析】（1）根据“利润总收入成本”求得关于的函数关系式.
（2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得获利最大时对应的年产量.
【详解】（1）依题意，
.
（2）当时，当时，
取得最大值为万元.
当时，万元，
当且仅当百件时等号成立.
综上所述，当年产量为百件时，获利最大.
18．(1)
(2)充分不必要条件，理由见解析
(3)更接近
【分析】（1）由题得，解不等式可得解；
（2）利于不等式的性质和充分条件，必要条件的应用即可求解；
（3）利于已知比较与的大小，即可求解.
【详解】（1）由题意，得，即
整理得，解得
所以的取值范围是
（2）“比更接近”，等价于
所以“”是“比更接近”的充分不必要条件
（3），
①当时，，
此时：
又在上是增函数，
，即，
即，此时更接近；
②当时，，
此时：，
又在上是增函数，
即，，
即，即更接近；
19．(1)是，理由见解析
(2)
【分析】（1）先写出函数的单调性，设是函数的“优美区间”，根据定义即可得出函数在上的单调性，由值域结合单调性即可得出方程，求解即可得出答案；
（2）化简函数得出函数的单调性，根据已知结合定义即可得出在上单调递增，进而推得方程有两个同号的实数根.列出关系式，求解得出的范围.根据韦达定理得出的关系，进而表示出，根据的范围，结合不等式的性质以及二次函数的性质，即可得出答案.
【详解】（1）因为函数在上单调递增，在上单调递增.
设是函数的“优美区间”，则在上单调，
所以或，
因此，在上为增函数，
则，，即方程有两个解m，n，
整理可得，解得得，
所以函数的“优美区间”为.
（2）因为，在上单调递增，在上单调递增.
结合已知以及“优美区间”定义，可知在上单调递增，
所以或，则，，
所以是方程的两个同号的实数根，
即方程有两个同号的实数根，注意到
只要，解得或，
由韦达定理可得，且，
所以.
因为或，所以，或，
根据二次函数的性质可知，当时，取最大值题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
C
D
B
B
A
BD
BD
题号
11









答案
BC